微分方程模型在種群問題中的應(yīng)用

代麗麗，王 煜

(通化師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，吉林 通化 134002)

全球生態(tài)環(huán)境的日益惡化越來越引起人們對種群生長和種群對其生存空間依賴性的重視.許多生態(tài)學(xué)者和數(shù)學(xué)工作者對這方面的問題進(jìn)行了深入研究，并得到了一些有意義的研究成果.眾所周知，人類生存環(huán)境的改善能造福人類，但也會產(chǎn)生一些負(fù)面的影響，這其中就包括對人類生存環(huán)境的破壞.人類及其它生物種群生存環(huán)境的生態(tài)平衡與社會的可持續(xù)發(fā)展關(guān)系重大，如何使人類在享受大自然，利用大自然的同時，又能保護(hù)大自然，這是人們一直關(guān)心的問題.并由此而產(chǎn)生了生物學(xué)的研究分支.生物數(shù)學(xué)是生命科學(xué)與數(shù)學(xué)之間的邊緣學(xué)科，它是應(yīng)用數(shù)學(xué)理論與計算機(jī)技術(shù)研究生命科學(xué)中數(shù)量性質(zhì)、空間結(jié)構(gòu)形式，分析復(fù)雜的生物系統(tǒng)的內(nèi)在特性，揭示在大量生物實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中所隱含的生物信息.

回顧生物數(shù)學(xué)發(fā)展的近百年歷史，我們清楚的看到，對生物數(shù)學(xué)的研究越來越受到人們的重視，且在各個分支上的理論研究也在不斷地成熟與完善.就不同時期的生物種群數(shù)學(xué)模型而言，早在1798年，英國的經(jīng)濟(jì)學(xué)家和人口學(xué)家Malthus就提出了描述種群發(fā)展過程的動態(tài)數(shù)學(xué)模型，也稱為Malthus模型[1].

1838年，比利時社會學(xué)家P.F.Verhulst改進(jìn)了Malthus模型，考慮到環(huán)境容量又提出了Logistic模型[2]

其中常數(shù)λ和K分別稱作種群的內(nèi)在增長率和環(huán)境容量.

容易看到，由于這兩個模型都沒有考慮到年齡分布等因素，因而對于壽命較長，世代重疊的物種(例如人口)會產(chǎn)生較大的偏差，而其種群的年齡結(jié)構(gòu)往往也是人們十分關(guān)心的信息.為此，又建立了與年齡相關(guān)的時變種群數(shù)學(xué)模型.

1 與年齡相關(guān)的線性種群數(shù)學(xué)模型

F.R.Sharpe和A.J.Lotka在1911年以及A.G.M-kendrick在1926年提出與年齡相關(guān)的連續(xù)模型，并由H.Von Foerster進(jìn)行改進(jìn)，得到了下面的數(shù)學(xué)模型(P1)[3].

2 與年齡相關(guān)的非線性種群數(shù)學(xué)模型

從種群發(fā)展過程的實(shí)際出發(fā)，我們不容忽視種群擁擠和生存環(huán)境對種群發(fā)展過程的影響，這就導(dǎo)致人們又建立了如下的與年齡相關(guān)的非線性種群數(shù)學(xué)模型(P2)[4]:

對于系統(tǒng)(P2)，人們從不同的側(cè)面對它進(jìn)行了研究，得到了很多重要而有意義的研究結(jié)果.

1985年，G.F.Webb[5]總結(jié)了前人有關(guān)解的存在性、穩(wěn)定性等工作，并用半群的方法進(jìn)一步對系統(tǒng)(P3)在定常情形的解的存在性和穩(wěn)定性做了研究，得出了系統(tǒng)解的穩(wěn)定性結(jié)果.

1999年，陳任昭和李健全[6]對非線性時變種群系統(tǒng)(P3)的一般情形解的存在唯一性給出了證明，把定常情形的結(jié)果推廣到時變情形.

3 與年齡相關(guān)的線性種群系統(tǒng)的邊界控制問題

對于種群系統(tǒng)(P1)的邊界控制問題，1999年，曹春玲，陳任昭[7]討論了與年齡相關(guān)的時變種群系統(tǒng)(P3):

的邊界控制問題，證明了最優(yōu)控制的存在性，得到了控制為最優(yōu)的必要條件，給出了由積分-偏微分方程和變分不等式組成的最優(yōu)性組.

