P6mm結(jié)構(gòu)二維平面空間群的IR矩陣和IR基的計(jì)算

成泰民， 祁 爍

(沈陽化工大學(xué)數(shù)理系，遼寧沈陽110142)

石墨烯具有原子級(jí)的厚度、優(yōu)異的電學(xué)性能、出色的化學(xué)穩(wěn)定性和熱力學(xué)穩(wěn)定性，這些性能使石墨烯在未來納米電子學(xué)中具有重要的應(yīng)用前景，并已成為目前凝聚態(tài)物理和材料科學(xué)研究的熱點(diǎn)［1］.石墨烯屬于P6mm結(jié)構(gòu)二維平面空間群［2－4］.

在與完整晶體相關(guān)問題的研究中，Hamilton量在空間群算符的作用下是不變的，因此空間群的不可約表示指標(biāo)可用來標(biāo)志一個(gè)粒子或準(zhǔn)粒子在晶體中的能級(jí)，標(biāo)志晶體中的電子能帶和聲子色散的曲線［5］.此外掌握了空間群的IR矩陣及其IR基的性質(zhì)，就能了解Hamilton量本征解的一些性質(zhì)，并大大簡(jiǎn)化Hamilton量本征態(tài)的求解過程.此外，在空間群的C-G系數(shù)計(jì)算中，空間群的IR矩陣也極其重要.

Berenson和Birman(1975)［6－7］以及其他人對(duì)空間群C-G系數(shù)也都做過研究，但迄今為止，還只計(jì)算過極少數(shù)情形下的空間群C-G系數(shù).Birman(1974)［6－7，10］預(yù)言，一旦空間群C-G系數(shù)可以容易的得到，它的很多重要應(yīng)用會(huì)接踵而來.例如晶體中拉曼散射張量，形變效應(yīng)散射張量，外電磁場(chǎng)誘導(dǎo)下的形變散射張量，紅外吸收中高階矩陣展開式，動(dòng)力矩陣的對(duì)角化等的計(jì)算，均與空間群的C-G系數(shù)密切相關(guān)［6－10］.本文利用陳金全的本征函數(shù)法［6－7，11］，計(jì)算了二維平面空間群P6mm結(jié)構(gòu)的第一布里淵區(qū)的主要對(duì)稱點(diǎn)、線上，與波矢群對(duì)應(yīng)的表象群的不可約表示.

1 計(jì)算方法

表象群G'K的群元之間乘法滿足

其中，

其中，

m－1;ai(i=1，2，3)是晶體的正格子基矢.

從而可知:

對(duì)于表象群G'K，對(duì)應(yīng)η'12=1(即n=0)的群元Ri作gl個(gè)基矢.由布洛赫定理可得:

為做出 gl維空間 L(K)的 CSCO-Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ(第一、第二、第三類完備算符集)，引入合適的群鏈G'k?G'(s)，及其對(duì)應(yīng)的內(nèi)稟群鏈'K?'(s)， 使 (C，C(s)(s)) 構(gòu)成 L(K) 的 CSCO-Ⅲ.CSCO-Ⅲ的共同本征函數(shù)就是G'K?G'(s)分類基(v，K)a和'K?'(s)分類基(v，K)b.即

其中，

把(5)式代入(4)式得

波矢群G(K)的IR基可寫成

將(7)式代入(8)式，并利用(3)式所得結(jié)果與(5)式對(duì)比可得

但是從(9)式求出的IR矩陣未必正確.對(duì)(4)式中本征矢量的位相調(diào)節(jié)后才能得出正確的IR矩陣.

(1)幺元前的系數(shù)必須是正數(shù)以保證Dv，K({E|0})=I(單位矩陣).

(2)內(nèi)稟量子編號(hào)為b=1的IR(v)基中除含幺元的IR(v)基外其余的IR(v)基可以任意選取(即相因子任意選取).

