一類含Hardy奇異項(xiàng)的p(x)-Laplace方程的正解

鄧志穎，劉祥清

(1.重慶郵電大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所,重慶 400065;2.云南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,云南 昆明 650092;3.蘇州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 蘇州 215006)

1 引言與主要結(jié)果

本文討論一類含Hardy奇異項(xiàng)的p(x)-Laplace方程:

(1)

形如方程(1)這類帶Hardy奇異項(xiàng)的變指數(shù)橢圓方程有著廣闊的物理背景和幾何背景,在導(dǎo)電材料的熱傳導(dǎo)理論、異質(zhì)化學(xué)催化劑理論和奇異極小曲面等諸多實(shí)際問題中都有應(yīng)用[1].當(dāng)μ=0時(shí),方程(1)非奇異,這類非奇異的變指數(shù)橢圓方程可以參見文獻(xiàn)[2-6]與其中所含的文獻(xiàn)等.當(dāng)μ≠0時(shí),此時(shí)方程具有奇異項(xiàng).文獻(xiàn)[7]研究了下述奇異p(x)-Laplace方程:

(2)

(3)

其中Ω=Ω′×RN-k,Ω′是Rk(1

討論方程(1)的一個(gè)出發(fā)點(diǎn)是下述有關(guān)變指數(shù)空間的基本理論與相關(guān)引理.設(shè)S(Ω)是Ω上全體(實(shí))可測函數(shù)構(gòu)成的集合.記:

W1,p(x)(Ω)={u∈Lp(x)(Ω):|▽u|∈Lp(x)(Ω)},

在Lp(x)(Ω)上賦以Luxemburg范數(shù):

引理1[2-3]設(shè)1

(i)(Poincáre不等式)存在C=C(Ω)>0,使得:

(ii)(H?lder不等式)?u∈Lp(x)(Ω),v∈Lp′(x)(Ω),有:

現(xiàn)在進(jìn)一步考察具有權(quán)函數(shù)的變指數(shù)Lebesgue空間.設(shè)a∈S(Ω),且?x∈Ω,a(x)>0,記：

(i)對u≠0,λ>0,|u|(p(x),a(x))=λ?ρa(bǔ)(x)(u/λ)=1;

(ii)|u|(p(x),a(x))<1(=1;>1)?ρa(bǔ)(x)(u)<1(=1;>1);

(vi)|uk|(p(x),a(x))→∞(k→∞)?ρa(bǔ)(x)(uk)→∞(k→∞).

討論方程(1)的另一個(gè)重要依據(jù)是變指數(shù)空間中的下述Hardy不等式.

引理4(Hardy不等式[4]) 設(shè)Ω是RN中的一個(gè)有界開集,δ=dist(x,?Ω),Ωc=RNΩ滿足條件:

(H) ?l>0,s.t. |Br(z)∩Ωc|≥l|Br(z)|，?z∈?Ω,r>0.

其中Br(z)是RN中以z為心半徑為r的球,|·|表示其測度.并設(shè)p(x):Ω|→[1,∞)在Ω上具有l(wèi)og-H?lder連續(xù)性,即:

則存在只依賴于p,N和l的常數(shù)C>0,a0>0,使得:

特別地,取a=0時(shí),有:

(4)

由上述Hardy不等式(4),從而可以定義:

(5)

結(jié)合引理3與引理4可以建立本文的一個(gè)重要引理.

引理5 在引理4的條件下,下述結(jié)論成立:

(6)

(7)

又由引理3可知:

(8)

(9)

(10)

下面分成四種情形分別進(jìn)行討論.

(11)

其中f(x,u)是滿足適當(dāng)條件的Caratheodory函數(shù).為簡單起見,只討論f(x,u)的兩種具體情形.

情形(I):f(x,u)=a(x)|u|q(x)-2u,即討論方程:

主要結(jié)果可以概括為:

1)當(dāng)μ≤0,q+

情形(II)f(x,u)=σ|u|r(x)-2u+b(x)|u|q(x)-2u,即討論方程:

主要結(jié)果是:

2 方程(P)正解的存在性

(12)

容易驗(yàn)證I∈C1(X,R),從而泛函I的臨界點(diǎn)即為方程(P)的(弱)解.為證得定理1,首先給出下述引理.

引理6[1]p(x)-Laplace算子Δp(x):X→X*是嚴(yán)格單調(diào)的同胚映射.

引理7 當(dāng)μ≤0,q+

定理1的證明分兩種情形來進(jìn)行討論.

(13)

其中u+=max{u(x),0}.容易驗(yàn)證J∈C1(X,R),且?u,v∈X,有:

(14)

下面分三步來證明定理1中的結(jié)論.

