重參數(shù)化的多分屬性診斷分類模型及其判準(zhǔn)率影響因素*

詹沛達(dá) 邊玉芳 王立君

(1北京師范大學(xué) 中國(guó)基礎(chǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測(cè)協(xié)同創(chuàng)新中心, 北京 100875)

(2浙江師范大學(xué) 心理系, 金華 321004)

1 引言

目前, 診斷分類評(píng)估(diagnostic classification assessment, DCA)已經(jīng)受到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注, 在教育與心理測(cè)量實(shí)踐中具有光明的未來(lái)。而診斷分類模型(diagnostic classification models,DCMs) (Rupp, Templin, & Henson, 2010)是對(duì) DCA數(shù)據(jù)進(jìn)行分析的必要工具。至今, 國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)開發(fā)了眾多的 DCMs, 常見的有 DINA (Junker &Sijtsma, 2001)、DINO (Templin & Henson, 2006)、LLM (Maris, 1999)、GDM (von Davier, 2005)、LCDM(Henson, Templin, & Willse, 2009)、G-DINA (de la Torre, 2011)、HO-DINA (de la Torre & Douglas, 2004)等等。

但縱觀現(xiàn)有的 DCMs, 絕大部分是基于二分屬性(dichotomous attributes, e.g., 用“0 和 1”分別表示“未掌握”和“掌握”)和二分 Q 矩陣(dichotomous Q-matrix, Q) (Tatsuoka, 1983, 1985)建構(gòu)的, 而對(duì)多分屬性(polytomous attributes)和多分 Q矩陣(polytomous Q-matrix, Q) (Karelitz, 2004)的關(guān)注并不多(e.g., Karelitz, 2004; von Davier, 2005; Chen &de la Torre, 2013; Sun, Xin, Zhang, & de la Torre,2013)。而在實(shí)際教學(xué)和測(cè)驗(yàn)中更多情況是對(duì)知識(shí)技能(i.e., 屬性)的多水平要求和考查, 比如《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(修改稿)》中就使用了“了解(認(rèn)識(shí))”、“理解”、“掌握”和“運(yùn)用”這 4 個(gè)順序類別詞匯來(lái)表述知識(shí)技能目標(biāo)的不同水平, 具有現(xiàn)實(shí)應(yīng)用價(jià)值和前景。此時(shí), 若想進(jìn)行 DCA則應(yīng)使用順序類別屬性編碼(ordered-category attribute coding,OCAC) (Karelitz, 2004)來(lái)對(duì)屬性的各個(gè)水平(類別)進(jìn)行編碼(e.g., 用“0至3”分別表示上述4個(gè)順序類 別詞匯, 或用“0至 2”分別表示“掌握很差”、“掌握一般”和“掌握很好”)。多分屬性比二分屬性能提供更詳細(xì)的診斷信息、更具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值, 且能夠?qū)Ρ辉囎龀龈鼮榫?xì)地劃分。傳統(tǒng)的二分屬性可被視為多分屬性的特例, 進(jìn)而基于二分屬性的 DCMs就無(wú)法處理此類情況, 因此很有必要開發(fā)一些適用于處理多分屬性的 DCMs (polytomous attributes DCMs, Pa-DCMs)。

圖1 三種具有代表性的診斷分類模型的理想作答概率示例

查閱國(guó)內(nèi)外相關(guān)文獻(xiàn), 目前關(guān)于 Pa-DCMs的研究還處于初期探索階段, 僅有少許DCMs可以處理多分屬性(e.g., Karelitz, 2004; Templin, 2004; von Davier, 2005; Chen & da la Torre, 2013), 而其中基于OCAC的僅有OCAC-DINA (Karelitz, 2004)和pGDINA (Chen & de la Torre, 2013)。OCAC-DINA限制了所有題目擁有相同的題目參數(shù); 而 pG-DINA因涉及到G-DINA (de la Torre, 2011)的相關(guān)概念,所以理解和解釋起來(lái)稍顯麻煩, 不利于多分屬性在實(shí)際應(yīng)用中的推廣。為簡(jiǎn)化理解難度, 可嘗試將pG-DINA按不同的縮合規(guī)則(condensation rule)(Maris, 1995, 1999)進(jìn)行約束轉(zhuǎn)化。在DCMs中通常假設(shè)各屬性對(duì)正確作答概率存在3種貢獻(xiàn)方式或縮合規(guī)則：連接(conjunctive)、分離(disjunctive)和補(bǔ)償(compensatory) (詹沛達(dá), 李曉敏, 王文中, 邊玉芳, 王立君, 2015), 其代表模型分別是 DINA、DINO和LLM, 如圖1所示, 可發(fā)現(xiàn)3類縮合規(guī)則的主要差異在于假設(shè)被試掌握部分屬性(Part = 1)時(shí)的正確作答概率不同, 補(bǔ)償可以視為連接和分離的折中。目前, 滿足連接縮合規(guī)則的診斷分類方法被研究的較多, 而滿足分離和補(bǔ)償縮合規(guī)則的診斷分類方法目前還未被充分挖掘, 具有很高待研究前景。另外, 國(guó)內(nèi)關(guān)于多分屬性的相關(guān)研究也處于相對(duì)匱乏階段(e.g., 丁樹良, 羅芬, 汪文義, 熊建華,2015)。此外, 也未發(fā)現(xiàn)有相關(guān)研究在多分屬性情境下探討Pa-DCMs判準(zhǔn)率的影響因素。

