運用微元法處理“非線性”變化物理問題

劉成華

(前黃高級中學(xué) 江蘇 常州 213161)

非線性變化的物理問題往往都比較復(fù)雜，比如變力做功問題、非勻變速運動位移問題、安培力沖量問題等等.有些非線性變化問題可以用“圖像面積”來解決[1]，但還有許多非線性變化的問題用圖像解決不了.本文意在闡述運用“微元法”來解決非線性變化的物理問題.

微元法是將連續(xù)的研究對象(物體或物理過程)進行無限分割，從其中抽取某一微小單元進行討論，從而找出被研究對象變化規(guī)律的一種思想方法.用微元法解決物理問題是對選取的微元(一個微小部分或微小過程)進行分析研究，確定其受力、運動或狀態(tài)變化等等.運用微元法的目的，就是為了將不易分析、難以確定的研究對象或物理過程分割到足夠小，小到可以近似處理為簡單、基本、可研究的問題，最后再積零為整，把所有局部范圍內(nèi)研究的結(jié)果累積起來，就可以得到問題的最終解決.

1 運用微元法解決非線性變化外力做功問題

對于恒力做功，可以利用公式W=Fscosα直接求出；但對于變力做功如何求解呢？

【例題1】如圖1所示，質(zhì)量為m的物體以恒定速率v沿半徑為R的豎直平面內(nèi)圓環(huán)軌道運動，已知物體與豎直軌道間的動摩擦因數(shù)為μ，試求物體從軌道最低點運動到最高點過程中，摩擦力做的功.

圖1

解析:物體沿豎直圓軌道從最低點勻速率運動到最高點的過程中，在不同位置與圓環(huán)間的壓力(圖2)，由

得

圖2

而摩擦力為

f=μN

可見摩擦力f是關(guān)于余弦函數(shù)變化的，是非線性變化的力，它的功不能簡單的用W=Fscosα來求得.可由圓軌道的對稱性，在圓軌道水平直徑上、下各取兩對稱位置A和B(圖3),設(shè)OA、OB與水平直徑的夾角為θ，取微元Δθ，則圓弧Δs=RΔθ的足夠短可看作直線，且摩擦力可視為恒力，則在A、B兩點附近的微元Δs內(nèi)，摩擦力所做的功之和可表示為

ΔWf=-μNARΔθ+(-μNBRΔθ)

圖3

又因為物體在A、B兩點以速率v做圓周運動，所以

綜合以上各式得

ΔWf=-2μmv2Δθ

故摩擦力對車所做的功

Wf=∑ΔWf=∑-2μmv2Δθ=

-2μmv2∑Δθ=-πμmv2

這題是一個復(fù)雜的變力做功問題，利用公式直接求功是難以辦到的.利用微元思想，把物體的運動過程無限細分，在每一份位移微元內(nèi)，力的變化量很小，可以忽略這種微小變化，認為物體在恒力作用下的運動；接下來把所有位移內(nèi)的功相加，即“無限求和”，則總功就可求得.

2 運用微元法解決速度呈非線性變化的運動物體的位移

【例題2】從地面上以初速度v0豎直向上拋出一質(zhì)量為m的球，若運動過程中受到的空氣阻力與其速率成正比關(guān)系，球運動的速率隨時間變化規(guī)律如圖4所示，t1時刻到達最高點，再落回地面，落地時速率為v1，且落地前球已經(jīng)做勻速運動．求：

(1)球從拋出到落地過程中克服空氣阻力所做的功；

(2)球拋出瞬間的加速度大小；

(3)球上升的最大高度H．

解析：從題給v-t圖可知，球運動速率變化是非線性變化的，而球在運動過程中受到的空氣阻力與速率成正比關(guān)系，所以球受到的阻力同樣為非線性變化的，運動過程中的加速度也是非線性變化的.

圖4

(1)整個過程運用動能定理求得克服空氣阻力做功

(2)空氣阻力f=kv，落地前勻速運動，則

mg-kv1=0

剛拋出時加速度大小為a0，由牛頓運動定律得

mg+kv0=ma0

解得

(3)設(shè)上升時加速度為a，由牛頓第二定律得

-(mg+kv)=ma

取時間微元 Δt內(nèi)，速度變化 Δv,在極短時間內(nèi)可認為是勻變速運動，則有

又

vΔt= Δh

上升全程

則

本題第(3)問是一個求非勻變速運動位移問題;上升運動過程加速度呈非線性變化，不能夠直接運用運動學(xué)公式及牛頓運動解題.運用微元思想，把物體的運動無限細分，在極短時間內(nèi)加速度變化很小，可認為是勻變速運動，對微元過程運用運動學(xué)公式列方程.

