關于線性變換的一點注記

陳彥恒 賈松芳

（重慶三峽學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，重慶萬州 404100）

1 線性變換的定義

定義 設V是數(shù)域F上的一個線性空間，則V到自身的映射A稱為V上的一個變換.若A還滿足：對于V中的任意元素α，β和數(shù)域F中任意數(shù)k，都有

則稱A是V上的一個線性變換.

從線性變換的定義我們很容易知道：線性變換保持線性組合和線性關系式不變，即若β是α1，α2，L， αγ的線性組合 β=k1α1+k2α2+…+ krαr,k1, k2,… ,kr∈F ，則

又若k1α1+ k2α2+…+ krαr=0，則

2 線性變換在一組基上的作用

（1）設α1，α2，L，αn是數(shù)域F上的線性空間V的一個基底，A是V上的一個線性變換.V中任意向量β在基α1，α2，L，αn下的坐標是（χ1，χ2，L，χn），即

于是

這就說明了，只要確定了線性變換在一個基底下的象，線性空間中任何向量的象也隨之確定.（2）假如B也是V上的一個線性變換，且

則有

這就說明了，若兩個線性變換在同一個基底上的作用相同，則這兩個線性變換是相同的.

綜合（1）和（2）可得結論：線性空間上的線性變換完全被它在一個基上的作用唯一確定.根據(jù)這一結論，我們建立了在同一個基底下，線性空間V上線性變換與V中n元有序向量組之間的一一對應關系，進而有更深刻的結論，即

定理1 若α1，α2，L，αn是數(shù)域F上的線性空間V的一個基底，β1，β2，L，βn是V中的任意n個向量，則存在唯一的線性變換A，使得

特別的，若β1，β2，L，βn也是V的一個基底，那么線性變換A是可逆的.

證明 設β=χ1α1+χ2α2+L+χnαn使V中的任一個向量.則構造V上的變換V：

容易證明A是線性的，且滿足A（αi）=B（αi），i=1，2，L，n，即線性變換V滿足要求.其唯一性可由（2）知.

定理1有一個比較強的條件，即要求α1，α2，L，αn是V的一個基底.如果α1，α2，L，αn也是V中的任意n個向量，那么是否存在V的線性變換V，使得

Α (αi) = βi,i = 1,2,… ,n呢?答案是肯定的，下面我們來推廣定理1.

3 定理1的推廣

引理1 若α1，α2，L，αm是數(shù)域F上的n（m≤n）維線性空間 V的一個線性無關組，β1，β2，L，βm是V中的任意m個向量，則存在線性變換A，使得

由定理1知，A是V的一個線性變換，且滿足A（αi）=Bi，i=1，2，L，m.

注：若m＜n，則滿足A（αi）=Bi，i=1，2，L，m的線性變換A不在被唯一確定.例如設α1=（1，0，0），α2=（0，1，0），α3=（0，0，1），與β1=（-1，1，1），β2=（1，0，1），β3=（0，1，1）是 F3上的兩個基底.由引理1知滿足

變換A，B是F3上的線性變換，且A（αi）=B（αi）=Bi，i=1，2.但顯然A≠B，因為B可逆，A不可逆.

證明 若αi=0，i=1，2，L，n，則由假設條件知Bi=0，i=1，2，L，n.即定理結論對V上任何線性變換都是成立的.

則存在V的線性變換A，使得

若α1，α2，L，αn不全為零向量，則α1，α2，L，αn存在極大線性無關組.可以對向量組α1，α2，L，αn重新排序，使得向量組的前r個向量為α1，α2，L，αn的極大線性無關組，同時β1，β2，L，βn的順序也做對應調(diào)整.因此，為了方便不妨設α1，α2，L，αr（r≤n）是α1，α2，L，αn的極大線性無關組.將其擴充為V的一個基底α1，α2，L，αr，εr+1，εr+2，L，εn.由引理1知，存在V的一個線性變換A滿足

下面來證明A（αi）=Bi，i=r+1，r+2，L，n.

因為α1，α2，L，αr是α1，α2，L，αn的極大線性無關組，所以存在li1，li2，L，lir∈F，使得

謝修平垂下頭，不好意思再看她們。小謝委屈地說，天這么熱，我們大老遠地跑到駐馬店，來一趟得轉幾次車，還耽誤手里的活……

從而也有

于是，

注 釋：

（1）定理2條件要求：V的兩個向量組必須是n元向量組.但從定理2的證明過程來看，這個條件并不必要，因此可以把該條件改為“α1，α2，L，αm與β1，β2，L，βm是V的兩個m（m∈N*）元向量組”定理2也是成立的.

（2）定理2條件要求：V的兩個向量組中的向量的個數(shù)必須相等.但實際上可以把條件改為“α1，α2，L，αm與β1，β2，L，βs分別是V的m元向量組和s元向量組，其中m，s∈N*，m ≥s”，此時定理2也是成立的，需做的工作是在向量組 β1，β2，L，βs后面添幾個零向量使得向量個數(shù)等于m即可.

與條件

是等價的.

根據(jù)定理 2及它的注（1）和（3），我們不難得到線性空間上任何兩個向量組之間存在線性變換的充分必要條件，即下面定理3.

定理3 設V是數(shù)域F上的一個n維線性空間，α1，α2，L，αm與β1，β2，L，βm是V的兩個m元向量組.則存在V的線性變換A，使得A（αi）=Bi（i=1，2，L，m）的充分必要條件是

[1]郭聿琦，岑嘉平，徐貴桐.線性代數(shù)導引[M].北京：科學出版社，2001.

[2]北京大學幾何代數(shù)教研室.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]趙興杰.高等代數(shù)教學研究[M].重慶：西南師范大學出版社，2006.

[4]劉水強，王紹恒.利用初等行變換解線性矩陣方程[J].重慶三峽學院學報，2001（5）.