對(duì)此, 本研究將從兩方面切入, 第一部分對(duì)應(yīng)二分屬性情境下具有代表性的 DINA、DINO和LLM, 分別給出 3種易理解且易解釋的重參數(shù)化Pa-DCMs (reparametrized Pa-DCMs, RPa-DCMs)表達(dá)式：RPa-DINA、RPa-DINO和 RPa-LLM; 第二部分則基于多分屬性的數(shù)量、多分屬性的最高水平數(shù)、各多分屬性之間的相關(guān)性、多分屬性間的層級(jí)結(jié)構(gòu)、被試量和題目數(shù)這6個(gè)潛在的影響因素來(lái)探討新模型的判準(zhǔn)率。需要強(qiáng)調(diào)的是因?yàn)?3個(gè)RPa-DCMs基于不同的縮合規(guī)則, 所以關(guān)于3者的探究是平行進(jìn)行的。

2 三種具有代表性的RPa-DCMs

2.1 多分屬性和多分Q矩陣

Q矩陣(

I

×

K

, 其中

I

表示題目數(shù)量,

K

表示屬性數(shù)量)是連接題目與屬性的紐帶, 通常 Q矩陣是由0與1所組成的, 它的元素

q

界定了題目

i

與第

k

個(gè)屬性間的關(guān)系, 若

q

= 1表示題目

i

考查了第

k

個(gè)屬性, 反之為

q

= 0。而作為Q矩陣的拓廣, Q矩陣是由非負(fù)整數(shù)所組成的(Karelitz, 2004), 它的元素

q

界定了題目

i

對(duì)第

k

個(gè)屬性考查水平。式(1)和式(2)分別列出了相對(duì)應(yīng)的Q矩陣和Q矩陣,

以第1題為例, Q矩陣描述了第1題考查了第2和第3個(gè)屬性, 而Q矩陣不僅描述了第1題考查了第2和第3個(gè)屬性, 且描述了第1題對(duì)第2個(gè)屬性的考查水平相對(duì)更高。因此, Q矩陣比 Q矩陣能提供更多的診斷信息。

2.2 RPa-DINA簡(jiǎn)介

二分屬性情境下的DINA由于其參數(shù)較少、計(jì)算簡(jiǎn)便且易于解釋等特點(diǎn), 近些年得到了國(guó)內(nèi)外較廣泛的關(guān)注和研究(e.g., de la Torre, 2008, 2009;Huang & Wang, 2014; Li & Wang, 2015; 涂冬波,蔡艷, 戴海崎, 丁樹良, 2010; 詹沛達(dá)等, 2015; 詹沛達(dá), 邊玉芳, 2015)。Maris (1995, 1999)將連接縮合規(guī)則(conjunctive condensation rule)描述為：

式中,

Y

表示在作答題目

i

時(shí), 被試

n

的顯變量;

X

表示在作答題目

i

時(shí), 被試

n

的第

k

個(gè)潛變量;

C

函數(shù)為縮合規(guī)則。則式(3)表示當(dāng)且僅當(dāng)

K

個(gè)

X

均為1時(shí),

Y

才為1。應(yīng)用至DCA中, 則表示當(dāng)被試

n

掌握題目

i

考查的全部

K

個(gè)屬性時(shí), 其理想正確作答概率才為1。

相對(duì)于 Chen和 de la Torre (2013)給出的Pa-DINA表達(dá)式, 本研究給出一種理解和解釋起來(lái)相對(duì)簡(jiǎn)單且與之等價(jià)的RPa-DINA表達(dá)式：

另外, 當(dāng)

L

= 1時(shí)式(4)就可直接用于描述DINA, 無(wú)需做任何形式上的改變, 這符合“DINA應(yīng)是RPa-DINA的約束模型(特例)”這一基本邏輯。

2.3 RPa-DINO簡(jiǎn)介

DINO與DINA的區(qū)別是假設(shè)各屬性之間滿足分離縮合規(guī)則(disjunctive condensation rule) (Maris,1995, 1999)：

各參數(shù)含義同上, 其表示任意第

k

個(gè)

X

為1時(shí),

Y

就等于1。應(yīng)用至DCA中, 則表示當(dāng)被試

n

掌握題目

i

考查的任意第

k

個(gè)屬性時(shí), 其理想正確作答概率就是1。Maris (1995, 1999)認(rèn)為分離縮合規(guī)則反映出題目允許被試采用多策略(利用不同的屬性或?qū)傩越M合)來(lái)解答。因此, DINO適合測(cè)量一些非能力心理特質(zhì)(Templin & Henson, 2006)且在診斷被試作答錯(cuò)誤原因方面也很有優(yōu)勢(shì)。與 DINO對(duì)應(yīng),則RPa-DINO可被描述為：

2.4 RPa-LLM簡(jiǎn)介

Maris (1999)借鑒 Muthén (1978)、Bock 和 Aitkin(1981)的題目因素分析模型的思想, 指出補(bǔ)償模型(compensatory model)的背后假設(shè)是當(dāng)題目考查多個(gè)潛變量時(shí), 被試對(duì)各潛變量的掌握程度能夠相互彌補(bǔ)。則補(bǔ)償縮合規(guī)則可被描述為：

式中各參數(shù)含義同上, 其表示

Y

等于

K

個(gè)

X

之和。應(yīng)用至DCA中, 是指被試

n

對(duì)題目

i

的正確作答概率(的對(duì)數(shù)發(fā)生比)會(huì)隨著被試掌握該題目所考查的屬性個(gè)數(shù)的增加而增加。因此, LLM適合測(cè)量言語(yǔ)類能力, 因?yàn)橥ǔＵJ(rèn)為言語(yǔ)類能力之間是可以相互補(bǔ)償?shù)?Bernhardt, 2010; Stanovich, 2000)。關(guān)于 LLM 的介紹可參閱 Maris (1999)和詹沛達(dá)等(2015), 不再贅述。則RPa-LLM可被描述為：

式中,

λ

為題目

i

的截距, exp (

λ

)/[1+exp (

λ

)]用于描述正確作答題目

i

的基線概率;

