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    sin+sin+sin≥3·的一個隔離及類似
    
                
    2010-12-01 02:10:19
    
                
    中學教研(數(shù)學) 2010年1期 
    關鍵詞：內切圓外接圓化簡
    
                    
    ●
    (天津港口管理中專 天津 300456)
    ●黃兆麟
    (天津港口管理中專 天津 300456)
    以上是《數(shù)學通報》2009年第2期刊出的1 779號問題,本文給出其一個隔離及其類似命題,供參考.
    命題1△ABC的外接圓與內切圓半徑分別為R,r,證明：
    (1)
    引理1若△ABC的外接圓與內切圓半徑分別為R,r,則
    證明設△ABC的3條邊長分別為a,b,c,則由面積公式及正弦定理,可得
    因此 2RsinB·2RsinC·sinA=
    (2RsinA+2RsinB+2RsinC)r.
    于是
    從而
    故
    引理2(Euler不等式)若△ABC的外接圓與內切圓半徑分別為R,r,則R≥2r.
    R≥2r.
    下面證明命題1.
    證明先證式(1)中的第1個不等式.
    所以
    同理可得
    以上3個式子相加化簡即得
    再利用2個引理證式(1)中的第2個不等式.
    可得
    至此,式(1)得證.
    命題2△ABC的外接圓與內切圓半徑分別為R,r,證明：
    (2)
    證明先證式(2)中的第1個不等式.
    所以
    同理可得
    以上3個式子相加化簡即得
    再證式(2)中的第2個不等式.
    可得
    于是
    至此,式(2)得證.
    

    
                        
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