基于貝葉斯分層模型的低復(fù)雜度無線傳感器網(wǎng)絡(luò)定位算法

摘 要：文章對基于壓縮感知的無線傳感器網(wǎng)絡(luò)定位算法進(jìn)行了研究，存在重構(gòu)算法計算量大、定位誤差較大等問題，為降低計算復(fù)雜度和定位誤差，文章提出基于貝葉斯分層模型的低復(fù)雜度無線傳感器網(wǎng)絡(luò)定位算法。首先，將稀疏貝葉斯分層先驗?zāi)Ｐ鸵氲綗o線傳感器網(wǎng)絡(luò)的定位中；其次，通過運(yùn)用稀疏貝葉斯理論推理出估計目標(biāo)的后驗概率分布；最后，結(jié)合變分消息傳遞（VMP）算法，使用輔助函數(shù)對未知變量的聯(lián)合后驗概率密度函數(shù)進(jìn)行等效，得到目標(biāo)位置向量的估計結(jié)果。仿真結(jié)果表明，相較于傳統(tǒng)的重構(gòu)算法，文章提出的方法具有更好的恢復(fù)效果，計算復(fù)雜度更低。

關(guān)鍵詞：壓縮感知；貝葉斯分層模型；低復(fù)雜度；重構(gòu)算法

中圖分類號：TN929.5；TP212.9；TP312 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：2096-4706（2024）08-0106-05

DOI：10.19850/j.cnki.2096-4706.2024.08.024

0 引 言

位置服務(wù)信息廣泛應(yīng)用在軍事、醫(yī)療、交通等一些領(lǐng)域[1]。無線傳感器網(wǎng)絡(luò)（Wirelesssensor network， WSN）在安防監(jiān)控、入侵檢測、目標(biāo)跟蹤、環(huán)境監(jiān)測、醫(yī)療護(hù)理和物聯(lián)網(wǎng)等領(lǐng)域的應(yīng)用越來越深入[2]。在WSN中，實現(xiàn)精準(zhǔn)的定位是一項至關(guān)重要的任務(wù)。

近年來，壓縮感知（Compressive sensing， CS）技術(shù)的引入為WSN的位置定位提供了全新的思路[3]。對于WSN中基于壓縮感知的定位算法，其最關(guān)鍵的就是位置向量重構(gòu)算法的設(shè)計。文獻(xiàn)[4]為解決目標(biāo)與初始網(wǎng)格點(diǎn)偏差導(dǎo)致的基不匹配，建立了拉普拉斯（Laplace）先驗的稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)框架。文獻(xiàn)[5]在單采樣下以壓縮感知的方法研究三維環(huán)境中無線傳感器網(wǎng)絡(luò)技術(shù)，證明了正交匹配追蹤算法與貝葉斯壓縮感知理論應(yīng)用在三維環(huán)境的可行性，但未考慮到三維環(huán)境的復(fù)雜性與算法的復(fù)雜度。文獻(xiàn)[6]將基于變分貝葉斯推理的重構(gòu)算法和K-均值聚類算法結(jié)合進(jìn)行多目標(biāo)定位。此外在貝葉斯方法的基礎(chǔ)上還引入了分層模型，文獻(xiàn)[7]提出了一種具有自適應(yīng)拉普拉斯先驗的分層貝葉斯框架來避免高維矩陣的逆運(yùn)算。

基于壓縮感知技術(shù)的WSN定位研究還存在著一定的不足：1）選取的先驗?zāi)Ｐ蜔o法與后驗概率共軛，導(dǎo)致計算復(fù)雜。2）在計算復(fù)雜度與重構(gòu)精度間難以取得有效平衡。3）忽略了環(huán)境的復(fù)雜性，特別是在低和中信噪比的情況下。

鑒于上述問題，本文提出的基于貝葉斯分層模型的低復(fù)雜度無線傳感器網(wǎng)絡(luò)定位算法，使其能夠在低和中等信噪比的情況下也可以得到比較好的定位效果。