λ

為題目

i

中屬性

k

的權(quán)重(即

λ

≥0), 用于描述掌握屬性

k

對(duì)正確作答題目

i

的概率的對(duì)數(shù)發(fā)生比的增量; 其他參數(shù)含義同上。同樣, 當(dāng)

L

= 1時(shí)式(8)就可直接用于描述LLM, 無(wú)需做任何形式上的改變, 這符合“LLM 應(yīng)是RPa-LLM的約束模型”這一基本邏輯。

3 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

3.1 研究?jī)?nèi)容及自變量設(shè)定

本研究涉及6個(gè)潛在影響因素：多分屬性的數(shù)量(

K

= 3, 5, 7)、多分屬性的最高水平數(shù)(

L

= 2, 3, 4,5)、各多分屬性之間相關(guān)性(

Cor =

零相關(guān)(0)

、

低相關(guān)(0.2)、中等相關(guān)(0.5)和高相關(guān)(0.8))、多分屬性間的層級(jí)結(jié)構(gòu)(

H

= 離散型、線型、發(fā)散型、聚合型, 見圖2 (Sun et al., 2013))、被試量(

N

= 500、1000、2000)和題目數(shù)(

I

= 25、50)。

為便于清晰地探究各潛在影響因素, 本文包含兩個(gè)研究, 其中：研究1側(cè)重于探討前4個(gè)主要自變量對(duì)RPa-DCMs的獨(dú)立影響, 包括4個(gè)子研究(1)多分屬性數(shù)量對(duì)RPa-DCMs的判準(zhǔn)率影響; (2)多分屬性的最高水平數(shù)對(duì)RPa-DCMs的判準(zhǔn)率影響; (3)多分屬性間的相關(guān)性對(duì) RPa-DCMs的判準(zhǔn)率影響;(4)多分屬性層級(jí)結(jié)構(gòu)對(duì) RPa-DCMs的判準(zhǔn)率影響;而實(shí)際測(cè)驗(yàn)中應(yīng)存在多自變量的共同影響, 研究 2就側(cè)重于探討多個(gè)自變量對(duì) RPa-DCMs的判準(zhǔn)率的共同影響。以期為實(shí)證研究者提供相關(guān)理論支持。

圖2 多分屬性之間的層級(jí)結(jié)構(gòu)示例

3.2 評(píng)價(jià)指標(biāo)

采用屬性判準(zhǔn)率

ACCR

和屬性模式判準(zhǔn)率

PCCR

作為屬性返真性的評(píng)價(jià)指標(biāo)：

式中,

N

為樣本容量,

K

為屬性個(gè)數(shù),

3.3 測(cè)驗(yàn)Qp矩陣的建構(gòu)

基于多分認(rèn)知屬性層級(jí)結(jié)構(gòu)建構(gòu)多分可達(dá)矩陣(polytomous reachability matrix, R), 之后根據(jù)擴(kuò)張算法即可得到簡(jiǎn)化 Q矩陣, 具體操作方法可參見Sun等(2013)和丁樹良等(2015)。以圖 2中3個(gè)多分屬性(離散型/

L

= 2)為例, 則其對(duì)應(yīng)的R矩陣和簡(jiǎn)化Q矩陣見表1, 其余情況讀者可自行推算。

表1 3個(gè)多分屬性(離散型/L = 2)的Rp矩陣和簡(jiǎn)化Qp矩陣

3.4 被試屬性掌握狀態(tài)

當(dāng)不考慮屬性層級(jí)結(jié)構(gòu)時(shí)(離散型), 被試屬性掌握狀態(tài)采用如下方法生成：(1)依據(jù)多元正態(tài)分布

MVN

(0, Σ)生成

K

維連續(xù)變量矩陣; (2)設(shè)定各連續(xù)變量滿足標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布, 則對(duì)其按Z值表進(jìn)行面積均等的(

L

+1)段切割(e.g.,

L

= 2時(shí), 就按?0.44和0.44進(jìn)行3段切割); (3)通過(guò)設(shè)定Σ矩陣來(lái)調(diào)控各多分屬性之間的相關(guān)。當(dāng)考慮屬性層級(jí)結(jié)構(gòu)時(shí)(發(fā)散型、聚合型、線型), 被試屬性掌握狀態(tài)在簡(jiǎn)化 Q矩陣(增加全 0模式)中隨機(jī)抽取, 且盡量保持每種掌握每種屬性模式的被試數(shù)量相等。

3.5 模擬作答

模擬作答時(shí), 首先根據(jù)各參數(shù)“真值”和RPa-DCMs計(jì)算被試

n

在項(xiàng)目

i

上的正確作答概率

P

。其次生成一個(gè)隨機(jī)數(shù)

r

(0≤

r

≤1), 則得 1分的條件為：

3.6 參數(shù)估計(jì)

本文采用基于貝葉斯MCMC算法的OpenBUGS(Spiegelhalter, Thomas, Best, & Lunn, 2014)進(jìn)行參數(shù)估計(jì), OpenBUGS代碼可向第一作者索取。另外,讀者若使用Chen和de la Torre (2013)的pG-DINA模型, 可直接使用R軟件中的CDM包來(lái)實(shí)現(xiàn)更為快速的參數(shù)估計(jì)。作者已驗(yàn)證, 使用RPa-DCMs與直接使用 pG-DINA的約束模型去擬合同一批數(shù)據(jù)可得到相同的參數(shù)估計(jì)結(jié)果, 包括屬性(模式)估計(jì)值和需要相互轉(zhuǎn)化的題目參數(shù)。

