一類(lèi)橢圓方程Dirichlet問(wèn)題弱解的全局H?lder連續(xù)性

佟玉霞 ,田潤(rùn)蓁 ,孟憲瑞 ,劉曉麗

(1.華北理工大學(xué)理學(xué)院,河北 唐山 063210;2.河北省數(shù)據(jù)科學(xué)與應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,河北 唐山 063210;3.華北理工大學(xué)冀唐學(xué)院,河北 唐山 063210)

1.引言

A-調(diào)和方程

是一類(lèi)研究廣泛的橢圓方程,當(dāng)映射A(x,h)|h|p-2h,即為p-調(diào)和方程div|?u|p-2?u0.形式各異的A-調(diào)和型方程在微分幾何、擬正則映照、非線性彈性力學(xué)、控制論等方面有著廣泛的應(yīng)用.關(guān)于其弱解的性質(zhì)已有很多文獻(xiàn)[1-6]做過(guò)詳細(xì)的討論.

LI和Martio[1]考慮了具有很弱邊值的橢圓方程(1.1)弱解的唯一性;FAN[2]建立了具有可變指數(shù)的散度型橢圓方程divA(x,u,?u)B(x,u,?u)的Dirichlet問(wèn)題和Neumann問(wèn)題的有界廣義解的全局C1,α正則性;ZHENG等[3]基于密度引理和Moser-Nash討論建立了具有自然增長(zhǎng)條件的A-調(diào)和型方程?divA(x,?u)B(x,u,?u)弱解的優(yōu)化正則性;YAO[4]考慮了具有可變指數(shù)的非齊次方程divA(x,?u)div(|f|p(x)-2f) 弱解的加權(quán)Lq估計(jì);JIA和WANG[5]考慮了擬凸域上具有W1,q(q ≥p>1)邊界數(shù)據(jù)的橢圓方程divA(x,?u)div(|f|p(x)-2f)的邊值問(wèn)題,通過(guò)使用極大函數(shù)、Vitali覆蓋引理和緊性方法,獲得了其弱解的全局正則性;GAO等[6]使用廣義的Stampacchia引理證明了方程?divA(x,u,?u)f(x)的Dirichlet問(wèn)題熵解的正則性.關(guān)于A-調(diào)和方程及其相關(guān)問(wèn)題的更多結(jié)論可參見(jiàn)文[7-11].

設(shè)?為Rn中的具有C1,α邊界的有界區(qū)域,(0,1],n ≥2.本文考慮具有可變指數(shù)的橢圓方程

其Dirichlet邊界條件為

注特別地,當(dāng)A(x,ξ)|ξ|p(x)-2ξ且B(x,ξ)0,(1.2)即為p(x)-Laplace方程

弱解的局部H?lder連續(xù)性.佟玉霞等[16]獲得了變指數(shù)A-調(diào)和方程(1.2)弱解的梯度的局部H?lder連續(xù)性.本文主要借鑒FAN[2]建立全局C1,α正則性的方法,將文[16]中建立的局部H?lder連續(xù)性推廣到全局.

下面是本文主要結(jié)論.

2.預(yù)備知識(shí)和引理

具有可變指數(shù)的Lebesgue-Sobolev空間

此時(shí)Lp(x)(?)為Banach空間.W1,p(x)(?)空間定義為

此時(shí)W1,p(x)(?)為Banach空間.

對(duì)于任意給定的x0常數(shù)R>0,開(kāi)球B(x0,R){x:|x ?x0|

下面給出邊值問(wèn)題(1.2)-(1.3)的高階可積性結(jié)論.證明思想借鑒了文[2].對(duì)B0且u00的情況,可參見(jiàn)文[17].

令x0,考慮球B(x0,2R1),這里假設(shè)R1充分小,使得

下面分別估計(jì)(2.6)式兩側(cè)的積分.由條件(1.4)和(1.7),

由條件(1.8)和Young不等式,有

聯(lián)合(2.6),(2.7),(2.9),(2.10)和(2.11),可得

注由引理2.1的證明易知,假設(shè)條件u01,∞(?)可以減弱為

下面的結(jié)論取自文[18],是證明定理1.2的基礎(chǔ).

這里α3(0,1),c1,c2,c3為僅與p?,n,Ci(i1,2,3),?γ有關(guān)的正常數(shù).

引理2.3若u為橢圓問(wèn)題(1.2)-(1.3)滿足條件(1.4)-(1.10)的弱解,v是(2.19)的弱解,則存在僅依賴(lài)于n,p-,p+,αi(i1,2,3),σ0的正常數(shù)β,使得

其中C與n,p-,p+,αi(i1,2,3),Ci(i1,2,···,5)有關(guān).

證若u為橢圓問(wèn)題(1.2)-(1.3)滿足條件(1.4)-(1.10)的弱解,v是(2.19)的弱解,在弱解的定義中取試驗(yàn)函數(shù)φu ?v,有

估計(jì)I1.由(1.5),結(jié)合使用帶τ的Young不等式和(2.22),我們有

于是由覆蓋迭代討論(見(jiàn)文[19]引理3.2),對(duì)每個(gè)(0,n),存在正常數(shù)Rλ,C>0使得對(duì)所有0<ρ ≤Rλ,有

3.定理1.1的證明

定理1.1的證明令2ρ

根據(jù)引理2.3,(3.1)和引理2.4可得