3 運用微元法解決加速度呈非線性變化的運動物體的時間

【例題3】如圖5所示，兩平行的光滑金屬導(dǎo)軌安裝在一光滑絕緣斜面上，導(dǎo)軌足夠長且間距為l,電阻忽略不計，導(dǎo)軌平面的傾角為α.條形勻強磁場的寬度為d，磁感應(yīng)強度大小為B、方向與導(dǎo)軌平面垂直.長度為2d的絕緣桿將導(dǎo)體棒和正方形的單匝線框連接在一起組成如圖所示裝置，總質(zhì)量為m，置于導(dǎo)軌上.導(dǎo)體棒中通以大小恒為I的電流(由外接恒流源產(chǎn)生，圖中未圖出).線框的邊長為d(d

圖5

求：(1)裝置從釋放到開始返回的過程中，線框中產(chǎn)生的焦耳熱Q；

(2)經(jīng)過足夠長時間后，線框上邊與磁場區(qū)域下邊界的最大距離xm.

解析:線框下邊框進入磁場后產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，回路中產(chǎn)生逆時針方向的電流.線框上邊框進入磁場后回路中產(chǎn)生順時針方向的電流.線框總是受到沿斜面向上的安培力而減速，使之進入磁場后的速度隨時間的變化呈指數(shù)衰減，線框所受安培力也將按指數(shù)衰減，則裝置的加速度也將按指數(shù)衰減，呈非線性變化.這樣一個復(fù)雜的物理規(guī)律，也可用微元法求出其數(shù)學(xué)表達式.

(1)設(shè)裝置由靜止釋放到導(dǎo)體棒運動到磁場下邊界的過程中，作用在線框上的安培力做功為W.由動能定理有

mgsinα·4d+W-BIld=0

且

Q=-W

解得

Q=4mgdsinα-BIld

(2)經(jīng)過足夠長時間后，線框在磁場下邊界與最大距離xm之間往復(fù)運動.由動能定理

mgsinα·xm-BIl(xm-d)=0

解得

本題是2009年高考江蘇卷物理學(xué)科第25題中兩問.

通過以上例題可以看出運用微元法的一般解題思路：

(1)隔離選擇恰當(dāng)微元作為突破整體研究的對象,微元可以是一小段線段、圓弧、一小塊面積、一個小體積、小質(zhì)量、一小段時間……但應(yīng)具有整體對象的基本特征；

(2)將微元模型化(如視作點電荷、質(zhì)點、勻速直線運動、勻速轉(zhuǎn)動……)并運用相關(guān)物理規(guī)律，求解這個微元與所求物體的關(guān)聯(lián)；

(3)將一個微元的求解結(jié)果推廣到其他微元，并充分利用各微元間的對稱關(guān)系、矢量方向關(guān)系、近似極限關(guān)系，對各微元的解出結(jié)果進行疊加，以求出整體量的合理解答.

微元的選取應(yīng)遵循的原則：

(1)所選取的微元必須具有代表性，即微元應(yīng)具有物體的某些物理特征，如代表物體的受力特征、運動特征、狀態(tài)變化特征等.

(2)所選取的微元必須與所求物理量相關(guān)聯(lián)，這樣才能通過研究微元得到問題的解.

(3)所選取的微元要盡量簡單，這樣有助于建立簡單的物理模型，易于研究分析.

微元法是分析、解決物理問題中的常用方法，也是從部分到整體的思維方法.用該方法可以使一些復(fù)雜的物理過程用我們熟悉的物理規(guī)律迅速地加以解決，使所求的問題簡單化.在使用微元法處理問題時，需將其分解為眾多微小的“元過程”，而且每個“元過程”所遵循的規(guī)律是相同的，這樣，我們只需分析這些“元過程”，然后再將“元過程”進行必要的數(shù)學(xué)方法或物理思想處理，進而使問題求解.使用此方法會加強我們對已知規(guī)律的再思考，從而引起鞏固知識、加深認識和提高能力的作用.

參考文獻

1 劉成華.用圖像面積研究非線性問題.物理教師，2007(11)：47