4 研究1：4個(gè)主要自變量對(duì)RPa-DCMs判準(zhǔn)率的獨(dú)立影響

4.1 多分屬性數(shù)量對(duì)RPa-DCMs的判準(zhǔn)率影響

4.1.1 研究目的與基本參數(shù)設(shè)定

在二分屬性情境下已經(jīng)有大量研究表明DCMs的判準(zhǔn)率隨被考查屬性數(shù)量的增加而降低(e.g., de la Torre, 2009; 涂冬波, 蔡艷, 戴海琦, 2013; 蔡艷, 涂冬波, 丁樹良, 2013; 詹沛達(dá), 王立君, 陳飛鵬,2013)。那么在多分屬性情境下是否會(huì)有同樣的結(jié)論？研究1就針對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行探討, 未避免其余變量對(duì)結(jié)果的影響, 將它們固定為：

L

= 2,

Cor

= 0,

H

= 離散型,

N

= 2000,

I

= 50, 在相同實(shí)驗(yàn)條件下3個(gè)RPa-DCMs采用相同的測(cè)驗(yàn) Q矩陣, 相同的被試掌握屬性狀態(tài)。

4.1.2 研究結(jié)果與結(jié)論

研究結(jié)果見表 2, 低于 0.6的結(jié)果已用粗體標(biāo)出, 下同。針對(duì) RPa-DINA, 當(dāng)多分屬性個(gè)數(shù)為 3時(shí), 均ACCR為0.969, PCCR為0.921; 當(dāng)多分屬性數(shù)量提高到 5時(shí), 均 ACCR降為 0.926, 而 PCCR的降幅達(dá)0.2左右; 當(dāng)多分屬性數(shù)量提高到7個(gè)時(shí),均ACCR已降至0.9以下, PCCR僅為0.555, 已經(jīng)不足以滿足實(shí)際測(cè)驗(yàn)需要。與 RPa-DINA類似,RPa-DINO和RPa-LLM的均ACCR和PCCR也隨著多分屬性數(shù)量的增加而降低。且RPa-LLM受多分屬性個(gè)數(shù)的影響相對(duì)更大, 這可能與 RPa-LLM的縮合規(guī)則需要更多的信息量有關(guān)。

4.2 多分屬性的最高水平數(shù)對(duì)RPa-DCMs的判準(zhǔn)率影響

4.2.1 研究目的與基本參數(shù)設(shè)定

多分屬性與二分屬性的最大區(qū)別就是屬性的水平數(shù)差異, 多分屬性比二分屬性的劃分更為精細(xì),理論上可提供更多、更精細(xì)的診斷信息。但正如上文所述, 隨著屬性被劃分為更多的水平, 其可能的屬性模式數(shù)將大幅提升, 可能會(huì)對(duì)判準(zhǔn)率帶來(lái)一定影響, 那么在具體應(yīng)用中把最高水平設(shè)定為多少是合適的呢？研究2就針對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行探討, 為避免其余變量對(duì)結(jié)果的影響, 將它們固定為：

K

= 3,

Cor

=0,

H

= 離散型,

N

= 2000,

I

= 50, 在相同實(shí)驗(yàn)條件下3個(gè)RPa-DCMs采用相同的測(cè)驗(yàn)Q矩陣, 相同的被試掌握屬性狀態(tài)。題目參數(shù)設(shè)定同研究1一致。

表2 不同多分屬性數(shù)量時(shí)RPa-DCMs的判準(zhǔn)率

4.2.2 研究結(jié)果與結(jié)論

研究結(jié)果見表 3。當(dāng)多分屬性最高水平數(shù)為 2時(shí), 3個(gè)RPa-DCMs的均ACCR和PCCR基本相等且較高; 當(dāng)最高水平數(shù)達(dá)到 5時(shí), RPa-DINA和RPa-DINO的PCCR降至0.7左右, 而RPa-LLM的降至0.6左右。隨著最高水平數(shù)的提升, RPa-DINA和RPa-DINO的均ACCR和PCCR出現(xiàn)等幅下降,而 RPa-LLM 的下降趨勢(shì)相對(duì)較大。另外, 相比于多分屬性數(shù)量的提升, 最高水平數(shù)提升時(shí)的降幅較小。此外, 我們還計(jì)算了各水平的判準(zhǔn)率, 基本結(jié)果趨勢(shì)與整體相當(dāng)且各水平的判準(zhǔn)率基本一致, 限于篇幅原因未呈現(xiàn)。

表3 不同多分屬性最高水平數(shù)時(shí)RPa-DCMs的判準(zhǔn)率

RPa-DINO 2 0.967 0.969 0.973 0.969 0.924 3 0.931 0.926 0.918 0.925 0.840 4 0.893 0.903 0.886 0.894 0.779 RPa-LLM 5 0.855 0.839 0.843 0.845 0.690 2 0.977 0.975 0.975 0.976 0.934 3 0.921 0.914 0.911 0.915 0.797 4 0.878 0.857 0.866 0.867 0.702 5 0.828 0.808 0.821 0.819 0.625

4.3 多分屬性間的相關(guān)性對(duì)RPa-DCMs的判準(zhǔn)率影響

4.3.1 研究目的與基本參數(shù)設(shè)定

以往關(guān)于 DCMs的模擬研究大都假設(shè)屬性之間是零相關(guān)或忽視了生成屬性之間的相關(guān)性(e.g.,涂冬波等, 2013; 蔡艷等, 2013; Chen & de la Torre,2013; 詹沛達(dá)等, 2015), 但大量實(shí)證研究表明屬性之間通常是存在相關(guān)性的。那么, DCMs的判準(zhǔn)率會(huì)不會(huì)受到屬性間相關(guān)性的影響？基于零相關(guān)假設(shè)或忽視了生成屬性間相關(guān)情境下得到的研究結(jié)論是否存在局限性？對(duì)此, 本研究將探討多分屬性間的相關(guān)性對(duì)RPa-DCMs判準(zhǔn)率的影響, 為避免其余變量對(duì)結(jié)果的影響, 將它們固定為：

