線電荷與圓柱導(dǎo)體間的相互作用

喻莉 楊植宗 何艷

(武漢空軍雷達(dá)學(xué)院基礎(chǔ)部 湖北 武漢 430019)

1 引言

在靜電場中，當(dāng)電荷附近存在某一導(dǎo)體時(shí)，導(dǎo)體表面會出現(xiàn)感應(yīng)電荷.由于感應(yīng)電荷的分布情況及其總帶電量不太容易得出，那么求解電荷與導(dǎo)體間的相互作用就比較困難.但是如果電荷是點(diǎn)電荷或線電荷，且導(dǎo)體形狀是平面、球或圓柱面時(shí)，就可以采用鏡像法來求解.在電磁學(xué)或電動力學(xué)中，鏡像法是計(jì)算靜電場問題的一種重要方法[1～2].本文在用鏡像法求解線電荷與接地圓柱導(dǎo)體間相互作用的基礎(chǔ)上，通過增加鏡像電荷的方法，進(jìn)一步分析求解得出了線電荷與絕緣圓柱導(dǎo)體、與電源連接的圓柱導(dǎo)體間的相互作用.

2 線電荷與圓柱導(dǎo)體間的相互作用

2.1 線電荷與接地圓柱導(dǎo)體間的相互作用

如圖1，一半徑為a的無限長接地圓柱導(dǎo)體外放有一線密度為ρl(設(shè)ρl>0)的無限長線電荷，且圓柱導(dǎo)體的軸線與線電荷平行，間距為d.由于靜電感應(yīng)，圓柱面上的正電荷將會被排斥后運(yùn)動到遠(yuǎn)離線電荷的一邊，并沿著導(dǎo)線入地，而圓柱面上的負(fù)電荷將會被吸引后運(yùn)動到靠近線電荷的一邊.那么此時(shí)圓柱導(dǎo)體的鏡像電荷是怎樣的呢？

圖1 線電荷與接地圓柱導(dǎo)體

(1)由于圓柱面上有一部分正電荷沿導(dǎo)線入地，故圓柱面面電荷總量為負(fù)值.因此鏡像電荷的電量一定是負(fù)值.

(2)根據(jù)對稱性，圓柱面的面電荷必然以O(shè)x軸對稱分布，故鏡像電荷必定位于線電荷與圓柱軸線所決定的平面上.

(3)為使圓柱導(dǎo)體面上各點(diǎn)的電勢為零，鏡像電荷應(yīng)該是位于圓柱面內(nèi)部且與軸線平行的無限長線電荷.

由于在垂直于線電荷的所有截面上電場的分布均相同，因此可以取任意一截面來進(jìn)行研究，這樣就將三維情況簡化為二維.如圖1，現(xiàn)假設(shè)鏡像電荷的線密度為ρl′，距離圓柱的軸線為d′ .選取x軸上任意一點(diǎn)m(m>a)為零勢參考點(diǎn).圓柱面上任意一點(diǎn)P(a,β)的電勢應(yīng)為ρl和ρl′在該點(diǎn)產(chǎn)生的電勢之和，而P點(diǎn)的電勢又為零，故

(1)

求解(1)式[3]可得

ρl′=-ρl

此時(shí)，線電荷ρl與圓柱導(dǎo)體間的相互作用就等于線電荷ρl與鏡像電荷ρl′之間的相互作用.ρl′在圓柱面外空間任一點(diǎn)N(r，ψ)的電勢為

(2)

由電場強(qiáng)度E′=-▽φ′,則在ρl所在位置的電場強(qiáng)度為

（1）保證所有施工段的工作量基本一致，嚴(yán)格按規(guī)定時(shí)間對每一段進(jìn)行施工，完成一段施工后，按計(jì)劃及時(shí)進(jìn)入下一個(gè)階段的施工，進(jìn)而保證總體施工進(jìn)度。

(3)

則單位長度線電荷ρl所受的作用力為

(4)

可見，它們之間的相互作用表現(xiàn)為引力.

2.2 線電荷與絕緣圓柱導(dǎo)體間的相互作用

與2.1中的條件相同，但將無限長接地圓柱導(dǎo)體換為不帶電的無限長絕緣圓柱導(dǎo)體，如圖2.同樣，由于靜電感應(yīng)，在圓柱面上就將會出現(xiàn)密度不同、符號不同的面電荷分布.那么此時(shí)圓柱導(dǎo)體的鏡像電荷是怎樣的呢？

(1)由于圓柱面上的面電荷總量為零，故鏡像電荷的總量也為零.