2000年，徐文兵，陳任昭[8]討論了時變種群系統(tǒng)(P4)：

具最終狀態(tài)觀測的最優(yōu)邊界控制問題，證明了系統(tǒng)解的存在唯一性，得到了最優(yōu)邊界控制的存在性及控制為最優(yōu)的必要條件.

4 具年齡分布和加權(quán)的種群數(shù)學(xué)模型

考慮到不同年齡的種群個體對種群發(fā)展過程的實(shí)際影響，人們又相繼研究了半線性種群系統(tǒng)和加權(quán)種群系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題.1999年，Barbu V.和Iannelli M.[9]討論了生育率和死亡率均依賴于種群加權(quán)總規(guī)模S(t)的半線性種群模型(P5)：

并針對于性能指標(biāo)泛函為

的情形，證明了系統(tǒng)(P5)最優(yōu)控制的存在性.

2006年，何澤榮，朱廣田[10]針對于生育率和死亡率均依賴于個體年齡的情形，提出了加權(quán)總規(guī)模的數(shù)學(xué)模型(P6):

其中Q=(0，A)×(0，T)，固定常數(shù)A，T分別表示個體最高壽命和控制周期.狀態(tài)變量p(a，t)表示t時刻年齡為a的個體數(shù)量，控制函數(shù)u代表收獲努力度.S(t)表示t時刻種群的加權(quán)總量，ω為權(quán)函數(shù).β，μ表示出生率和死亡率，它們都與S有關(guān)，意味著不同年齡的個體對種群的演化具有不同的影響.P0為初始年齡分布.借助不動點(diǎn)原理確立了系統(tǒng)的適定性，應(yīng)用極大化序列法和緊性證明了最優(yōu)收獲控制的存在性，利用法錐和共軛系統(tǒng)技巧導(dǎo)出了最優(yōu)性條件，推廣了一些文獻(xiàn)的工作.

2007年，葉山西，趙春[11]研究了具年齡分布和加權(quán)的非線性種群系統(tǒng)(P7):

的最優(yōu)分布控制問題，應(yīng)用Ekeland's變分原理證明了最優(yōu)分布控制的存在性，并用法錐和共軛系統(tǒng)技巧導(dǎo)出了最優(yōu)性條件.

參考文獻(xiàn)：

[1]Malthus T R.An Essay on the principle of population as it Affects the Future Improement of Society，with Rwmarks on the Speculations of M Condorct and other writer[M].London:J Johnson，798.

[2]Verhulst P F.Notice Sur la Loi Que Population Unit Son Accroissement[J].Correspones Mathematiques et physiques，1838，10:113-121.

[3]Foerster H Von.Some Remarks on Changing Population in the Kinetics of Celluar Proliferation[M].New York:Grune and Stratton，1959.

[4]Gurtin M E，MaCamy R C and Hoppensteadt F.Nonlinear Age-dependent Population Dynamics.Arch[J].Rat.Mech.Anal，1974，54:281-300.

[5]Webb G F.Theory of Nonlinear Age-dependent Population Dynamics[J].Pure and Applied Mathematics，New York:Dekker，1985.

[6]陳任昭，李健全.非線性時變種群系統(tǒng)解的存在唯一性[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報，2003，23A(2):1-17.

[7]曹春玲，陳任昭.時變種群系統(tǒng)的最優(yōu)邊界控制[J].東北師范大學(xué)學(xué)報，1999(4).

[8]Barbu V and Iannelli M.Optimal Control of Population Dynamics[J].J.Opti.Theo.Appl，1999，102(1):1-14.

[9]徐文兵，陳任昭.時變種群系統(tǒng)最終狀態(tài)觀測及邊界控制[J].東北師范大學(xué)學(xué)報，2000，32(1).

[10]何澤榮，朱廣田.基于年齡與分布和加權(quán)總規(guī)模的種群系統(tǒng)的最優(yōu)收獲控制[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展，2006，35(3):315-324.

[11]葉山西，趙春.一類具有年齡分布和加權(quán)的種群系統(tǒng)的最優(yōu)控制[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)，2007，20(3).