K

= 3,

L

= 2,

H

= 離散型,

N

= 2000,

I

= 50, 在相同實(shí)驗(yàn)條件下3個(gè) RPa-DCMs采用相同的測(cè)驗(yàn) Q矩陣, 相同的被試掌握屬性狀態(tài)。題目參數(shù)設(shè)定同研究1一致。

4.3.2 研究結(jié)果與結(jié)論

研究結(jié)果見表 4。發(fā)現(xiàn), 3個(gè) RPa-DCMs的均ACCR和PCCR均隨著多分屬性間的相關(guān)性提升而提升, 盡管幅度不大。增幅最大處在中等相關(guān)到高相關(guān)這一階段。該結(jié)果表明, 盡管以往研究在生成屬性時(shí)存在零相關(guān)假設(shè)或忽視了屬性間的相關(guān)性,但它們得到的結(jié)論仍對(duì)實(shí)證研究具有指導(dǎo)意義。

總之, RPa-DCMs的判準(zhǔn)率隨多分屬性之間的相關(guān)性的增加而增加。當(dāng)然, 在實(shí)際測(cè)驗(yàn)中測(cè)驗(yàn)編制者是很難操控該自變量, 但至少本研究表明：當(dāng)實(shí)證研究中屬性間存在一定程度相關(guān), 對(duì)判準(zhǔn)率來(lái)講并非壞事。另外, 作者認(rèn)為屬性層級(jí)結(jié)構(gòu)(Leighton,Gierl, & Hunka, 2004)與屬性之間相關(guān)性至少在概念上是可以相互獨(dú)立的, 屬性層級(jí)結(jié)構(gòu)描繪的是屬性之間的邏輯關(guān)系, 是測(cè)驗(yàn)編制者可以操控的, 而屬性之間相關(guān)性是一個(gè)一定程度上依附于抽樣群體的統(tǒng)計(jì)值, 測(cè)驗(yàn)編制者難以操控。同樣的屬性層級(jí)結(jié)構(gòu)會(huì)隨著抽樣群體的不同而得到不同的屬性間相關(guān)性, 類似, 同樣的屬性間相關(guān)性也可能存在于不同的屬性層級(jí)結(jié)構(gòu)之中。

表4 多分屬性間不同的相關(guān)性時(shí)RPa-DCMs的判準(zhǔn)率

4.4 多分屬性層級(jí)結(jié)構(gòu)對(duì)RPa-DCMs的判準(zhǔn)率影響

4.4.1 研究目的與基本參數(shù)設(shè)定

在二分屬性情境下, 涂冬波等(2013)和蔡艷等(2013)曾探討了5種假設(shè)屬性間滿足連接縮合規(guī)則的診斷分類方法在不同屬性層級(jí)結(jié)構(gòu)下的表現(xiàn), 他們建議當(dāng)無(wú)法確定屬性層級(jí)結(jié)構(gòu)是否正確時(shí)應(yīng)使用DINA, 即DINA受屬性層級(jí)結(jié)構(gòu)的影響相對(duì)較小。詹沛達(dá)等(2013)也曾探討了假設(shè)屬性間滿足分離縮合規(guī)則的DINO對(duì)屬性層級(jí)結(jié)構(gòu)的敏感性, 其結(jié)果表明DINO更適用于處理離散型屬性關(guān)系的數(shù)據(jù), 而在線型、發(fā)散型和聚合型層級(jí)結(jié)構(gòu)中表現(xiàn)較差。那么這些結(jié)論在多分屬性情境下是否同樣適用？本研究將針對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行探討, 多分屬性層級(jí)結(jié)構(gòu)(見圖 2)及多分屬性個(gè)數(shù)(

K

= 3)參見 Sun等(2013)一文, 為避免其余變量對(duì)結(jié)果的影響, 將它們固定為：

L

= 3,

Cor

= 0,

N

= 2000,

I

= 50, 在相同實(shí)驗(yàn)條件下3個(gè)RPa-DCMs采用相同的測(cè)驗(yàn)Q矩陣, 相同的被試掌握屬性狀態(tài)。題目參數(shù)設(shè)定同研究1一致。

4.4.2 研究結(jié)果與結(jié)論

研究結(jié)果的具體數(shù)值見表 5。盡管 3個(gè)RPa-DCMs其自身均不考慮屬性層級(jí)結(jié)構(gòu)(i.e., 所有屬性模式均納入?yún)?shù)估計(jì)), 但它們的判準(zhǔn)率還是會(huì)受到屬性層級(jí)結(jié)構(gòu)的影響。其中, RPa-DINA受屬性層級(jí)結(jié)構(gòu)的影響最小。而RPa-DINO對(duì)屬性層級(jí)結(jié)構(gòu)最敏感, 無(wú)論是聚合型、發(fā)散型還是線型,其均ACCR和PCCR均是最低的, 尤其是在線型和聚合型中, 屬性 3的判準(zhǔn)率已經(jīng)降到 0.25和 0.35左右了, 已失去可用性。因此, RPa-DINO僅適用于多分屬性間滿足離散關(guān)系的測(cè)驗(yàn)情境中, 這也驗(yàn)證了詹沛達(dá)等(2013)在二分屬性情境下得到的結(jié)論。再有, RPa-LLM對(duì)屬性層級(jí)結(jié)構(gòu)也較為敏感, 判準(zhǔn)率處于 RPa-DINA和 RPa-DINO之間, 盡管其PCCR保持在 0.6以上, 但實(shí)際使用中還是建議使用在屬性之間滿足離散關(guān)系的測(cè)驗(yàn)情境中。另外,還可發(fā)現(xiàn)當(dāng)屬性間存在層級(jí)結(jié)構(gòu)時(shí), 子屬性的判準(zhǔn)率會(huì)低于其父屬性的判準(zhǔn)率, 以線型為例, 從

