獨(dú)辟蹊徑 突破數(shù)學(xué)知識(shí)不同步的困境

吳維佳

(蘇州中學(xué) 江蘇蘇州 215000)

學(xué)習(xí)物理的過程就是學(xué)習(xí)基礎(chǔ)物理知識(shí)、掌握基本物理方法、培養(yǎng)解決物理問題能力的過程.無論是理解能力、推理能力、分析綜合能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力還是實(shí)驗(yàn)與探究能力都離不開數(shù)學(xué)知識(shí)的儲(chǔ)備.學(xué)習(xí)物理的過程其實(shí)也是不斷深入掌握物理學(xué)中的數(shù)學(xué)方法的過程.

高中物理難學(xué)，高中物理難教，原因是多方面的;物理、數(shù)學(xué)兩門學(xué)科教學(xué)進(jìn)度不協(xié)調(diào)，學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)不能適應(yīng)物理應(yīng)用的需要就是一個(gè)重要原因.在日常教學(xué)過程中我們常常碰到這樣的現(xiàn)象，解決物理問題所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)數(shù)學(xué)課上還沒來得及教，有些甚至是超綱的，這就影響了學(xué)生對(duì)物理知識(shí)的掌握.由于涉及到不同學(xué)科課程內(nèi)容的設(shè)置，這一現(xiàn)象無法從根本上避免.然而，只要我們用心鉆研就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這其中有一些問題是可以通過建立新的、特殊的物理模型，運(yùn)用現(xiàn)有數(shù)學(xué)知識(shí)加以解決的.

例如，在進(jìn)行力的平衡問題教學(xué)時(shí)我們會(huì)碰到這樣一個(gè)問題.

在粗糙水平面上有一質(zhì)量為m的物塊，在與水平面成α角的拉力F的作用下做勻速運(yùn)動(dòng)，物塊與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ.求F的最小值.

常規(guī)解法是:分析物塊受力如圖1所示，由力的平衡條件有

圖1

由以上(1)、(2)、(3) 式可得

這里由于數(shù)學(xué)還沒學(xué)到正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的疊加方法，所以學(xué)生不知如何求最小值.有些教師在講到這里時(shí)就直接告訴學(xué)生，數(shù)學(xué)上有一個(gè)專門的公式求它的極值

這難免有些強(qiáng)人所難.也有些教師索性等到數(shù)學(xué)講過了這一方法時(shí)再講這一問題;這似乎又有點(diǎn)坐失良機(jī).其實(shí)這一問題我們可以借助三力的動(dòng)態(tài)平衡模型，利用圖像法來解決.

拉力F的大小方向不同，接觸面上的壓力N和摩擦力f的大小也不同，壓力N和摩擦力f的合力的大小也是不同的，設(shè)此合力為T，如圖2所示.

圖2

由滑動(dòng)摩擦力的概念

θ為定值，即這個(gè)合力T的方向不變.

可以把物塊看成只受三個(gè)力作用:mg是恒力，T方向恒定，F(xiàn)大小方向均變化.根據(jù)力的平衡條件可知:T、F的合力與重力mg平衡，如圖3.

去達(dá)里湖景區(qū)之前，前面提過的曼陀山和落腳的達(dá)日罕小鎮(zhèn)，多少也是值得一提。8月8日本來是較早地從景區(qū)脫身出來，一路南下偏西過黃崗梁、白音敖包直奔達(dá)里湖方向，原以為時(shí)間寬裕、今日終閑，誰知一路尋找住地又橫生周折，路過的鎮(zhèn)子往往是旅游旺期家家客滿。偶爾有個(gè)兩三間空閑，也實(shí)在不夠我們一行12人住呵。

圖3

由圖3易知，當(dāng)F垂直于T時(shí)有最小值

再如，當(dāng)研究功率的公式和機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用問題時(shí)，也會(huì)碰到這樣的問題.

一根不可伸長的輕繩，長為L，一端固定，另一端系一個(gè)質(zhì)量為m的小球.輕繩處在水平位置，拉直但不繃緊.由靜止釋放小球，求小球下落到最低點(diǎn)的過程中重力的最大功率.

設(shè)小球下落到輕繩與水平成α角，如圖4所示.

圖4

小球下落過程遵循機(jī)械能守恒，有

無論是用三元均值不等式，還是用求導(dǎo)數(shù)的方法求此式的最大值，在數(shù)學(xué)上已不屬于必修內(nèi)容了.

分析小球受力(圖5)，并分解重力.由牛頓第二定律得

結(jié)合(4)式可得

圖5

分解繩子張力T(圖6).

圖6

當(dāng)小球豎直方向合力為零

結(jié)合(6)式有

此時(shí)小球豎直方向加速度為零，小球豎直速度達(dá)最大，因此重力的功率有最大值.

這樣的例子還有很多.只要我們?cè)诮虒W(xué)中能做個(gè)有心人，大膽探索，就能獨(dú)辟蹊徑，突破物理教學(xué)與數(shù)學(xué)知識(shí)不同步的困境.