＊非均勻非線性波導(dǎo)中暗孤子條在拋物面背景中的傳輸特性

趙福君,李祿

(山西大學(xué)理論物理研究所,山西太原 030006)

＊非均勻非線性波導(dǎo)中暗孤子條在拋物面背景中的傳輸特性

趙福君,李祿

(山西大學(xué)理論物理研究所,山西太原 030006)

研究非線性自散焦介質(zhì)中暗孤子條在拋物面背景中的傳輸特性.結(jié)果顯示:基態(tài)暗孤子條能夠在拋物面背景中自相似地演化,而高階暗孤子條則在自相似演化中會(huì)分裂出成對(duì)的灰孤子.

變系數(shù)非線性薛定諤方程;暗孤子條

自相似普遍存在于自然界中,其特性在物理學(xué)及其他學(xué)科中都有著廣泛的研究和應(yīng)用,比如,非線性光學(xué)、流體動(dòng)力學(xué)、凝聚態(tài)物理、等離子體物理、量子場(chǎng)論和生物物理學(xué)等領(lǐng)域[1].在非線性介質(zhì)中,自相似光波是指光波在傳輸過程中波形保持不變,其振幅和寬度成比例的變化,它是由非線性薛定諤(NLS)方程來精確描述的.本文主要研究以穩(wěn)定的拋物型光束為背景的暗孤子條的動(dòng)力學(xué)特性.

1 理論模型與方法

我們考慮了下面的非線性薛定諤方程

其中W(Z)代表光束的寬度,它是Z的實(shí)函數(shù),用來描述光束的自相似演化,而函數(shù)θ(X,Y,Z)=A(Z)(X2+Y2)用來描述相位,其中A(Z)是相前曲率參數(shù).將方程(3)-(4)代入到方程(2),并要求

其中K是任意常數(shù),于是方程(2)就被約化成一個(gè)含有諧振勢(shì)能項(xiàng)的方程

需要指出,方程(2)和(8)的不同之處在于后者擁有不依賴于Z的非線性項(xiàng)和諧振勢(shì).這樣,在可積條件(9)下,我們能夠通過求解方程(8)并借助條件(5)-(7)來獲取方程(2)的解的信息.

考慮方程(8)的一個(gè)局部定態(tài)解Φ(η,ξ1,ξ2)=Ψ(ξ1,ξ2)exp(-iβη),其中β是傳播常數(shù),Ψ(ξ1,ξ2)是實(shí)函數(shù).這樣方程(8)可以寫成下面的形式

其中a,Z1是任意常數(shù).

作為一個(gè)例子,我們考慮如下系統(tǒng)[3-4]

該系統(tǒng)可以用來研究孤子對(duì)非線性勢(shì)阱或勢(shì)壘的非線性遂穿,其中-1＜h＜0表示非線性勢(shì)阱,h＞0表示非線性勢(shì)壘[5-6].參數(shù)h,δ,Z0分別對(duì)應(yīng)著井或壘的高度、寬度和縱向位置.此時(shí)可積性條件(9)要求增益/損耗函數(shù)具有如下形式

2 數(shù)值結(jié)果與分析

首先考慮拋物光束的傳輸情況(這里只考慮h＞0的情況).圖1給出拋物光束在不同距離處的光強(qiáng)的分布圖.從圖中可以看到,拋物光束按照方程(12)自相似地通過非線性勢(shì)壘.同樣地,拋物光束也能自相似地通過非線性勢(shì)阱(-1＜h＜0).圖2給出了總功率和峰值的演化圖,從中可以看到總能量和峰值在Z=Z0處的自相似演化特性.

圖1 拋物型光束通過非線性壘時(shí)的演化圖,(a)Z=0;(b);Z=5;(c)Z=10;(d)Z=15;(e)Z=20;(f)Z=25,其中各參數(shù)分別為 h=0.5,δ=3,Z0=5,β=10,a=0.1,Z1=5.Fig.1 Evolution p lo ts of the paraboloidal beam through nonlinear barrier,(a)Z=0,(b)Z=5,(c)Z=10,(d)Z=15,(e)Z=20,and(f)Z=25,w here the parameters are h=0.5,δ=3,Z0=5,β=10,a=0.1,and Z1=5,respectively.

圖2 (a)總能量和(b)峰值功率隨 Z的演化,參數(shù)同圖1Fig.2 Evolution p lots of(a)the total energy and(b)the peak power w ith Z,and the parameters are the same as in Fig.1

其中N代表孤子的階數(shù).圖3和圖4(P79)分別給出了基態(tài)暗孤子條和二階暗孤子條在不同距離處光強(qiáng)的分布圖.從圖中可以看出,基態(tài)暗孤子條可以在拋物背景中穩(wěn)定的傳輸,而二階暗孤子條在演化過程中分裂出一對(duì)灰孤子條(見圖4(b)-4(d)).