將空間群 G按波矢群G(K)的左陪集{βσ|V(βσ)}分解:

空間群G與波矢群G(K)的不可約表示基之間的關(guān)系為:

其中b，a=1，2，…，hv;

從(11)式可知，Rτσ∈ G(K)或 Rτσ? G(K).當(dāng)Rτσ∈G(K)時(shí)，(13)式才不為0.因此，當(dāng)Rτσ?G(K)時(shí)，Rτσ作用在上必將改變其波矢K.由于K標(biāo)志平移群的IR基，而屬于不同IR基之間是正交的.因此，此時(shí)(13)式等于0.

未規(guī)范變換的表象群GK與規(guī)范變換的表象群G'K有相同的IR基，其IR矩陣之間的關(guān)系為

其中Vτασ是與αβσ相關(guān)的非初始平移.

將(16)式寫成矩陣形式:

其中D(τσ)≡D(v，K)(Rτσ)，其維數(shù)為hv的hv× hv矩陣，q=g/gl，g為空間群的點(diǎn)群G0的階數(shù)，gl為波矢群G(K)的點(diǎn)群G0(K)的階數(shù).

由于［{E|Rn}，{γ|V(γ)}］=0(即對(duì)易)波矢群G(K)與未規(guī)范變換的表象群GK的不可約表示之間的關(guān)系

由(15)式、(18)式可知，波矢群G(K)與G'K的不可約表示之間的關(guān)系

根據(jù)(18)式、(19)式可知只要是已知D(v，K)({γ|V(γ)})，空間群的IR矩陣就能算出.因此，本文只討論D(v，K)({γ|V(γ)}).

2 計(jì)算結(jié)果

考慮到篇幅，本文只給出石墨烯結(jié)構(gòu)(P6mm)第一布里淵區(qū)主要對(duì)稱點(diǎn)K波矢群的二維平面空間群的IR基與IR矩陣.二維平面空間群P6mm對(duì)應(yīng)的點(diǎn)群是6mm(熊夫利符號(hào)C6v)，點(diǎn)群C6v的群元為:

其中R1={E|0}，R2={C6|0}，

(1)BZ區(qū)對(duì)稱點(diǎn) K點(diǎn)的波矢群的點(diǎn)群G0(KK)與3mm(熊夫利符號(hào)C3v)同構(gòu).

C3v群的分類:{E|0};{C3|0}、{|0};共3類.C3v群的階數(shù)為6，所以因此，BZ區(qū)對(duì)稱點(diǎn)K點(diǎn)的波矢群的點(diǎn)群G0(K)以及其表象群G'K與C3v的不可約表示(IR表示)中1個(gè)是二維表示、2個(gè)是一維表示.

K點(diǎn)波矢群左陪集為{{E|0}，{C6|0}}.即空間群的階數(shù)除以K點(diǎn)的波矢群的階數(shù)等于2，且左陪集為{{E|0}，{C6|0}}，并把它左乘K點(diǎn)的波矢群就可得石墨烯結(jié)構(gòu)空間群.即q= g/gl=12/6=2，βσ={E，C6}(其中σ=1，2，…，q).

利用(9)式、(10)式、(13)式、(16)式、(17)式、(20)式可得在對(duì)稱點(diǎn)K，當(dāng)CSCO-Ⅰ的本征值為0時(shí)，二維平面空間群P6mm的IR矩陣如下:

3 討論

本文所采用的量子力學(xué)中完備算符集的本征函數(shù)法，對(duì)于處理晶體對(duì)稱性相關(guān)的空間群的特性非常簡(jiǎn)便.并且本文所計(jì)算的相對(duì)于對(duì)稱點(diǎn)K的二維平面空間群P6mm的IR基滿足正交歸一性.IR基所張開的空間的維數(shù)滿足qhv=(g/ gl)hv關(guān)系.二維平面空間群P6mm的IR矩陣也滿足(17)式.

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