面向制造的連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計方法研究

王明強 李治多

江蘇科技大學,鎮(zhèn)江,212003

0 引言

隨著拓撲優(yōu)化理論的發(fā)展和拓撲優(yōu)化工具的出現(xiàn),拓撲優(yōu)化已開始在航空、汽車等工程領(lǐng)域得到逐步應(yīng)用。在拓撲優(yōu)化中引入制造工藝約束使得優(yōu)化技術(shù)更具吸引力,制造工藝約束是在概念設(shè)計階段需要考慮的重要因素。因此,拓撲優(yōu)化作為一種產(chǎn)生設(shè)計概念的工具,可進一步實現(xiàn)與制造約束的集成,這對縮短概念設(shè)計和工程實現(xiàn)之間的距離有重要意義[1]。然而拓撲優(yōu)化畢竟處于結(jié)構(gòu)的概念設(shè)計階段,其結(jié)果對于后續(xù)的設(shè)計與分析過程僅有概念性的指導意義,拓撲優(yōu)化結(jié)果的工程可利用性問題已經(jīng)成為制約拓撲優(yōu)化進一步發(fā)展的障礙之一[2]。

近幾年,國內(nèi)外學者對結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題開展了廣泛的研究。Thomas[1]在基本設(shè)計階段考慮制造約束,用數(shù)學優(yōu)化技術(shù)結(jié)合基于結(jié)構(gòu)分析的有限元技術(shù)實現(xiàn)了設(shè)計的最優(yōu)拓撲布局,完成了有益的輕量化要求,并將其用于壓模、鑄模及板金結(jié)構(gòu)的優(yōu)化中。Harzheim等[3]采用基于CAO和SKO的算法并考慮制造工藝約束,獲得了更容易理解的設(shè)計方案。陳義保等[4]提出了一種新的帶有制造工藝約束的多約束結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計模型。左孔天[2,5]提出了基于工程約束思想的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化,通過在優(yōu)化模型中加入制造加工約束來減小設(shè)計空間,確保工程可接受的及可制造的拓撲優(yōu)化結(jié)果。

針對傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化的結(jié)果在工程上難以制造加工的問題,為更好地處理在概念設(shè)計階段連續(xù)體拓撲優(yōu)化結(jié)果的工程實用化問題,提出了一種基于制造工藝約束的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計的方法,即面向制造的分級優(yōu)化方法,使優(yōu)化結(jié)果既滿足工程設(shè)計性能要求,又同時滿足制造加工性能的要求,以實現(xiàn)面向制造的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計。

1 面向制造的分級拓撲優(yōu)化方法

面向制造的分級拓撲優(yōu)化方法的思想是,采用分級優(yōu)化策略處理帶制造工藝約束的拓撲優(yōu)化問題。第一級優(yōu)化從設(shè)計角度,確定結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化結(jié)果的基本拓撲構(gòu)型,以滿足設(shè)計性能要求;第二級優(yōu)化針對第一級優(yōu)化所得的拓撲結(jié)果,進行制造可行性分析和加入制造工藝約束的二次拓撲優(yōu)化,以獲得面向制造的拓撲優(yōu)化結(jié)果。分級拓撲優(yōu)化的實現(xiàn)流程如圖1所示。不直接在第一級優(yōu)化中引入制造約束的原因在于,沒有針對性,可能獲得的只是局部最優(yōu)。采取分級優(yōu)化可以保證全局最優(yōu),使拓撲優(yōu)化結(jié)果同時滿足設(shè)計要求和制造要求,具有工程應(yīng)用價值。

2 面向制造的連續(xù)體拓撲優(yōu)化模型

2.1 基于制造約束的SIMP法拓撲優(yōu)化模型

在面向制造的分級拓撲優(yōu)化策略實現(xiàn)中,采用固體各向同性懲罰材料(solid istropic material with penalization,SIMP)模型[6]。該優(yōu)化模型的目標函數(shù)為結(jié)構(gòu)的整體柔度最小即剛度最大,設(shè)計變量為單元密度,約束條件為體積約束和制造工藝約束,則拓撲優(yōu)化模型為

