基于灰色邏輯斯蒂模型的林木生長(zhǎng)量研究

覃 力，唐學(xué)冰，馬友湖

(1.建始縣三里林站，湖北 建始 445300; 2.建始縣國(guó)營(yíng)高巖子林場(chǎng)，湖北 建始 445300)

邏輯斯蒂(Logistic) 曲線方程是荷蘭生物數(shù)學(xué)家P.F.Verhulst為研究人口增長(zhǎng)過(guò)程于1938年而導(dǎo)出的，但長(zhǎng)期被湮沒(méi)，直到20 世紀(jì)20 年代才為R.Pearl和L.T.Reed重新發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用.Logistic曲線方程既應(yīng)用于社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象研究，也廣泛應(yīng)用于林木生量的預(yù)測(cè)等研究.林木的生長(zhǎng)是一個(gè)非常復(fù)雜的過(guò)，其特點(diǎn)是開(kāi)始增長(zhǎng)緩慢，而在以后的某一范圍內(nèi)迅速增長(zhǎng)，達(dá)到某限度后增長(zhǎng)又緩慢下來(lái).曲線略呈拉長(zhǎng)的“S”型[2-3].本文將待測(cè)對(duì)像的平均樹(shù)高看成是在一定范圍內(nèi)變動(dòng)的灰色量,利用灰色的建模技術(shù),探討Logistic方程參數(shù)的估計(jì)，稱之為灰色邏輯斯蒂模型，并結(jié)合實(shí)例說(shuō)明計(jì)算過(guò)程與建模效果.

1 Logistic模型

當(dāng)種群在一個(gè)有限空間增長(zhǎng)時(shí)，隨著種群密度的上升，對(duì)有限空間資源的競(jìng)爭(zhēng)必將加劇，從而影響種群的生殖率和存活率，以至降低種群的實(shí)際增長(zhǎng)率，最后種群停止增長(zhǎng)，有時(shí)甚至下降.因此，可設(shè)想在一個(gè)環(huán)境條件下，有一個(gè)允許的最大種群值K，通常稱K為環(huán)境容納量，Logistic方程[3]可描述這種有限空間中的種群生長(zhǎng):dH/dt=γH((K-H)/K).

其中:K為環(huán)境容納量；H為t時(shí)刻的種群數(shù)量；γ為種群內(nèi)稟增長(zhǎng)率.方程的積分式為:

H=K/(1+αe-γt)

(1)

其中:α為積分常數(shù).

2 模型參數(shù)的求解

2.1 線性回歸求解

式(1)雖為非線性方程，但K為環(huán)境的最大容納量，可具專業(yè)知識(shí)確定其值，由此變?yōu)榱顺Ａ?因此可轉(zhuǎn)化為一元線性回歸方程，采用最小二乘法求解.式(1)可轉(zhuǎn)化為：K/H-1=αe-γt兩邊取對(duì)數(shù)可得:

ln[K/(H-1)]=lnα-γt

(2)

今y=ln[K/(H-1)],a=lnα,則變成普通的一元線性回方程，可據(jù)最小二乘法求解.

2.2 GM(1，1)求解

對(duì)某個(gè)事物發(fā)展變化的大小與時(shí)間所作的預(yù)測(cè)，稱之為數(shù)據(jù)列.GM(1，1)模型為單序列的一階動(dòng)態(tài)模型，是常用的一種灰色數(shù)列預(yù)測(cè)模型[5-8].

設(shè)原始無(wú)明顯規(guī)律的時(shí)間序列{X(0)(i)}(i=1,2,…,n)作一次累加生成，得到序列：

X(1)={X(1)(1),X(1)(2),…,X(1)(n)}，

dX(1)/dt+aX(1)=u

(3)

(4)

(5)

根據(jù)灰色系統(tǒng)理論，有指數(shù)變化規(guī)律的原始數(shù)列可以不做生成處理,而直接進(jìn)行灰色建模[9].對(duì)等時(shí)間間隔的數(shù)據(jù)，式中B為式(6)，Q為式(7)：

(6)

Q=(X(0)(2)-X(0)(1),X(0)(3)-X(0)(2),…,X(0)(n)-X(0)(n-1))T

(7)

顯然式(1)可變?yōu)?

高敦施工是公路橋梁建設(shè)中的重要環(huán)節(jié)，我國(guó)高敦施工工藝技術(shù)得到極大提高，高墩施工關(guān)系著橋梁建設(shè)的安全性，在高墩施工中要嚴(yán)格按相關(guān)技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)執(zhí)行，避免出現(xiàn)工程質(zhì)量安全問(wèn)題，促進(jìn)我國(guó)公路橋梁建設(shè)的穩(wěn)健發(fā)展。

1/H=(1+αe-γt)/K

(8)

令x=1/H,B=1/K則式(8)可變?yōu)?

x=B(1+αe-γt)

(9)

對(duì)式(9)求導(dǎo)可得:

dx/dt=-γαBe-γt

(10)

式(10):dx/dt=-γαBe-γt=-γB(1+αe-γt)+γB,即:

dx/dt+γx=γB

令γ=a,γB=u可得式(11):

dx/dt+ax=u

(11)

式(11)中的參數(shù)a,u可通式(5)求得,則式(1)中的γ=a,K=γ/u，α=(K/H0-1)eγt0.

3 實(shí)例分析

為了研究林木的生長(zhǎng)規(guī)律，選取了對(duì)日本落葉松調(diào)查的一組數(shù)據(jù)，詳見(jiàn)表1.基于表1,對(duì)林木平均樹(shù)高的生長(zhǎng)進(jìn)行預(yù)測(cè)，可將式(1)變?yōu)椋?/p>

H=K/(1+αe-γt) (12)

(13)

由式(13)中的a=-0.017 0,u=-0.001 6,則式(12)中的γ=-0.017,K=10.702 2,當(dāng)H0=27.46,t0=31代入α=(K/H0-1)eγ(t0-199 1)得α=-0.599 98.于是平均樹(shù)高的灰色邏輯斯蒂方程為；

H灰=10.702 2/(1-0.599 98e0.01 7(t-30))

(14)

用線性回歸法求得的平均樹(shù)高的Logistic模型參數(shù)時(shí)，取K=100[5]，可得式(15)：

H線=100/(1+2.940 265 843e-0.056 6(t-30))

(15)

由式(14)、(15)估計(jì)的平均樹(shù)高詳見(jiàn)表1.

[1] 崔黨群.生物統(tǒng)計(jì)學(xué)[M].北京:中國(guó)科學(xué)技術(shù)出版社,1994.

[2] 孟憲宇.測(cè)樹(shù)學(xué)[M].北京:中國(guó)林業(yè)出版社,1996.

[3] 蔡賢如.Logistic方程參數(shù)優(yōu)化估計(jì)方法研究[J]．沈陽(yáng)農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，1995，26(1)：64-67.

[4] 鄧聚龍.灰色系統(tǒng)基本方法[M].鄭州：河南大學(xué)出版社,1987.

[5] 劉思峰,郭天榜,黨耀國(guó).灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，1999:102-155.

[6] 易德生,郭萍.灰色系統(tǒng)理論與方法：提要，題解，程序，應(yīng)用[M]．北京：石油工業(yè)出版社，1992:128-162.

[7] 秦文安，馬友平.利川市紅椿溝日最大降雨量的GM(1，1)的預(yù)測(cè)與修正[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2010，28(4)：474-477.

[8] 馬友平，張志華，艾訓(xùn)儒.城市化水平的灰色遺傳算法預(yù)測(cè)[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2008，26(1)：68-71.