纖維正則映射的無點刻畫

周曉陽，馮麗

（1.大連民族學(xué)院理學(xué)院，遼寧大連 116605;2.大連電子學(xué)校，遼寧大連 116023）

纖維正則映射的無點刻畫

周曉陽1，馮麗2

（1.大連民族學(xué)院理學(xué)院，遼寧大連 116605;2.大連電子學(xué)校，遼寧大連 116023）

纖維拓?fù)湓诮負(fù)淅碚撝惺前l(fā)展較為迅速的一個分支，近些年來，許多數(shù)學(xué)家對此門學(xué)科給予了極大的關(guān)注和興趣。與此同時，在計算機理論中，關(guān)于DCPO（有向完全偏序）的理論研究也一度成為該研究領(lǐng)域的一個熱點，而Frame理論為其提供了有意義的推理和語匯。給出了纖維拓?fù)湫再|(zhì)中的纖維正則映射的等價刻畫，并利用Frame理論給出了纖維正則映射的無點刻畫，從而使得Frame理論中關(guān)于纖維觀點的運用更為方便、快捷。

Frame;纖維正則映射;拓?fù)?/p>

纖維拓?fù)涞臍v史可追溯到一個多世紀(jì)之前Riemann的思想。纖維映射空間，作為纖維拓?fù)涑朔e的不交并，也出現(xiàn)在范疇拓?fù)涞墓ぷ髦小?989年，I.M.James出版了一本系統(tǒng)論述纖維拓?fù)涞闹鳎?］，此著作通過研究纖維的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與基空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的內(nèi)在聯(lián)系，較系統(tǒng)地給出一般拓?fù)鋵W(xué)中許多重要概念和命題在纖維拓?fù)淅碚撝械目坍?，促進(jìn)了纖維觀點在拓?fù)鋵W(xué)中的發(fā)展，使纖維拓?fù)洫毩⒌爻蔀橐婚T學(xué)科。

近些年來，在計算機理論科學(xué)中關(guān)于DCPO的理論研究也一度成為熱點，而Frame理論既是其中的一部分，也為其提供了有意義的推理和語匯。盡管關(guān)于Frame理論的文獻(xiàn)很多，其研究也相當(dāng)深入，但Frame理論的語匯卻沒有在纖維拓?fù)淅碚撝羞\用。例如:如何用無點拓?fù)淅碚摚从肍rame理論語言來刻畫纖維拓?fù)渲械闹饕拍睢?/p>

本文將根據(jù)日本的Takuo Miwa［2］文章中的語言形式和I.M.James對纖維正則映射的定義將它們進(jìn)行“保守推廣”。

1 預(yù)備知識

由于在各種相關(guān)文獻(xiàn)中，有些概念和符號的用法不完全一致，所以本節(jié)對文中使用的概念和表示符號予以必要的解釋和說明。

設(shè)L是一完備格，滿足第一無窮分配律，若只考慮L中的有限交以及任意并運算，稱L是一個Frame或Locale。在兩個Frame之間的映射f?A ×B，若該映射保有限交與任意并，稱f為A到B的一個Frame態(tài)射或B到A的一個Locale態(tài)射。換句話說，若以Frame為對象，以Frame態(tài)射為態(tài)射的范疇稱為Frame范疇，則其對偶范疇是Locale范疇。

對任意一個集合Y，Y上的纖維集X指的是（X，f），f是X到Y(jié)的映射，任意y∈Y，稱f－1（y）為y上的纖維，它是X的子集，記Xy=f－1（y）。由于沒有要求f是滿的，因此y上的纖維可以是空集。對任意Y的子集Y'，稱f－1［Y'］為Y'上的纖維集，記XY'=f－1［Y'］。當(dāng)映射f:X→Y是連續(xù)映射時，稱X是Y上的纖維拓?fù)淇臻g，f是纖維映射，顯然，Y的任意開集的逆像包含X中的某個開集。

對任意給定的拓?fù)淇臻gY，記FTY為纖維拓?fù)淇臻g范疇，范疇FTY中的對象是到Y(jié)的連續(xù)映射，對范疇FTY中的任意兩個對象f:X→Y，g:Z→Y，從f到g的態(tài)射是連續(xù)映射λ:X→Z，且滿足f =g?λ，把這個態(tài)射記作λ:f→g。態(tài)射λ:f→g是滿的、閉的等等，即指λ:X→Z是滿的、閉的等等。

對任意給定的Frame A，記FFA為纖維Frame偶范疇，范疇FFA中的對象是定義域為A的Frame態(tài)射，對范疇FFA中的任意兩個對象f:A→B，g:A→C，從f到g的態(tài)射是Frame態(tài)射λ:B→C，且滿足g=λ?f，把這個態(tài)射記作λ:f→g。態(tài)射λ:f→g是滿的、閉的等等，即指λ:B→C是滿的、閉的等等。

若X是一拓?fù)淇臻g，以Ω（X）表示其拓?fù)?，易知按集合的交、并運算，Ω（X）構(gòu)成一個Frame或Locale，我們稱其為空間X的開集Frame或開集Locale。若f:X→Y是一連續(xù)映射，Ω（f）:Ω（Y）→Ω（X）定義為

這里特別提到一個表示約定:當(dāng)f?A×B是一個A到B的映射時，f（x）與f［x］的區(qū)別在于f （*）中只代入A中的元素，而f［*］中只能代入A的子集。