1 定位模型和問題描述

1.1 定位模型

本文采用如圖1所示的基本場景。假設(shè)傳感器節(jié)點(diǎn)與目標(biāo)節(jié)點(diǎn)均為靜止?fàn)顟B(tài)，M個位置已知的傳感器節(jié)點(diǎn)被隨機(jī)布置于無線傳感器監(jiān)控器區(qū)域內(nèi)，同時K個目標(biāo)也被隨機(jī)分布在待監(jiān)測區(qū)域內(nèi)。假設(shè)所有節(jié)點(diǎn)都具有相同的感知半徑R，每個信標(biāo)節(jié)點(diǎn)都在目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的信號傳播范圍內(nèi)。為了稀疏表示目標(biāo)的位置，將待監(jiān)測區(qū)域網(wǎng)格化，定義區(qū)域為正方形，并將其均勻地分成N個網(wǎng)格，且每個網(wǎng)格內(nèi)均至多包含一個目標(biāo)，假設(shè)目標(biāo)位置即為網(wǎng)格的中心位置，傳感器位置則為先驗信息。

1.2 問題定義

壓縮模型可定義為：若N×1維的信號S在N×N維的稀疏基Ψ上，用K稀疏度的信號S來表示，在另一個與稀疏基不相關(guān)的M×N維觀測矩陣Φ上進(jìn)行投影，其中M ? N，可得到M×1維的壓縮采樣矩陣y，在此過程中受到觀測噪聲n的影響。其模型公式為：

（1）

式中，已知測量值y與觀測矩陣Φ，需求得N×1維的稀疏信號S，即為壓縮感知過程。因此定位問題轉(zhuǎn)化成了根據(jù)傳感器位置生成的觀測矩陣和實時測量值重構(gòu)N×1維的稀疏信號S的問題（即重構(gòu)下述的目標(biāo)位置向量）。

下面將式（1）中的參數(shù)記為：

1）目標(biāo)構(gòu)成的稀疏矩陣S。目標(biāo)的位置信息可用N×1維的稀疏向量表示，即：

（2）

式（2）中： 為目標(biāo)位置向量，其元素Sn ∈ {0，1}。當(dāng)網(wǎng)格n內(nèi)存在目標(biāo)時，Sn = 1；否則Sn = 0。由于K ? N，因此S為K稀疏向量。

2）構(gòu)造稀疏基矩陣Ψ。由于稀疏信號S本身稀疏，為方便設(shè)計，稀疏基Ψ為N×N維的單位矩陣。

3）觀測矩陣Φ。獨(dú)立同分布的高斯隨機(jī)測量矩陣可轉(zhuǎn)換為普適的壓縮感知測量矩陣，可以用來模擬多徑衰落信道對信號的影響，以確保仿真結(jié)果的準(zhǔn)確性。

4）測量值矩陣y。定義y = {y1，y2，…，yM}T為測量值矩陣，則：

5）感知矩陣Θ。感知矩陣Θ構(gòu)建了測量值矩陣y與目標(biāo)位置向量S之間的關(guān)系。

2 稀疏貝葉斯分層先驗?zāi)Ｐ?/p>

2.1 分層先驗?zāi)Ｐ偷慕?/p>

本文通過對先驗信息建立分層的架構(gòu)，利用高斯尺度混合（GSM）來描述稀疏性誘導(dǎo)先驗。

首先將數(shù)學(xué)模型（1）中的聯(lián)合概率密度函數(shù)分解為因子，并將其表示為分層先驗?zāi)Ｐ停?/p>

（3）

針對誘導(dǎo)稀疏性問題，構(gòu)建了如圖2所示三層高斯尺度混合式先驗?zāi)Ｐ?。圓形節(jié)點(diǎn)所代表的是隨機(jī)變量，方形節(jié)點(diǎn)代表著確定性參數(shù)，而箭頭則呈現(xiàn)了各節(jié)點(diǎn)之間的從屬關(guān)系。y為測量值，其值取決于隨機(jī)變量S和n。S是目標(biāo)位置向量，是需要恢復(fù)的稀疏向量，其值取決于隨機(jī)變量γ，而γ又取決于隨機(jī)變量ε和η。n為測量噪聲向量，其值取決于隨機(jī)變量λ。因為測量噪聲向量n是加性高斯隨機(jī)白噪聲，其方差矩陣為λ-1I，λ＞0為噪聲精準(zhǔn)系數(shù)，所以n服從復(fù)高斯分布，似然分布可表示為：

（4）

式（4）中：λ-1表示測量噪聲的方差。由于測量噪聲向量服從多維復(fù)高斯分布且共軛先驗是伽馬分布。所以，把λ看作隨機(jī)變量，假設(shè)它服從伽馬先驗分布：

