非等距高差序列GM(1，1)模型在索塔監(jiān)測數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用

孫太山，劉成龍，高淑照

(西南交通大學，成都 610031)

非等距高差序列GM(1，1)模型在索塔監(jiān)測數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用

孫太山，劉成龍，高淑照

(西南交通大學，成都 610031)

GM(1，1)模型用于貧數(shù)據(jù)建模問題，但是傳統(tǒng)的GM(1，1)模型是基于等距時間序列，對于數(shù)據(jù)量少且是非等距非時間序列建模問題就成為一個難題。為了探索在實際工程中應(yīng)用非等距非時間序列的GM(1，1)模型的可行性，本文以鄂東大橋索塔監(jiān)測數(shù)據(jù)處理為實例，提出非等距高差序列的GM(1，1)模型，并進行了模型精度分析。

非等距高差序列 GM(1，1)模型 索塔監(jiān)測 模型精度分析

湖北鄂東長江公路大橋主梁中跨梁段采用懸臂拼裝施工。大橋索塔為“鳳翎”式結(jié)構(gòu)，根據(jù)主梁吊裝過程中索塔變形監(jiān)測的需要，將監(jiān)測棱鏡設(shè)置于索塔上高程分別為177 m，199 m，219 m，235 m和250 m處。在每個監(jiān)測高程面的上下游塔柱各安裝一個棱鏡，以便監(jiān)測索塔的扭轉(zhuǎn)及整體位移，這就需要在中跨掛梁前確定各個監(jiān)測棱鏡的坐標作為裸塔初始坐標，以便掛梁后再監(jiān)測棱鏡坐標并與初始坐標比對，從而得到塔偏的結(jié)果。但是，由于實際施工的復雜性，在掛梁前并沒有得到南塔全部的裸塔初始坐標，為了監(jiān)測的需要，試圖根據(jù)不同高程面兩工況觀測得到的坐標差值序列來推算部分棱鏡的未知裸塔坐標。

影響塔上棱鏡坐標變化的因素有很多，如溫度的高低、太陽照射的角度、岸側(cè)和江側(cè)上下游各自索力的方向與大小、懸臂的長度、容許范圍內(nèi)偶然誤差的干擾，以及監(jiān)測棱鏡所在的高程面等等，因此監(jiān)測棱鏡的坐標變化是這些因素綜合作用的結(jié)果。由于這些因素影響機制的不確定性，決定了由不同高程面組成的兩期坐標差序列的灰色性，可以嘗試采用灰色預(yù)測模型來推算監(jiān)測棱鏡的裸塔坐標，以此解決部分監(jiān)測棱鏡裸塔坐標未知的問題。傳統(tǒng)的灰色預(yù)測模型是基于某一變量的等距時間序列，而此處的兩期坐標差序列是由不同高程面上的坐標差組成的序列，這就需要建立非等距高差序列的灰色預(yù)測模型。

1 非等距高差序列的GM(1，1)模型

設(shè)不同高程面兩工況間原始坐標差序列(以下簡稱原始序列)為

其中ΔX(0)(k)為某一高程面兩工況間坐標差，對原始序列作一次累加生成，以下簡稱1-AGO(Accumulated Generating Operation，AGO)［1］。設(shè)ΔX(1)(k)為1－AGO值，則

即得到1-AGO序列為

對序列ΔX(1)列單變量微分方程

式中，a為發(fā)展系數(shù)，反映模型增長趨勢;u為灰作用量，反映數(shù)據(jù)變化關(guān)系［2］。

建立非等距高差序列的GM(1，1)模型，關(guān)鍵有三點:①針對非等距高差序列建模，實現(xiàn)從傳統(tǒng)等距時間序列到非等距高差序列過程中模型的改化，從而解算出方程(4)中的參數(shù)a，u;②既然是基于非等距高差序列，那么所建立的模型就應(yīng)該可以模擬或預(yù)測出任意高程面上所需要的值，即建立任意高程面響應(yīng)函數(shù);③進行模型精度分析，以此驗證模型精度是否滿足要求，若滿足要求，則可以應(yīng)用此模型進行預(yù)測工作。

1.1 解算參數(shù)a，u

ΔX(1)(1)留作解算微分方程的特解，將ΔX(1)(2)，ΔX(1)(3)，…，ΔX(1)(n)分別代入上述微分方程中，由于是非等高差間距取樣，所以ΔHk=Hk+1－Hk(k=1，2，…，n－1)，故單變量微分方程(4)可改寫為

對式(5)整理并寫成向量形式

根據(jù)斜拉橋施工經(jīng)驗，當新梁第二次張拉后，塔身不同高程面受梁段荷載的影響是不同的，即不同高程面的塔偏是不同的。塔偏規(guī)律為:隨著高度增加，塔偏移量增加，即不同高程面對灰色模型背景值的貢獻是不一樣的，所以背景值不宜采用等權(quán)平滑值，而宜采用以高程面為權(quán)的加權(quán)平滑值確定。由此可得

1.2 建立任意高程面響應(yīng)函數(shù)

在上面的論述中，已經(jīng)將參數(shù)a和u求解出來，下一步就可以根據(jù)一階線性微分方程的解算方法來求解方程(5)，即可建立任意高程面響應(yīng)函數(shù)。