對于一個FrameA，通常ptA表示的集合可以有三種理解:

（1）A中的所有完全素濾子;

（2）A到2={0，1}的所有Frame態(tài)射;

（3）A中的所有素元。

在無特別說明時，我們采?。?）的用法，即ptA表示A中的所有素元。

下面的記法在本文中也是特別的:

記Ω（ptA）=φ［A］，Ω（ptA）實際上已經(jīng)構(gòu)成ptA上的一個拓?fù)?，在無任何附加說明時，ptA永遠(yuǎn)表示以Ω（ptA）為拓?fù)涞耐負(fù)淇臻g。若φ是單射，稱A為空間式Frame。

記A，B是空間式Frame，g:A→B是Frame態(tài)射，

都是同構(gòu)映射，記f=ptg:ptB→ptA是拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射，且滿足f－1=φ2gφ－11，稱映射f是由Frame態(tài)射g誘導(dǎo)的映射。

當(dāng)拓?fù)淇臻gX給定時，x∈X，Nx表示x的所有鄰域組成的集合。表示A在X中的閉包，IntA表示A的內(nèi)部，在基本集明確的條件下，Ac總表示A的余集。

其他沒有特別提及的概念及相關(guān)結(jié)果，拓?fù)鋵W(xué)參見文獻(xiàn)［3－4］，F(xiàn)rame理論參見文獻(xiàn)［5］，范疇論可參見文獻(xiàn)［6］。

2 纖維正則映射的無點刻畫

為了討論纖維正則映射的無點刻畫，首先，說明纖維正則映射的相關(guān)概念。

定義1.1［2］設(shè)f:X→Y是連續(xù)映射，X，Y是拓?fù)淇臻g，如果對任意x∈X，任意閉集F?X，x?F，存在U∈Nf（x），使{x}∩f－1［U］與F∩f－1［U］在f－1［U］中有不交鄰域，則稱f:X→Y是纖維正則映射。

定義1.2［1］設(shè)f:X→Y是連續(xù)映射，X，Y是拓?fù)淇臻g，對任意x∈f－1（y），y∈Y，任意N∈Nx，存在W∈Ny和［W］?N，則稱f:X→Y是纖維正則映射。

定義1.1和定義1.2分別出現(xiàn)在兩個不同的文獻(xiàn)中，雖然表達(dá)方式不同，但經(jīng)過以下簡單的證明，得知它們是等價的。

證明已知定義1.1，對任意x∈f－1（y），y∈Y，任意N∈Nx，XN是閉集，且x?XN，則?W∈Ny，使{x}∩f－1［W］與XN∩f－1［W］在f－1［W］中有不交鄰域，即

推論1.1設(shè)A，B是空間式Frame，g:A→B是Frame態(tài)射，則g:A→B是纖維正則態(tài)射?由g誘導(dǎo)的映射f=ptg:ptB→ptA是纖維正則映射。

證明由定理1.1知:f:ptB→ptA是纖維正則映射，當(dāng)且僅當(dāng)，Ω（f）:Ω（ptA）→Ω（ptB）是纖維正則態(tài)射，而A，B是空間式Frame，則A與Ω（ptA）同構(gòu)，B與Ω（ptB）同構(gòu)，即A，B可分別看作pta，ptB上的拓?fù)?，顯然，推論成立。

推論1.1證明了Frame范疇中纖維正則映射的保守推廣。

［1］JAMES Ioan Mackenzie.Fibrewise Topology［M］.Cambridge:University Press，1989.

［2］BUHAGIAR David，MIWA Takuo，Covering properties on maps［J］.Q＆A in General Topology，1998，16:53－66.

［3］ENGELKING Ryszard.General Topology［M］.Berlin: Heldermann Verlag，1989.

［4］兒玉之宏，永見啟應(yīng).拓?fù)淇臻g論［M］.方嘉林，譯.北京:科學(xué)出版社，1984.

［5］鄭崇友，樊磊，崔宏.Frame與連續(xù)格［M］.北京:首都師范大學(xué)出版社，2000.

［6］MAC LANE Saunders.Categories for the Working Mathematician（Graduate Texts in Math）［M］.New York: Springer－Verlag，1998.

Pointless Description of Fibrewise Regular Maps

ZHOU Xiao－yang1，F(xiàn)ENG Li2
（1.School of Science，Dalian Nationalities University，Dalian Liaoning 116605，China;2.Dalian Electronic School，Dalian Liaoning 116023，China）

Fibrewise Topology is a branch of modern topology theory，which develops very quickly。Recently，many mathematicians have taken tremendous interest in this subject。Meanwhile，the theory about DCPO（Directed Complete Partial Order）in Theoretical Computer Science has been also a hot spot，and the theory of Frames supplies a lot of important reasoning.The equivalent characterization of fibrewise regular map in fibrewise topology has been presented，and by the theory of Frames，the pointless description of fibrewise regular maps has been also developed.Therefore，it will be convenient and fast to apply the fibrewise viewpoint in the theory of Frames.

frame;fibrewise regular maps;topology

O189.1

A

1009－315X（2011）03－0277－03

2011－03－24;最后

2011－04－01

周曉陽（1981－），女，遼寧大連人，講師，博士，主要從事空間理論、算子理論和拓?fù)淅碚撗芯俊?/p>

（責(zé)任編輯 鄒永紅）