（5）

式（5）中：該先驗分布的確定性參數(shù)包括c和d。先驗?zāi)Ｐ偷牡谝粚又?，把S看作隨機(jī)變量，假設(shè)它服從復(fù)高斯分布：

（6）

式（6）中： 表示S的方差。先驗?zāi)Ｐ偷牡诙又?，把γ看作隨機(jī)變量，假設(shè)它服從伽馬先驗分布：

（7）

式（7）中：隨機(jī)向量η的元素ηl之間相互獨(dú)立，其中元素γl滿足伽馬分布為率參數(shù)（rate parameter）。 表示伽馬函數(shù)。先驗?zāi)Ｐ偷牡谌龑又校薛强醋麟S機(jī)變量，其元素ηl也滿足伽馬分布：

（8）

式（8）中：al和bl是確定性參數(shù)，它們分別表示伽馬分布的形參數(shù)（shape parameter）和率參數(shù)。根據(jù)構(gòu)建的三層高斯尺度混合先驗?zāi)Ｐ?，將S的先驗分布表示為：

（9）

（10）

式（9）和（10）中：S服從Bessel K分布，ε表示Bessel K分布中的形狀參數(shù)，與稀疏性有關(guān)，越小表示稀疏性越強(qiáng)。η表示Bessel K分布中的尺度參數(shù)，參數(shù)ρ表示實復(fù)數(shù)信號。Kε-ρ是第二類修正Bessel函數(shù)，ε-ρ為第二類修正Bessel函數(shù)的階數(shù)。更多關(guān)于先驗?zāi)Ｐ偷耐茖?dǎo)參見文獻(xiàn)[8]。

2.2 目標(biāo)位置估計

為了更好的估計出目標(biāo)位置向量S，在上述分層模型的基礎(chǔ)上，利用變分消息傳遞（VMP）算法，通過分塊來降低復(fù)雜度。下面2.2.1小節(jié)具體展開描述。

2.2.1 后驗概率分布估計

在三層高斯尺度混合先驗?zāi)Ｐ椭?，對式?）的聯(lián)合概率密度函數(shù)進(jìn)行進(jìn)一步的分解為：

（11）

由式（4）可知每一個測量值yd，d = 1，…，D是相互獨(dú)立的且滿足復(fù)高斯分布。根據(jù)式（11），采用文獻(xiàn)[9]的因子圖模型，圖3是消息傳遞的因子圖。

圖3中：fλ = p （λ），fyd = p （ yd | s，λ），fsl = p （sl | γl），fyl = p （γl | ηl），fηl = p （ηl）。

令Z = {S，γ，η，λ}作為隱藏的未知參數(shù)的集合，H = {a，b，c，d，ε}作為確定性參數(shù)的集合。要恢復(fù)目標(biāo)位置向量S，就需要求出Z的后驗概率分布。在該算法的初次迭代中，要更新目標(biāo)位置向量S的后驗分布，計算均值μ與協(xié)方差 ，然后在后續(xù)迭代中更新各個參數(shù)。

由于無法求出各個未知參數(shù)的具體表達(dá)式，所以選擇改進(jìn)的變分消息傳遞（VMP）算法來近似最大后驗估計。令Q （Z）為輔助函數(shù)，通過計算函數(shù)節(jié)點(diǎn)到變量的消息與變量到函數(shù)節(jié)點(diǎn)的消息這二者之間消息的乘積來更新輔助函數(shù)，其計算公式為：

（12）

初次迭代中，在假設(shè)式（9）和式（10）先驗的情況下，給定字典Θ和測量值矩陣y，根據(jù)稀疏貝葉斯推理，目標(biāo)位置向量S的后驗服從均值為μ，方差為" 的復(fù)高斯分布，其計算公式為：

（13）

（14）

式（14）中，，需要對L×

L維的矩陣求逆，復(fù)雜度為O（L3）。當(dāng)L很大時，其計算量很大，因此對式（14）進(jìn)行分塊降低復(fù)雜度，由此在后續(xù)更新中，輔助函數(shù)Q（Z）變?yōu)椋?/p>