(15)

另一方面,當(dāng)n→∞時(shí),有：

▽un|p(x)-2▽un-|▽u|p(x)-2▽u)▽νdx-

結(jié)合上式與式(15)可知:

▽un|p-2▽un-|▽u|p-2▽u)▽νdx→0,?ν∈X.

在上式中取ν=un-u,并結(jié)合引理6立即可知:un→u于X.

可知:當(dāng)t>1充分大時(shí),有J(tu)<0.

3° 證明方程(P)非負(fù)非平凡解的存在性.結(jié)合1°,2°與山路引理[8]得出J具有非平凡臨界點(diǎn)u,即?ν∈X,有=0.取ν=u-=min{u(x),0},結(jié)合式(6)與式(14)得出:

從而u-≡0,u=u+≥0,又由2°可知J(u)≥α>0=J(0),從而u?0,故u是方程(P)的非負(fù)非平凡解.特別地,當(dāng)μ≤0時(shí),由p(x)-Laplace方程的強(qiáng)極大值原理[10]可知u是方程(P)的正解.

3 方程(Q)多重正解的存在性

本節(jié)的主要討論方程(Q),并證明定理2.考察X上的能量泛函:

(16)

其中u+=max{u(x),0},易知φ∈C1(X,R),且?u,ν∈X,有:

(17)

為證明定理2,首先給出下述引理.

引理8 若u是φ的臨界點(diǎn),則u是方程(Q)的非負(fù)解.

證明設(shè)u是X的臨界點(diǎn),從而?ν∈X,有<φ′(u),ν>=0,取ν=u-=min{u(x),0}.結(jié)合式(6)與式(17)可知u-≡0,從而u=u+≥0，即u為方程(Q)的非負(fù)解.

引理9φ在X上滿足(P.S)條件.

(18)

注意到q->p+,從而當(dāng)σ>0充分小時(shí)結(jié)論成立.

引理11 任給正值函數(shù)u∈X,則(i)當(dāng)t>0充分小時(shí),有φ(tu)<0;(ii)當(dāng)t→+∞時(shí),有φ(tu)→-∞.

證明設(shè)u∈X且在Ω中有u>0,一方面,當(dāng)t∈(0,1)時(shí),由r+

φ(tu)≤C11tp--C12tr+.

可知i)成立.另一方面,當(dāng)t>1時(shí),由q->p+與:

φ(tu)≤C13tp+-C14tr--C15tq-.

可知ii)成立.

定理2的證明由引理9-11可知泛函φ滿足山路引理[8]的全部條件,從而φ有非平凡臨界點(diǎn)u1,使得φ(u1)>α>0.由引理8可知u1是方程(Q)的一個(gè)非負(fù)非平凡解.進(jìn)一步,若μ≤0,則由強(qiáng)極大值原理[10]可知:u1>0,即u1是方程(Q)的一個(gè)正解.另一方面,當(dāng)μ≤0時(shí),記:

φ(u)=φ1(u)-φ2(u)-φ3(u),

φ(u1)>α>0>φ(u2).

故u2≠0,u2≠u1.易知u2是球B(0)的內(nèi)點(diǎn),從而u2是φ的臨界點(diǎn),這樣,由引理8和強(qiáng)極大值原理[11]得出:u1和u2是方程(Q)的兩個(gè)不同正解.定理2得證.

[1] Dupaigne L,Ghergu M,Radulescu V.Lane-emden-Fowler equations with convection and singular potential[J].J Math Pures Appl, 2007,87:563-581.

[2] Fan X, Zhao D. On the spacesLp(x)(Ω) andWm,p(x)(Ω)[J].J Math Anal Appl,2001,263:424-446.

[3] Fan X,Shen J,Zhao D.Sobolev embedding theorems for spacesWk,p(x)(Ω)[J].J Math Anal Appl,2001,262:749-760.

[4] Harjulehto P, H?ast? P,Koskenoja M. Hardy’s inequality in variable exponent Sobolev spaces[J].Georgian Math J,2005,12(3):431-442.

[5] 范先令.p(x)-Laplace方程的正解的存在性[J].西北民族學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2000,21(1):1-4.

[6] 范先令.一類p(x)-Laplace方程的正解[J].甘肅教育學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2001,15(1):1-3.

[7] Fan X. Solutions forp(x)-Laplacian Dirichlet Problems with Singular Coefficients[J].J Math Anal Appl,2005,312:464-477.

[9] Raghavendra V, Sreenadh K. Nontrivial solutions for perturbations of a Hardy-Sobolev operator on unbounded domains[J].J Math Anal Appl, 2003, 288: 314-325.

[8] Willem M. Minimax theorems[M].Birkh?user Boston,1996:20-32.

[10] 范先令,趙元章,張啟虎.p(x)-Laplace方程的強(qiáng)極大值原理[J].數(shù)學(xué)年刊,2003,24(A):495-500.