α

到

α

再到

α

, 其ACCR依次降低, 發(fā)散型和聚合型也有類似的結(jié)果。最后需要說(shuō)明的是, 如果在數(shù)據(jù)分析前能確保測(cè)驗(yàn)Q矩陣或?qū)傩詫蛹?jí)結(jié)構(gòu)是正確的,則可以將不符合層級(jí)結(jié)構(gòu)的屬性模式在參數(shù)估計(jì)時(shí)刪除。屬性的最高水平數(shù)增加而降低, 建議實(shí)際使用中不超過(guò)4水平; (3)隨多分屬性間的相關(guān)性增加而增加,且對(duì)判準(zhǔn)率的影響相對(duì)較小; (5)會(huì)受到多分屬性層級(jí)結(jié)構(gòu)的影響, 其中 RPa-DINA受影響最小,RPa-LLM居中, RPa-DINO受影響最大, 建議實(shí)際使用RPa-DINO和RPa-LLM分析數(shù)據(jù)前, 要確定屬性間是否存在潛在的層級(jí)結(jié)構(gòu)。

根據(jù)研究1中4個(gè)子研究的結(jié)果, 將結(jié)論整理如下：RPa-DCMs的判準(zhǔn)率(1)隨多分屬性數(shù)量的增加而降低, 建議實(shí)際使用中不超過(guò)5個(gè); (2)隨多分

表5 不同屬性層級(jí)結(jié)構(gòu)下RPa-DCMs的判準(zhǔn)率

5 研究2：RPa-DCMs判準(zhǔn)率的影響的多因素設(shè)計(jì)模擬研究

5.1 研究目的與基本參數(shù)設(shè)定

根據(jù)已有研究結(jié)果(e.g., de la Torre, Hong, &Deng, 2010; Chen & de la Torre, 2013; 蔡艷等, 2013;詹沛達(dá)等, 2015)可知, 足夠的被試量和題目數(shù)是模型實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確和穩(wěn)定參數(shù)估計(jì)結(jié)果的必要前提, 通常越復(fù)雜的模型對(duì)被試量和題目數(shù)的要求越高。研究1在探討多分屬性數(shù)量、屬性最高水平數(shù)、屬性間相關(guān)性和屬性層級(jí)結(jié)構(gòu)這4個(gè)主要自變量時(shí), 將被試量與題目數(shù)固定在一個(gè)較充足的條件下, 而實(shí)際測(cè)驗(yàn)很有可能無(wú)法保證足夠的被試量與題目數(shù), 則此時(shí)RPa-DCMs的表現(xiàn)又如何？另外, 根據(jù)研究1的結(jié)論可知屬性間相關(guān)性對(duì)判準(zhǔn)率的影響不大且在離散型層級(jí)結(jié)構(gòu)下探討 RPa-DINO和 RPa-LLM才有意義, 因此研究2中將這兩個(gè)自變量進(jìn)行固定(

Cor

= 0,

H

= 離散型), 僅探討被試量、題目數(shù)、多分屬性數(shù)量與最高水平數(shù)這4個(gè)自變量同時(shí)存在時(shí)3個(gè)RPa-DCMs的判準(zhǔn)率表現(xiàn)。

圖3 多個(gè)自變量同時(shí)存在對(duì)RPa-DINA判準(zhǔn)率影響

5.2 研究結(jié)果與結(jié)論

研究2結(jié)果見圖3至圖5, 每個(gè)模型下均有24種實(shí)驗(yàn)條件。其中一些結(jié)果驗(yàn)證了研究1中的結(jié)論：

圖4 多個(gè)自變量同時(shí)存在對(duì)RPa-DINO判準(zhǔn)率影響

圖5 多個(gè)自變量同時(shí)存在對(duì)RPa-LLM判準(zhǔn)率影響

當(dāng)固定被試量和題目數(shù)后, 判準(zhǔn)率隨屬性數(shù)量和屬性最高水平數(shù)的增加而降低, 且當(dāng)兩者同時(shí)存在時(shí),對(duì)判準(zhǔn)率的影響更大(e.g.,

K

= 5/

L

= 4比

K

= 3/

L

=2的判準(zhǔn)率低0.5左右)。另外還可發(fā)現(xiàn), 增加題目數(shù)可促進(jìn)判準(zhǔn)率增加且影響相對(duì)較大, 而被試量對(duì)判準(zhǔn)率幾乎無(wú)影響。這與二分屬性情境下的研究結(jié)論類似(e.g., 蔡艷等, 2013; 詹沛達(dá)等, 2015), 另外結(jié)合de la Torre等(2010)和詹沛達(dá)等(2015)的研究結(jié)果可知被試量主要影響的是題目參數(shù)的返真性,而題目數(shù)則影響被試參數(shù)(i.e., 屬性或能力)的返真性。如若實(shí)際測(cè)驗(yàn)中更關(guān)注的是判準(zhǔn)率, 而對(duì)題目參數(shù)返真性的要求沒有那么高, 那么在使用RPa-DCMs時(shí)首先要保證的是有充足的題目數(shù), 以減少對(duì)被試的診斷信息出現(xiàn)誤導(dǎo)的可能。

6 討論與總結(jié)