2.2 成員尺寸控制約束及處理策略

制造工藝約束包含成員尺寸控制約束、拔模約束、擠壓約束、模式組(各種對稱約束)及模式重復(fù)等約束。這里從面向制造的優(yōu)化角度出發(fā),以成員尺寸控制約束為例,分析制造工藝約束的實施及處理策略。

成員尺寸控制約束分為最小成員尺寸約束和最大成員尺寸約束。最小成員尺寸約束是指優(yōu)化結(jié)果中單元密度為1的區(qū)域的允許最小尺度。零部件在設(shè)計制造加工過程中,往往有一個最小尺寸要求,小于該尺寸范圍的特征,將很難鑄造或用刀具加工。因此在零件的初始概念設(shè)計階段就應(yīng)考慮這一要求,針對零件不同的加工要求加入不同的最小成員尺寸約束。這里給出最小成員尺寸控制法的數(shù)學模型:

式中,L為離散邊界單元孔洞的等效特征尺寸;Se為邊界單元e的外表面積;dQ為邊界孔洞相對于投影平面Q的平均深度;M為邊界離散單元數(shù);L0為加工尺寸下邊界。

這里投影面Q定義為需要控制加工尺寸約束所在的縱向平面(YZ平面)。通過在優(yōu)化模型中引入最小加工尺寸約束的下限值,來對結(jié)果中的最小特征的結(jié)構(gòu)尺寸進行控制。引入最小成員尺寸約束可以獲得比較均勻的材料分布,便于鑄造過程材料的流動或提供足夠剛度以便于刀具加工。

最大成員尺寸約束針對的是優(yōu)化結(jié)果中單元密度為1的區(qū)域。在該優(yōu)化區(qū)域中各向尺度不能全部大于該尺寸,這樣可以消除優(yōu)化結(jié)果中的材料堆積,避免制造過程引起的產(chǎn)品缺陷(如鑄造過程中散熱不均勻),并能提供多個傳力路徑以提高產(chǎn)品可靠性。

對于最小/最大成員尺寸約束的實施,采用一種新的處理策略,即在第二級優(yōu)化中對不可行子域,通過圓域進行擬合以縮減原始設(shè)計空間,實現(xiàn)最小/最大成員尺寸約束的控制,其處理規(guī)則為

其中,(X,Y)為設(shè)計域單元坐標;(X0,Y0)為不可行子域中心坐標;Lmin、Lmax分別為最小成員尺寸和最大成員尺寸,其值可根據(jù)實際制造加工要求來定。一般,最小成員尺寸要大于3倍的單元平均尺寸,最大成員尺寸至少為單元平均尺寸的6倍。

2.3 基于制造約束的優(yōu)化模型求解

加入制造工藝后的拓撲優(yōu)化問題變?yōu)橐粋€多約束優(yōu)化問題。拓撲優(yōu)化數(shù)學模型求解算法中的移動近似算法(method of moving asymptotes,MMA)[7]廣泛應(yīng)用于具有制造約束、工程約束等復(fù)雜多約束拓撲優(yōu)化問題的求解[5]。但采用此法會增加優(yōu)化求解問題的復(fù)雜性,這通常會導致計算得不到有用的工程可行解[5]。

為了降低求解的難度,采用優(yōu)化準則法(optimization criterion,OC)求解含制造約束的拓撲優(yōu)化模型。對于柔度最小的優(yōu)化問題采用比MMA法收斂速度快的OC法。綜合文獻[8],給出改進的OC法更新設(shè)計變量的迭代格式:

2.4 數(shù)值不穩(wěn)定的去除方法

拓撲優(yōu)化過程中出現(xiàn)的數(shù)值不穩(wěn)定問題實際上是由數(shù)值計算中場函數(shù)的一種數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象或由數(shù)值奇異解造成的,其表現(xiàn)形式包括棋盤格式、多孔材料、網(wǎng)格依賴性、局部極值等。多孔材料和棋盤格式導致計算結(jié)果的可制造性差,網(wǎng)格依賴性使計算結(jié)果的可靠性下降,局部極值問題導致計算得不到全局最優(yōu)解或得不到工程可行解。拓撲優(yōu)化中數(shù)值計算不穩(wěn)定性的消除非常重要,它關(guān)系到數(shù)值計算的收斂性和計算結(jié)果的可制造性。

濾波過濾法對消除棋盤格式簡單有效,并能保證一定的網(wǎng)格無關(guān)性,但優(yōu)化結(jié)果中存在明顯的“邊界擴散”效應(yīng),并可能形成一種點態(tài)的密度場[9]。密度和敏度混合的過濾技術(shù)具有敏度過濾技術(shù)的優(yōu)點,還可以提高密度場光滑性和連續(xù)性,該法在一定程度上可以消除“邊界擴散”效應(yīng),同時能有效消除棋盤格式并使結(jié)構(gòu)體現(xiàn)出較好的網(wǎng)格無關(guān)性[7]。窗函數(shù)法相當于將不同的窗函數(shù)作為卷積核與原有數(shù)字信號進行卷積,其物理意義較直觀,且可根據(jù)原數(shù)值解的具體情況靈活選擇窗函數(shù)的尺度參數(shù),易于編程實現(xiàn)。窗函數(shù)法采用高斯窗函數(shù)對密度場分布函數(shù)進行處理,以解決棋盤格式問題,其實質(zhì)是濾波法的一種[6]。

綜合上述分析,為了更好地解決在拓撲優(yōu)化過程中優(yōu)化結(jié)果的“邊界擴散”效應(yīng)問題,并在解決棋盤格式問題的同時提高收斂速度,減少計算量,本文對密度和敏度混合過濾進行改進,從工程實際應(yīng)用角度出發(fā),采用密度和敏度混合高斯濾波法。

2.4.1 密度和敏度混合高斯濾波法

混合過濾技術(shù)將每個節(jié)點的密度用周圍單元密度的加權(quán)平均值來近似,從而提高密度場的光滑性和連續(xù)性,再對處理后的密度進行敏度的卷積,以改善有限元求解的收斂性和解的存在性。

將敏度過濾技術(shù)中的密度用設(shè)計變量的平均密度代替;為了提高權(quán)函數(shù)的光滑性,密度和敏度混合過濾法中的權(quán)函數(shù)w(xi)=max(He,0)由高斯函數(shù)代替,即

其中,die為單元i和單元e中心的距離;~xe和~xf分別為過濾前后單元的平均密度;σ為高斯函數(shù)的尺度參數(shù)(決定了過濾函數(shù)的平滑程度),σ=rmin/2;rmin為過濾半徑,即表示優(yōu)化結(jié)果的最小尺寸為單元尺寸的rmin倍;Ne為過濾半徑之內(nèi)單元的數(shù)目。過濾半徑的取值應(yīng)隨著單元網(wǎng)格密度的增大而適當有所增大。

2.4.2 基于密度和敏度混合高斯過濾法算例

基結(jié)構(gòu)如圖2所示,其中 L=10mm,集中載荷F=10kN,材料彈性模量E=200GPa,泊松比ν=0.3,懲罰因子 p=3.0,過濾半徑rmin=1.5mm,移動極限初始值m=0.2。在相同初始優(yōu)化參數(shù)條件下,采用提出的不同過濾方法,其優(yōu)化結(jié)果如圖3所示。