（15）

其中Q（γ），Q（η）和Q（λ）的更新規(guī)則分別如下：

（16）

（17）

（18）

式（15）中的Q（Sq）對目標(biāo)位置向量S分解成q塊，每塊大小為B，由此可知q = L / B。基于上述改變，將式（13）和（14）改寫為：

（19）

（20）

此時式（20）為對B×B維的矩陣求逆，復(fù)雜度為O （B3），因為B＜L，所以維度降低減小計算復(fù)雜度。經(jīng)過迭代，算法收斂后，需要重組" 和" 的數(shù)據(jù)，在此定義重組后的" 為μlast，重組后的" 為 ，均值μlast即為目標(biāo)位置向量的估計值。

2.2.2 算法流程

基于上述后驗分布估計可以恢復(fù)目標(biāo)位置向量。表1所示為目標(biāo)位置的估計算法。將均方根誤差（Root Mean Square Error， RMSE）作為衡量定位誤差的度量值。均方根誤差距離定義為待估計的目標(biāo)位置向量" 和原始的真實位置向量S之間的誤差。當(dāng)RMSE越小，說明估計的位置就越準(zhǔn)確。公式為：

（21）

式（21）中： 表示第c次蒙特卡洛實驗中第k個目標(biāo)的位置向量，K表示需要估計的目標(biāo)數(shù)目，C表示蒙特卡洛實驗次數(shù)。

算法步驟如下：

輸入：測量值矩陣y，觀測矩陣Φ，迭代次數(shù)tmax

輸出：目標(biāo)位置向量 ，均方根誤差RMSE

1.初始化參數(shù)a = 1，b = 10-6，ε = 0，ρ = 1，c = d = 0，tmax = 1 000

2.第一次迭代計算S估計值

3.根據(jù)式（13）和式（14），計算μ和

4.后續(xù)迭代

5.while（t≤tmax）do

6.根據(jù)式（16），式（17）和式（18），更新參數(shù)γq，ηq，λq

7.根據(jù)式（19）和式（20），更新" 和

8.重組分塊后的" 和 ，結(jié)果分別為μlast和

9.令

10. end while

11.令恢復(fù)的位置向量 = μlast，目標(biāo)個數(shù)K = ，RMSE。

3 實驗設(shè)置及結(jié)果分析

3.1 環(huán)境及參數(shù)設(shè)置

通過MATLAB R2021a仿真驗證了本文定位算法的有效性，所述定位區(qū)域設(shè)置為256 m×256 m的方形區(qū)域，均勻劃分成N個大小相同的網(wǎng)格，在網(wǎng)格中隨機(jī)配置了M個傳感器，在待監(jiān)測區(qū)域隨機(jī)分布了K個目標(biāo)。在假設(shè)觀測值受到零均值高斯白噪聲干擾的情況下，用SNR來描述信噪比。所有仿真進(jìn)行蒙特卡洛實驗100次。

3.2 結(jié)果及分析

圖4表明不同信噪比下稀疏重構(gòu)算法的定位性能。為了驗證算法的性能，分析算法在不同信噪比條件下的RMSE，將本文算法與傳統(tǒng)重構(gòu)算法BP算法，GAMP算法，EM算法以及VMP算法進(jìn)行對比。其中，M = 10，N = 256 256，K = 5，迭代次數(shù)t為20次，蒙特卡洛實驗次數(shù)C為100次。由圖可知，隨著噪聲逐漸減小，五種算法的RMSE逐漸減小，說明估計的位置越準(zhǔn)確。隨著信噪比的繼續(xù)增加，信噪比SNR＞25 dB時各種算法的性能提升較小，此時噪聲不再是影響定位精度的主要原因了。

圖5表明不同目標(biāo)數(shù)下稀疏重構(gòu)算法的定位性能。在該仿真實驗中，信噪比SNR = 10 dB，迭代次數(shù)為20次，總體來看，EM算法的效果最差，本文算法相較于BP算法和VMP算法，其RMSE略大，但是比較穩(wěn)定，保持在一定范圍內(nèi)波動，是因為在降低復(fù)雜度的同時犧牲了部分性能。

圖6表明目標(biāo)位置向量估計誤差和稀疏重構(gòu)算法中的迭代次數(shù)緊密相關(guān)。在該仿真實驗中，目標(biāo)數(shù)K = 5，信噪比SNR = 10 dB。由圖可知，隨著迭代次數(shù)的增加，五種算法的RMSE基本呈下降趨勢總體來看，本文算法的性能最好，當(dāng)?shù)?0次時，除了EM算法無法達(dá)到收斂，其余算法都將趨于收斂，此時迭代次數(shù)不再是影響定位性能的主要因素了。