一階線性微分方程(5)的通解為

由公式(11)可以得到1-AGO的模擬序列，設(shè)該模擬序列為ΔX^(1)，則

對1-AGO的模擬序列進行一次累減生成(1-IAGO)(InverseAccumulatedGeneratingOperation，AGO)，可以得到原始序列的模擬序列，設(shè)原始序列的模擬序列為Δ，則

1.3 模型精度分析

灰色系統(tǒng)模型精度分析主要有三種方法，即殘差大小檢驗、關(guān)聯(lián)度檢驗和后驗差檢驗三種［3］，通常采用后驗差檢驗方法，本文亦采用此方法。

由上述GM(1，1)模型可得殘差序列為

計算后驗差比值C=S2/S1以及小誤差概率P= {|e(k)|}<0.674 5 S1，由此可以根據(jù)C和P的取值來確定模型的精度等級。模型精度等級判別式為模型精度等級=max{P所在的級別，C所在的級別}。模型精度等級劃分如表1所示。

表1 模型精度等級劃分標準［4］

2 算例分析

2.1 建立模型

鄂東大橋南塔上游兩工況下的塔偏監(jiān)測數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 鄂東大橋南塔兩工況下的上游塔偏監(jiān)測數(shù)據(jù)

由于施工的復雜性，在裸塔工況下無法得到高程為250 m處監(jiān)測棱鏡的裸塔坐標，而在吊裝F1梁后可以觀測此高程面的監(jiān)測棱鏡，并可以得出F1梁段第二次張拉后的X坐標?，F(xiàn)試圖從兩次工況得到的其他高程面的坐標差來推算上游250 m高程面的坐標差，從而間接計算出上游250 m高程面監(jiān)測棱鏡的裸塔坐標。首先，確定原始序列并得到1-AGO序列，如表3所示。

表3 原始序列及1-AGO序列

按照上文推導的公式(7)可以得到

根據(jù)公式(8)得到參數(shù)估值為

將得到的估值和作為初始值的高程面177 m處的坐標差16.3 mm，帶入到公式(11)中得到如下任意高程面響應(yīng)函數(shù)

根據(jù)該高程面響應(yīng)函數(shù)可以得到1-AGO模擬值和1-IAGO序列，如表4所示。

表41 -AGO模擬值序列和1-IAGO序列及預(yù)測情況

根據(jù)公式(14)可以得到誤差序列為

可以根據(jù)公式(15)，(16)，計算原始序列及殘差序列的方差和后驗差比值C=S2/S1、小誤差概率P，計算結(jié)果見表5。

表5 模型精度計算

按照表1判斷模型精度的標準，上述模型精度等級為1級，精度滿足要求。

2.2 預(yù)測

建立灰色模型的目的是預(yù)測，當模型精度符合要求時就可以進行預(yù)測工作。通過上文論證，非等距高差序列的GM(1，1)模型的精度符合要求，可以進行預(yù)測工作。

根據(jù)高程面響應(yīng)函數(shù)式(17)，當k=n+1時即可得出預(yù)測值，此時Hk=250 m，得到預(yù)測值31.2 mm，如表4。

至此，根據(jù)預(yù)測出來的高程面為250 m處監(jiān)測棱鏡的兩工況坐標差以及已知的其中一個工況的坐標值，就可以計算出另一工況的坐標值，如表6。

表6 鄂東大橋南塔上游塔偏坐標推算結(jié)果

根據(jù)表6可以看出，已知裸塔坐標與預(yù)測裸塔坐標較差較小，說明模型精度滿足要求。因此，應(yīng)用本文所述的非等距高差序列的GM(1，1)模型推算出的高程面為250 m處監(jiān)測棱鏡裸塔X坐標6 981.358 6是可信的。

3 主要結(jié)論

1)通過本文的論述，證明非等距高差序列的GM (1，1)模型在實際工程應(yīng)用中是可行的，模型精度符合要求，可以應(yīng)用此模型進行相關(guān)內(nèi)插或是預(yù)測。當斜拉橋或懸索橋的塔偏監(jiān)測遇到同類問題時，可以應(yīng)用本文模型推算裸塔坐標，或是根據(jù)任意兩個工況來推算任意高程面監(jiān)測點的未知坐標。

2)對于實際問題，GM(1，1)模型不僅可以是基于時間序列或是高差序列，還可以是基于其他應(yīng)用領(lǐng)域的某個因子，關(guān)鍵是推算其數(shù)學模型，并進行相關(guān)精度分析。當模型精度滿足要求時，即可以為相關(guān)領(lǐng)域的建模、內(nèi)插或預(yù)測服務(wù)。

［1］高淑照.灰色系統(tǒng)理論及在混凝土橋梁施工撓度變形監(jiān)測中的應(yīng)用［D］.成都:西南交通大學，2002.

［2］楊喜中，白莉.非等時距加權(quán)灰色預(yù)測模型及其在形變預(yù)報中的應(yīng)用［J］.城市勘測，1996(1):20-23.

［3］梁新美，胡友健，陳剛.灰色加權(quán)模型在深基坑變形預(yù)測中的應(yīng)用［J］.工程地球物理學報，2008，5(5):624-627.

［4］黃聲享，尹暉，蔣征.變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理［M］.武漢:武漢大學出版社，2003.

U448.27

B

1003-1995(2011)02-0033-03

2010-08-27;

2010-11-12

孫太山(1984—)，男，吉林省通化市人，碩士研究生。

(責任審編 趙其文)