圖3a、圖3b所示為采用本文提出的混合過濾技術(shù)的優(yōu)化結(jié)果。從圖3中優(yōu)化結(jié)果可以看出,所提出的過濾法能很好地消除棋盤格式和網(wǎng)格依賴性等數(shù)值不穩(wěn)定性現(xiàn)象且邊界清晰。但采用密度和敏度混合過濾結(jié)果會出現(xiàn)一定程度的“邊界擴散”現(xiàn)象,如圖3a所示,在虛線圓形區(qū)域內(nèi),邊界局部產(chǎn)生了細小的傳力路徑,這將降低結(jié)構(gòu)的可靠性。采用密度和敏度混合高斯過濾法可以很好地解決此問題,結(jié)果如圖3b所示,該結(jié)果與參考文獻[8]的優(yōu)化結(jié)果非常一致,并且比文獻[11]優(yōu)化結(jié)果(圖3c)的邊界更加清晰。

3 面向制造的分級優(yōu)化法算例分析

3.1 算例

一平板結(jié)構(gòu)如圖4所示,兩側(cè)固定,原始設(shè)計域為100mm×50mm,假定材料彈性模量 E=200GPa,泊松比為 ν=0.3,體積系數(shù) f=0.5,中間施加一個集中載荷F(F=30kN)。求解時采用四節(jié)點單元,單元總數(shù)為5000,懲罰因子p=3.0,過濾半徑rmin=1.5mm,阻尼系數(shù)ε=0.5,初始移動限m=0.2。求解過程中綜合采用改進的優(yōu)化準則算法、密度和敏度混合高斯過濾法及成員尺寸控制法。

3.2 算例分析

在第一級拓撲優(yōu)化中沒有施加最小尺寸約束,優(yōu)化結(jié)果如圖5所示,產(chǎn)生上下兩個不規(guī)則小空洞(圖5中虛線圓形區(qū)域內(nèi)),這兩個不規(guī)則小空洞在結(jié)構(gòu)和功能上沒有任何作用,但會給后續(xù)的制造和加工帶來困難。因此,從制造的角度考慮,這種局部不規(guī)則小空洞的是優(yōu)化設(shè)計過程中不期望獲得的結(jié)構(gòu)。針對兩個不可制造小空洞子域,可采取最小、最大成員尺寸約束控制。圖6a所示為施加最小尺寸約束后的第二級優(yōu)化結(jié)果,結(jié)構(gòu)中的不規(guī)則小空洞消失了,有利于后繼加工制造。圖6b所示為施加最大尺寸約束后的二級優(yōu)化結(jié)果,同樣也獲得了良好的結(jié)構(gòu),滿足后續(xù)的加工制造要求。在相同的基結(jié)構(gòu)和載荷及邊界條件下,文獻[2]中的優(yōu)化結(jié)果如圖7所示。圖7的優(yōu)化結(jié)果與本文的優(yōu)化結(jié)果很相似,因此也驗證了本文所提出方法的可行性與有效性。

在實際優(yōu)化設(shè)計過程中,具體是加入最小尺寸約束還是最大尺寸約束,要根據(jù)工程設(shè)計的實際要求或工程經(jīng)驗而定。這里對優(yōu)化模型進行了簡化,其邊界條件相對簡單,而在實際工程中其工況較復(fù)雜,需要考慮的因素及約束也較多,應(yīng)根據(jù)不同對象要求施加不同的制造工藝約束或者多種工藝約束的組合靈活應(yīng)用,充分考慮產(chǎn)品實際加工制造過程中的各種約束,從而使優(yōu)化結(jié)果便于制造,使優(yōu)化流程真正集成到產(chǎn)品開發(fā)過程中。

4 結(jié)束語

為提高拓撲優(yōu)化結(jié)果的工程可利用程度,本文提出了面向制造的分級拓撲優(yōu)化設(shè)計方法,并以實例驗證了該法的可行性及有效性;建立了基于制造工藝約束的SIMP拓撲優(yōu)化模型;在解決拓撲優(yōu)化數(shù)值不穩(wěn)定問題上,使用了一種改進的密度和敏度混合過濾算法。該算法易于實現(xiàn),通用性較好。

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