最后我們討論了暗孤子條之間的相互作用,正如圖5(P79)和圖6(P80)所示.從圖5我們看到,相互平行的暗孤子條在一定的距離內(nèi)的相互作用近似于彈性碰撞.從圖6我們看到,相互垂直的暗孤子條之間的相互作用比較復(fù)雜,但仍能以對(duì)稱分布的樣式呈現(xiàn)在拋物背景上.

下面我們研究暗孤子條的動(dòng)力學(xué)行為.我們引入下面的函數(shù)作為初始入射脈沖

圖3 基態(tài)暗孤子條的動(dòng)力學(xué)演化圖,(a)Z=0;(b)Z=5;(c)Z=10;(d)Z=15;(e)Z=20;(f)Z=25,其中各參數(shù)同圖1.Fig.3 Evolution p lots of the fundamental dark soliton stripe,(a)Z=0,(b)Z=5,(c)Z=10,(d)Z=15,(e)Z=20,and(f)Z=25,w here the parameters are the same as in Fig.1

圖4 高階(N=2)暗孤子條的動(dòng)力學(xué)演化圖,(a)Z=0;(b)Z=5;(c)Z=10;(d)Z=15,其中各參數(shù)同圖1.Fig.4 Evolution p lots of the high-order dark soliton stripe(N=2),(a)Z=0,(b)Z=5,(c)Z=10,and(d)Z=15,w here the parameters are the same as in Fig.1

圖5 兩個(gè)和三個(gè)相互平行暗孤子條的動(dòng)力學(xué)演化圖,初始分離值為3.第一行是兩個(gè)暗孤子條的演化圖 (a)Z=0;(b)Z=5;(c)Z=10;(d)Z=25;第二行是三個(gè)暗孤子條的演化圖(e)Z=0;(f)Z=5;(g)Z=10;(h)Z=25,其中各參數(shù)同圖1Fig.5 Dynamics evolution p lots of the two and three parallel dark soliton stripes with the initial separation 3.Here the first row corresponds to the evolution of two parallel dark soliton stripes with(a)Z=0,(b)Z=5,(c)Z=10,and(d)Z=25,and the second row is the evolution of three parallel dark soliton stripes with(e)Z=0,(f)Z=5,(g)Z=10,(h)Z=25,w here the parameters are the same as in Fig.1

圖6 兩個(gè)相互垂直和四個(gè)相互交叉暗孤子條的動(dòng)力學(xué)演化圖,初始分離值為3.第一行是兩個(gè)相互垂直的暗孤子條的演化圖(a)Z=0;(b)Z=5;(c)Z=10;(d)Z=25,第二行是四個(gè)相互交叉暗孤子條的演化圖(e)Z=0;(f)Z=5;(g)Z=10;(h)Z=25,其中各參數(shù)同圖1.Fig.6 Dynamics evolution plots of the two and four cross dark soliton stripes with the initial separation 3.Here the first row corresponds to the evolution of two cross dark soliton stripes with(a)Z=0,(b)Z=5,(c)Z=10,(d)Z=25,and the second row is the evolution of four crossdark soliton stripes with(e)Z=0,(f)Z=5,(g)Z=10,(h)Z=25,w here the parameters are the same as in Fig.1

3 結(jié)論

我們以非線性自聚焦(自散焦)效應(yīng)的光波傳輸方程為模型,并通過合適的變量代換,將該方程變換為常系數(shù)非線性薛定諤方程,在此基礎(chǔ)上研究拋物光束以及暗孤子條的自相似演化.研究顯示:拋物光束和暗孤子能穩(wěn)定地傳輸,而高階暗孤子條在演化過程中會(huì)分裂出成對(duì)灰孤子條.此外,我們還研究了多個(gè)暗孤子條同時(shí)存在的情況,研究發(fā)現(xiàn)在有相互作用的情況下暗孤子條仍能夠穩(wěn)定的傳輸.由于暗孤子條的穩(wěn)定傳輸,這一結(jié)果將有可能為全光控制和全光開關(guān)提供一定的理論指導(dǎo).

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[2] Zhao Xue-song,Li Lu,Xu Zhi-yong.Dark-soliton Stripes on a Paraboloidal Background in a Bulk Nonlinear M edium[J].Phys Rev A,2009,79:043827.

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Transport Properties of Dark-soliton Stripe on a Paraboloidal Background in Inhomogeneous Nonlinear Waveguides

ZHAO Fu-jun,LILu
(Institute of Theoretical Physics,Shanxi University,Taiyuan030006,China)

We discuss transport properties of dark soliton stripes on a paraboloidal background in a bulk graded-index waveguide with self-defocusing nonlinearity.The results show that the fundamental dark soliton stripe can self-similarly evolve on the paraboloidal background,and the high-order dark soliton stripe can split into grey solitons in pairs in the self-similar evolution.

The nonlinear Schr?dinger equation with variable coefficients;dark soliton stripe

O437

A

0253-2395(2011)01-0076-05＊

2010-08-30;

2010-09-29

國家自然科學(xué)基金(61078079)

趙福君(1982-),男,山西朔州人,碩士研究生,主要研究領(lǐng)域非線性光學(xué).E-mail:zfjsxdx@163.com;通訊聯(lián)系人:李祿