為了尋求算法計算復(fù)雜度與定位誤差之間的平衡。表1給出了不同算法的仿真時間，本實驗在處理器為Intel Core i5-8250，主頻為1.80 GHz，內(nèi)存為8 GB，軟件環(huán)境為Windows 10下運(yùn)行的結(jié)果。在仿真時間上，本文算法較原始VMP算法的仿真時間縮短約40.09%，比BP算法減少約93.77%，比GAMP算法減少約3.74%。

4 結(jié) 論

本文提出的基于貝葉斯分層模型的低復(fù)雜度無線傳感器網(wǎng)絡(luò)定位算法，在低和中等信噪比下，不同迭代次數(shù)下，具有較強(qiáng)的抗噪性和魯棒性。而在不同目標(biāo)數(shù)下，將定位性能與復(fù)雜度兩者進(jìn)行了折中，在計算復(fù)雜度上進(jìn)行了有效降低。

參考文獻(xiàn)：

[1] 楊彩云，顧錦，夏志東，等.基于軌跡預(yù)測的雙錨節(jié)點(diǎn)移動定位方法研究 [J].傳感技術(shù)學(xué)報，2021，34（9）：1250-1257.

[2] 盛金鋒，李寧，郭艷，等.基于相位偏移的壓縮感知無源多目標(biāo)定位方法 [J].中國科學(xué)院大學(xué)學(xué)報，2024，41（2）：241-248.

[3] 張小康.基于壓縮感知的無線傳感器網(wǎng)絡(luò)定位研究 [D].合肥：合肥工業(yè)大學(xué)，2022.

[4] 游康勇，楊立山，劉玥良，等.基于稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)的網(wǎng)格自適應(yīng)多源定位 [J].電子與信息學(xué)報，2018，40（9）：2150-2157.

[5] 李頌.單采樣下基于壓縮感知的無線傳感器網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)三維定位方法研究 [D].長春：吉林大學(xué)，2019.

[6] 陳承，李寧，郭艷，等.結(jié)合K-均值聚類的無源目標(biāo)定位技術(shù) [J].通信技術(shù)，2022，55（7）：871-880.

[7] WANG D，WANG T，CUI W. A fast sparse Bayesian learning method with adaptive Laplace prior for space‐time adaptive processing [J].IET Radar，Sonar amp; Navigation，2022，16（12）：1936-1948.

[8] PEDERSEN N L，MANCHóN C N，BADIU M A，et al. Sparse estimation using Bayesian hierarchical prior modeling for real and complex linear models [J].Signal processing，2015，115：94-109.

[9] KANG H，LI J，GUO Q，et al. Pattern coupled sparse Bayesian learning based on UTAMP for robust high resolution ISAR imaging [J].IEEE Sensors Journal，2020，20（22）：13734-13742.

作者簡介：翟永祺（1996--），女，漢族，山西太原人，碩士研究生在讀，研究方向：無線傳感器網(wǎng)絡(luò)。

收稿日期：2023-10-10

Low-complexity Wireless Sensor Network Location Algorithm Based on

Bayesian Hierarchical Model

ZHAI Yongqi

（School of Computer Science and Mathematics， Fujian University of Technology， Fuzhou 350118， China）

Abstract： In this paper， the algorithm of wireless sensor network location based on compression perception is studied， and there are some problems such as large computation of reconstruction algorithm and large positioning error. In order to reduce the computational complexity and localization error， a low complexity wireless sensor network localization algorithm based on Bayesian Hierarchical Model is proposed. Firstly， the sparse Bayesian hierarchical priori model is introduced into the positioning of wireless sensor networks. Secondly， by using sparse Bayesian theory， the transcendental probability distribution of estimated target is deduced. Finally， combined with Variational Message Passing （VMP） algorithm， the joint posterior probability density function of unknown variables is equivalent by auxiliary function， and the target location vector is estimated. The simulation results show that the proposed method in this paper has better recovery effect and lower computational complexity than traditional reconstruction algorithm.

Keywords： compressive sensing; Bayesian Hierarchical Model; low complexity; reconfiguration algorithm