6.1 討論

6.1.1 多分屬性與多級(jí)評(píng)分之間的關(guān)系

觀察3個(gè)RPa-DCMs后, 很容易發(fā)現(xiàn)盡管它們考慮到了屬性的多水平劃分, 但它們?nèi)允嵌?jí)評(píng)分(dichotomous scoring)DCMs。目前, 在DCA中盡管已有一些研究在探討如何實(shí)現(xiàn)多級(jí)評(píng)分, 但還缺乏一個(gè)被普遍認(rèn)可的方法。大體可將現(xiàn)有的多級(jí)評(píng)分方法分為兩類：屬性與分?jǐn)?shù)相對(duì)應(yīng)法(e.g., 祝玉芳,丁樹良, 2009; 田偉, 辛濤, 2012; Sun et al., 2013)和屬性與分?jǐn)?shù)相獨(dú)立法(e.g., Templin, Henson, Rupp,Jang, & Ahmed, 2008; Hansen, 2013; 涂冬波等,2010)。其中, 前者是指非純心理測(cè)量模型診斷法(e.g., RSM (Tatsuoka, 1983, 1985)、AHM (Leighton et al., 2004))特有的一種需要滿足一系列假設(shè)的評(píng)分方法。假設(shè)依次為(1)“屬性外顯假設(shè)”：評(píng)分者能夠根據(jù)被試的作答(當(dāng)被試未給出某題的正確答案時(shí), 評(píng)分者能夠根據(jù)現(xiàn)有的答案(或作答流程))判斷出被試可能掌握了哪些屬性及對(duì)這些屬性掌握水平; (2)“屬性與分?jǐn)?shù)相對(duì)應(yīng)假設(shè)”：被試得分等于被試正確作答的題目所考察的屬性最高水平數(shù)加權(quán)之和, 可被描述為：

式中,

Score

表示被試

n

在題目

i

上的得分,

β

表示屬性

k

的得分加權(quán),

q

為Q矩陣中的元素,

ω

為潛在作答。當(dāng)各屬性權(quán)重相等(

β

=

β

)時(shí), 式(12)退化為多分屬性情境下的屬性與分?jǐn)?shù)相對(duì)應(yīng)評(píng)分方法(e.g., Sun et al., 2013)。進(jìn)一步當(dāng)

β

=

β

且

L

= 1時(shí), 式(12)就退化為二分屬性情境下的屬性與分?jǐn)?shù)相對(duì)應(yīng)評(píng)分方法(e.g., 祝玉芳, 丁樹良, 2009; 田偉,辛濤, 2012); (3)“屬性間滿足連接縮合規(guī)則假設(shè)”：由式(12)知, 該評(píng)分方法其實(shí)是一個(gè)潛在作答的累加過(guò)程, 僅當(dāng)被試所有的潛在作答均為1時(shí)才能累加得到滿分, 因此各屬性之間必須滿足連接縮合規(guī)則。而這3個(gè)假設(shè)的存在會(huì)大大限制屬性與分?jǐn)?shù)相對(duì)應(yīng)法的適用范圍, 比如：不適用于多項(xiàng)選擇題(multiple-choice item) (因?yàn)檫x項(xiàng)數(shù)量的限制, 當(dāng)屬性(水平)數(shù)量之和大于選項(xiàng)數(shù)量時(shí), 則分?jǐn)?shù)與屬性(數(shù)量)之間的關(guān)系無(wú)法被合適地描述); 另外, 當(dāng)建構(gòu)反應(yīng)題(constructed response item)的評(píng)分細(xì)則中的采分點(diǎn)與屬性不對(duì)應(yīng)時(shí), 該方法也無(wú)法使用。

與之不同, 屬性與分?jǐn)?shù)相獨(dú)立法則是源自于IRT 中的多級(jí)評(píng)分方法(e.g., 等級(jí)反應(yīng)(graded response)、部分評(píng)分(partial credit)、稱名反應(yīng)(nomial response)等), 該方法認(rèn)為評(píng)分與潛質(zhì)(i.e.,屬性或能力)是兩個(gè)相互獨(dú)立的概念, 即評(píng)分方法僅涉及題目參數(shù)的而與被試參數(shù)無(wú)關(guān)。單維(相當(dāng)于 1道題目?jī)H考查 1個(gè)屬性)題目亦可以有多級(jí)評(píng)分, 同理, 題目?jī)?nèi)多維(相當(dāng)于1道題目考查多個(gè)屬性)題目亦可僅有二級(jí)評(píng)分, 即“多維度不等于多級(jí)評(píng)分”。該方法不存在與屬性與分?jǐn)?shù)相對(duì)應(yīng)法相類似的強(qiáng)假設(shè), 適用范圍更廣泛(e.g., 多項(xiàng)選擇題、建構(gòu)反應(yīng)題等)。在二分屬性情境下, Hansen (2013)在LCDM (Henson et al., 2009)的基礎(chǔ)上使用等級(jí)反應(yīng)評(píng)分法提出了等級(jí)反應(yīng)LCDM。Templin等(2008)在LCDM (Henson et al., 2009)的基礎(chǔ)上使用稱名反應(yīng)評(píng)分法提出了稱名反應(yīng)診斷模型。這兩個(gè)模型可被視為是屬性與分?jǐn)?shù)相獨(dú)立評(píng)分法的代表。

綜上所述, 當(dāng)多級(jí)評(píng)分采用屬性與分?jǐn)?shù)相對(duì)應(yīng)法時(shí), 多級(jí)評(píng)分將依賴于多分屬性的水平數(shù); 而當(dāng)采用屬性與分?jǐn)?shù)相獨(dú)立法時(shí), 多分屬性與多級(jí)評(píng)分也是相獨(dú)立的, 本研究評(píng)分方式為屬性與分?jǐn)?shù)相獨(dú)立法, 相應(yīng)的多級(jí)評(píng)分RPa-DCMs已另攥文闡述。

6.1.2 多分屬性與二分屬性之間的關(guān)系

圖6 多分屬性與二分屬性對(duì)應(yīng)關(guān)系示例

丁樹良等(2015)也使用膨脹算法探討了如何將R矩陣轉(zhuǎn)化為與之相對(duì)應(yīng)的二分矩陣(稱之為M矩陣), 從中也能得出與Karelitz (2004)相同的結(jié)論。以圖1中聚合型層級(jí)結(jié)構(gòu)為例, 假設(shè)3個(gè)多分屬性的