(2)圓柱面的面電荷仍然以O(shè)x軸對稱分布，故鏡像電荷還是位于線電荷與圓柱軸線所決定的平面上.

(3)圓柱導(dǎo)體面為等勢面，故鏡像電荷和線電荷ρl在圓柱面上各點(diǎn)所產(chǎn)生的總電勢應(yīng)處處相等.

圖2 線電荷與絕緣圓柱導(dǎo)體

如2.1中一樣引入一線密度為ρl′的鏡像電荷后，顯然鏡像電荷和線電荷ρl在圓柱面上各點(diǎn)的總電勢處處相等，但此時(shí)鏡像電荷的總量不為零.要讓鏡像電荷的總量為零，顯然還需引入一線密度為ρl″的鏡像電荷，且ρ″=-ρl′.而為了保證圓柱面上的電勢處處相等，該鏡像電荷就應(yīng)該放在圓柱面的軸線上.這樣就可以用兩個(gè)鏡像電荷來代替圓柱面上的感應(yīng)電荷，那么線電荷ρl與圓柱導(dǎo)體間的相互作用就等于線電荷ρl與兩個(gè)鏡像電荷之間的相互作用之和.此時(shí)ρl″和ρl′在圓柱面外空間任一點(diǎn)N(r，ψ)的電勢為

(5)

由電場強(qiáng)度E′=-▽φ′,則在ρl所在位置的電場強(qiáng)度為

(6)

則單位長度線電荷ρl所受的作用力為

(7)

此時(shí)，它們之間的相互作用也表現(xiàn)為引力，且小于圓柱導(dǎo)體接地時(shí)的情況.

2.3 線電荷和一個(gè)與電源連接的圓柱導(dǎo)體間的相互作用

與2.1中的條件相同，但將無限長接地圓柱導(dǎo)體換為與一電動勢為ε的電源相接的無限長圓柱導(dǎo)體，如圖3.此時(shí)圓柱導(dǎo)體的鏡像電荷是怎樣的呢？

圖3 線電荷與電源相接的圓柱導(dǎo)體

(1)圓柱面的面電荷仍然以O(shè)x軸對稱分布，故鏡像電荷還是位于線電荷與圓柱軸線所決定的平面上.

(2)圓柱面上的電勢處處相等，電勢為φ.故鏡像電荷與線電荷在圓柱面上產(chǎn)生的總電勢應(yīng)處處為φ.

在2.1中，當(dāng)放入鏡像電荷ρl′后，在ρl和ρl′的作用下，圓柱導(dǎo)體面上的電勢處處為零，但此時(shí)，我們要求其電勢處處為φ，因此，我們還需在圓柱導(dǎo)體的軸線上放入另一線電荷ρl″ ，并且該電荷必須在圓柱面上產(chǎn)生的電勢為φ.由于ρl″在圓柱面上產(chǎn)生的電勢為

故

此時(shí)ρl″和ρl′在圓柱面外空間任一點(diǎn)N(r，ψ)的電勢為

(8)

由電場強(qiáng)度E′=-▽φ′，則在ρl所在位置的電場強(qiáng)度為

(9)

則單位長度線電荷ρl所受的作用力為

(10)

此時(shí)，它們之間的相互作用即可能是引力也可能是斥力.

3 小結(jié)

本文用鏡像法解得線電荷與接地圓柱導(dǎo)體、絕緣圓柱導(dǎo)體、連接電源的圓柱導(dǎo)體間的相互作用，所得結(jié)論具有一定的普遍性.對于無限長線電荷位于無限長圓柱導(dǎo)體內(nèi)時(shí)的情況，本文的方法也同樣適用.無限長圓柱導(dǎo)體雖為一物理模型，但當(dāng)圓柱導(dǎo)體的長度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于線電荷到圓柱導(dǎo)體間的距離時(shí)，圓柱導(dǎo)體便可看作無限長，因此本文所得結(jié)論仍具有一定的參考價(jià)值和實(shí)際意義.

參考文獻(xiàn)

1 蘭明乾.用電像法討論點(diǎn)電荷與導(dǎo)體球間的相互作用．物理與工程，2008，18(4)：21～23

2 鄧衛(wèi)娟.與電象有關(guān)的互作用力及其所作功和互能．大學(xué)物理，2004，23(11)：30～33

3 郭碩鴻．電動力學(xué)(第二版)．北京：高等教育出版社，1997.56