再探無固定懸掛點單擺的周期

姜付錦

(武漢市黃陂區(qū)第一中學 湖北 武漢 430030)

《物理通報》2009年第4期刊登了《探討無固定懸掛點單擺的周期》[1]一文，深入淺出地探討了無固定懸掛點單擺的周期問題.但筆者認為文中存在幾個問題.

(1)動能定理只適用于慣性參考系，不適用于非慣性參考系；

(2)在慣性參考系中不考慮慣性力；

(3)動量守恒定律只適用于慣性參考系，不適用于非慣性參考系．考慮了以上問題后，筆者對這個問題有以下分析.不當之處還請各位物理同仁批評指正．

1 無固定懸掛點單擺模型

如圖1，光滑的水平桿上，有一個圓環(huán)O，質量為M，圓環(huán)上懸掛一單擺，單擺的擺長為l，擺球的質量為m，擺線長遠大于擺球及圓環(huán)的半徑．初始時單擺與豎直方向成θ(θ<5°)角度.求單擺運動的周期．

圖1

2 擺球相對于圓環(huán)的周期

2．1 根據求解

便可以把物體運動的周期求出．

選擺球為研究對象，以圓環(huán)為原點建立坐標系，分析物體受力.從圖1 可知擺球所受回復力為

f=mgsinθ+maMcosθ

(1)

我們只需求出aM的值，即可求得回復力的值．

而選圓環(huán)為研究對象以地面為參考系，可得

Tsinθ=MaM

(2)

擺球所受向心力為

(3)

圖2

如圖2所示，設此時圓環(huán)的水平速度為v環(huán)，擺球相對小圓環(huán)的速度為v相，則由機械能守恒定律與水平方向上動量守恒定律得

mgl(cosθ-cosθ0)=

(v相cosθ-v環(huán))2]

(4)

m(v相cosθ-v環(huán))=Mv環(huán)

(5)

由式(4)、(5)可得

(6)

求得

T=mgcosθ-maMsinθ+

(7)

因為θ角為微小角，則cosθ、cosθ0按冪級數(shù)展開都近似等于1，則

cosθ-cosθ0=0

于是式(7)變?yōu)?/p>

T=mgcosθ-maMsinθ

(8)

把式(8)代入式(2)可得

(9)

其中cosθ≈1,sin2θ≈0.把式(9)代入式(1)可得

由于θ為微小量，有θ≈sinθ.所以

得

擺球相對于圓環(huán)的振動周期為

2．2 根據vmax=Aω求解

若θ為細線與豎直方向的最大夾角，以圓環(huán)為參考系，取擺球為研究對象，由式(6)可得兩物體的最大相對速度為

而擺球相對于圓環(huán)的振幅則為

2．3 建立微分方程求解

擺球在微振動時，圓環(huán)由于受到細繩的拉力也在水平桿上做往復運動，我們取圖1所示位置進行分析，此時圓環(huán)受到的合外力F=Tsinθ=MaM．取擺球為研究對象且以圓環(huán)為參考系，此時的參考系是一個非慣性系，列方程時則要考慮慣性力．若求出了參考系的慣性加速度即aM，就可列出單擺的振動方程

即

(10)

再把式(9)代入后得

解微分方程可得θ的通解，求得單擺的周期為

3 擺球相對于地面的周期

3．1 根據求解

圖3

由于圓環(huán)與擺球在水平方向上所受合外力為零，因此兩者組成的系統(tǒng)的質心坐標在水平方向上保持不變，如圖3所示．

由質心定理可得

MxM=mxm

即Ml1=ml2

又因為l1+l2=l，所以

所以擺球相對于地面的回復力為

所以

故擺球相對于地面的運動周期為

3．2 根據vmax=Aω求解

若θ為細線與豎直方向的最大夾角，以地面為參考系，取擺球為研究對象，由動能定理可得

(11)

由水平方向上動量守恒定律有

mvmax+MvM=0

(12)

由式(11)、(12)可得

(13)

(14)

3．3 建立微分方程求解

由圖2可知擺球振動過程中的回復力為

Fm=mgsinθ

可求得

4 圓環(huán)相對于地面的周期

4．1 根據求解

所以

4．2 根據vmax=Aω求解

若θ為細線與豎直方向的最大夾角，以地面為參考系取擺球為研究對象，由動能定理得

(15)

由水平方向上動量守恒定律有

mvmax+MvM=0

(16)

由式(15)、(16)可得

(17)

(18)

(19)

由水平方向上動量守恒定律有

mvmax+MvM=0

(20)

由式(11)、(12)可得

(21)

(22)

5 討論與總結

根據以上所求得的周期可以得出如下結論．

(1)擺球對環(huán)的周期、擺球對地的周期及環(huán)對地的周期都相等，我們說系統(tǒng)的振動周期也是

(2)無論取地面為參考系還是取圓環(huán)為參考系，擺球的運動周期均為

若M?m時，就可得到擺球一般形式的運動周期

由于圓環(huán)的運動周期也為

因此可以說由擺球與圓環(huán)所組成的系統(tǒng)其振動周期為

(3)取地面為參考系，擺球所受回復力為

Fm=mgsinθ

振幅為

圓環(huán)所受回復力為

FM=MaM=mgsinθ

振幅為

可得

Fm=FMAM≠Am

即擺球與圓環(huán)所受回復力相等但振幅不相同．其振幅之所以不同的原因是擺球與圓環(huán)的質量不同，只有當M=m的特殊情況下，二者運動的振幅才相同．

(4)若原題中水平桿由光滑的變?yōu)榇植诘?，求解思路還是一樣，以上所使用的三種方法均可用，唯一需要變動的只是求解圓環(huán)加速度aM時加上摩擦力的貢獻即可，但須注意此時圓環(huán)與擺球在水平方向所受合外力不再為零，二者的動量不再守恒.

通過比較以上求解方法我們可以看出，建立微分方程求解，雖然思路清晰，步驟簡潔，對中學物理教師有一定的參考價值，但中學生缺乏求解微分方程的準備知識，難以理解，因此這種方法有一定的局限性．

(1)分析研究對象所受力，列出其回復力的表達式．

(2)回復力表達式中需要求解的未知量一般為所選參考系的非慣性加速度，因此要列方程進而對其求解．

(3)把所求未知量代入回復力的表達式，簡化為F=-κx的形式，得到κ的值．

1 韓娟，鄭修林，李春梅.探討無固定懸掛點單擺的周期.物理通報，2009(4)：2