L

= 2, 即

a

∈{0,1,2}, 則其對(duì)應(yīng)的R矩陣以及相對(duì)應(yīng)的M矩陣為：

為了讓讀者更好地理解多分屬性與二分屬性之間的關(guān)系, 我們結(jié)合 Karelitz (2004)和丁樹良等(2015)的研究, 以線型和聚合型為例把多分屬性(

L

=2)和二分屬性的之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系以圖式表示出來(lái),見圖 7, 其中二分屬性中的“1-1”和“1-2”是指由多分屬性“1”拆分而來(lái)的(見圖 6), 其余屬性同理。仍以聚合型為例, 經(jīng)推算圖7中右側(cè)6個(gè)二分屬性的可達(dá)矩陣, 可得到式(13)中的 M 矩陣, 同時(shí)經(jīng)推算圖7左邊的3個(gè)多分屬性的可達(dá)矩陣, 可得到式(13)中的R矩陣。同時(shí)可發(fā)現(xiàn), 當(dāng)假設(shè)3個(gè)多分屬性之間存在層級(jí)結(jié)構(gòu)時(shí), 其對(duì)應(yīng)的二分屬性之間的層級(jí)結(jié)構(gòu)僅存在于屬性“1-1”、“2-1”和“3-1”之間, 而“1-2”、“2-2”和“3-2”之間相互獨(dú)立。同理可知, 無(wú)論多分屬性的最高水平數(shù)

L

多大, 各屬性之間的層級(jí)結(jié)構(gòu)僅建構(gòu)在第1和第2水平(i.e., 0和1)上。另外根據(jù)上述內(nèi)容也可推知, 當(dāng)把多分屬性轉(zhuǎn)換為與之對(duì)等的二分屬性后, 其可能是潛在屬性模式(或待估計(jì)屬性模式參數(shù))數(shù)量仍保持不變。

圖7 線型與聚合型層級(jí)結(jié)構(gòu)下多分屬性與二分屬性的對(duì)應(yīng)關(guān)系

6.2 總結(jié)

由于多分屬性將被試對(duì)屬性的掌握情況進(jìn)行了更為細(xì)致的劃分, 所以它比二分屬性提供更多地診斷反饋信息, 也更符合當(dāng)前國(guó)家教育政策(e.g.,《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(修改稿)》)中對(duì)知識(shí)技能的多水平要求, 具有較好的應(yīng)用前景。本文首先介紹了多分屬性和多分 Q 矩陣的概念; 之后重參數(shù)化了3個(gè)分別滿足連接、分離和補(bǔ)償縮合規(guī)則的RPa-DCMs表達(dá)式, 以期簡(jiǎn)化讀者對(duì)Pa-DCMs理解;然后, 我們探討了多分屬性數(shù)量、多分屬性最高水平數(shù)、多分屬性之間的相關(guān)性、多分屬性層級(jí)結(jié)構(gòu)、被試量和題目數(shù)對(duì)3個(gè)RPa-DCMs判準(zhǔn)率的影響,根據(jù)研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)：(1)RPa-DCMs的判準(zhǔn)率隨多分屬性數(shù)量的增加而降低, 受影響程度從大到小依次為RPa-LLM、RPa-DINO和RPa-DINA。當(dāng)多分屬性的最高水平數(shù)較低且題目數(shù)量充足時(shí), 多分屬性數(shù)量也不宜超過(guò)5個(gè); (2)判準(zhǔn)率隨多分屬性最高水平數(shù)的增加而降低, 其中 RPa-LLM 受影響程度相對(duì)最大, 而RPa-DINA和RPa-DINO受影響程度類似。當(dāng)多分屬性的最高水平數(shù)較低且題目數(shù)量充足時(shí), 多分屬性的最高水平數(shù)不宜超過(guò) 4; (3)判準(zhǔn)率隨多分屬性之間的相關(guān)性的增加而增加, 但影響程度相對(duì)較小, 實(shí)際測(cè)驗(yàn)中可不用考慮該因素對(duì)判準(zhǔn)率的影響; (4)多分屬性間的層級(jí)結(jié)構(gòu)對(duì)不同模型的影響不同, 受影響程度從大到小依次為RPa-DINO、RPa-LLM和RPa-DINA。建議實(shí)際使用RPa-DINO和 RPa-LLM 分析數(shù)據(jù)前, 要確定屬性間是否存在潛在的層級(jí)結(jié)構(gòu); (5)被試量對(duì)判準(zhǔn)率影響很小, 若實(shí)際測(cè)驗(yàn)中更關(guān)注的是判準(zhǔn)率而非題目參數(shù)的返真性, 則尋找較小的樣本量即可滿足測(cè)驗(yàn)需求; (6)題目數(shù)對(duì)判準(zhǔn)率的影響很大, 當(dāng)題目數(shù)量從較少(25題)提升到中等(50題)時(shí), 3個(gè)RPa-DCMs的判準(zhǔn)率均有 10%～20%左右的提升。因此實(shí)際測(cè)驗(yàn)中充足的題目數(shù)是得到準(zhǔn)確、有效診斷結(jié)果的必要前提之一。最后, 本文還探討了“多分屬性與多級(jí)評(píng)分之間的關(guān)系”和“多分屬性與二分屬性之間的關(guān)系”這兩個(gè)的問(wèn)題。以期為實(shí)證研究者提供相關(guān)的理論支持與使用建議。

當(dāng)然, 由于精力和篇幅有限且為聚焦研究主題,本文對(duì)部分研究條件做了簡(jiǎn)化或限定：(1) Q矩陣界定正確; (2)多分屬性層級(jí)結(jié)構(gòu)界定正確; (3)題目參數(shù)固定; (4)各屬性考查次數(shù)均衡; (5)限于二級(jí)評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)等等, 而這些限定的研究條件也均可能是RPa-DCMs判準(zhǔn)率的影響因素, 值得今后研究進(jìn)一步探討。

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