三坐標測量機測頭半徑補償技術及應用

王紅敏

(山東理工大學機械工程學院，山東淄博 255049)

各種曲線與曲面形狀復雜，有時還有較高的精度要求，因此很難測量。在精密測試領域，計算機輔助測試技術(Computer Aid Test簡稱CAT)使得復雜工件的測量簡單化，不僅能完成尺寸、曲線、曲面的精密測量，還能進行形位誤差的精確評定。其最典型的代表是三坐標測量機(Coordinate Measuring Machines簡稱CMM)，它的出現(xiàn)標志著計量儀器從傳統(tǒng)的手動測量向現(xiàn)代化的自動測試技術過渡的一個里程碑。三坐標測量機通用性強，測量范圍大，性能好，效率和測量精度高，當測球與被測工件接觸并沿著被測工件的幾何型面移動時，就可獲得被測幾何型面上各測點的幾何坐標，并由計算機計算出被測的幾何尺寸和相互位置關系，完成各種復雜零件的測量，符合機械制造業(yè)中柔性自動化發(fā)展的需要。因此，它已發(fā)展成為一種大型精密測量儀器，成為與加工中心對應的測量中心［1］。本文著重進行三坐標測量機測頭半徑補償技術研究。

1 二維補償技術

三坐標測量機接觸式測頭測量曲線、曲面時，坐標測量機給出的是測頭球心的軌跡。由于測球總是有一定的半徑r，當被測點的表面法矢方向和測軸方向一致時，測點坐標和測頭中心相差一個測頭半徑r值，因此它是與被測曲線、曲面相距r的包絡面。所以應對測量數(shù)據(jù)進行測頭補償，即在用三坐標測量機測得代表球心軌跡的曲線、曲面后，需要進行測頭半徑補償，求出與球心軌跡相距r的包絡線、包絡面，從而構建出所要求的曲線、曲面［1-4］。

如圖1所示，測量點連線為平面曲線。當測頭的壓力矢和測量截面不在一個平面時，測量點連線為空間曲線。

如果被測曲面的形狀已知，并可以用一定的解析函數(shù)表示，那么就可以用解析的方法求出曲面各點的法線方向，按照求得的法線方向確定測得的球心軌跡上與之相對應的點，對它進行測頭半徑補償。

(1)常用二維補償

目前的CMM測量中，廣泛采用一種二維自動補償方法。即在測量時，將測量點和測頭半徑的關系都處理成二維情況，并將補償計算編入測量程序中，在測量時自動完成數(shù)據(jù)的測頭補償，如圖2a的斜面測量。這種補償方法簡化了補償計算，不影響測量采點和掃描速度，對一些規(guī)則形狀的表面測量更為簡便、精確。

因為測頭接觸工件時，三坐標測量機接收到的坐標值是紅寶石球頭中心點的坐標。顯然，測量軟件將自動從接觸點沿著測量逼近方向回退一個測頭半徑值。但補償后的點并非真正的接觸點P1，如圖2b所示，而是測頭沿著測量逼近方向上的點P2。這樣就會在正確的逼近方向上產(chǎn)生補償誤差δ。產(chǎn)生誤差的大小與測頭的直徑及該工件與直角坐標系中坐標軸的夾角有關，夾角越大，誤差越大［5］。

圖2b中r為測球半徑，α為測量逼近方向和正確逼近方向之間的夾角，δ為補償誤差。由圖2可知

由式(1)可以看出，測球半徑r越小，補償誤差δ也越小，因此當進行點位測量時，應選用盡可能小的測球。當角度α為0時，其補償誤差δ也為0；角度α越大，其補償誤差δ也越大，所以，測量時要盡可能使測量逼近方向與被測表面法矢相一致，以使測頭沿著被測表面的法線方向移動。下表為測球半徑r=1 mm時的二維補償誤差。

表1 測頭半徑二維補償誤差

目前CMM的測量程序中都具有進行實時補償功能，即在數(shù)據(jù)測量過程中，每次采點后，測量程序自動計算其補償量，最終記錄輸出補償過的數(shù)據(jù)點集，但多采取上述的二維補償方法。顯然，由上述誤差分析可知：經(jīng)過補償?shù)墓ぜ叽绫葘嶋H工件實體尺寸略大。如果所測表面為規(guī)則形狀，α為定值，則可以通過修正δ來加以消除；但當被測表面為自由曲面，表面是撓曲的，則隨測點位置不同?角也在改變，就必須采用三維的測頭半徑補償。

(2)三點共圓法補償

在精度要求不高、曲線比較簡單時，先測量被測表面，得到測頭中心的數(shù)據(jù)，可用作圖的方法，求得包絡線來得到實際曲線［2］。但為了提高精度，需要數(shù)學方法求得測頭中心坐標的法線方向，依此求得實際輪廓，具體過程如下：

假設在曲線、曲面上測得n個點，先取曲線上三個連續(xù)的測量點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，如圖3所示。

當三點連續(xù)曲線段很小時，可看作是一段圓弧上的點，P1、P2、P3三點均滿足圓方程，求解該方程，得到P1、P2、P3所在圓弧的圓心坐標 O(a，b)及圓半徑 R。連接P2和O，P2O即為過P2點的圓弧法線，以P2為圓心，半徑為測頭半徑r的圓與P2O交點P'2(x2，y2)，即為實際曲線上的點。再根據(jù)三個連續(xù)測點，求出P'3，以此類推，求出 P'4、P'5、…、P'n-1。三點共圓法僅適于二維狀態(tài)下的測頭半徑補償，如平面凸輪測量時可采用該方法。測頭半徑的二維補償實例如圖4。

2 三維補償技術

由以上分析可知，對一些規(guī)則形狀表面(如平面、二次曲面等)的測量，二維補償是精確的。但對于一些由自由曲面組成的復雜曲面，測量時測點位置的曲面法矢通常和測軸方向不同，此時按二維補償計算會存在誤差。在誤差不能忽略的情況下，必須考慮對測量數(shù)據(jù)進行測頭半徑的三維補償［6-7］。要實現(xiàn)測頭半徑補償，必須知道被測輪廓或者測量探頭與曲面接觸點的法矢。因此，進行測頭半徑補償?shù)暮诵膯栴}就是確定被測輪廓各點的法矢。

我們知道，自由曲面一般無法用解析函數(shù)表示，因此也難以用解析方法求其包絡面。如果在測得大量測球中心軌跡數(shù)據(jù)后，能用建模的方法得到一個近似的解析表達式逼近它、代替它，也就可以根據(jù)這一解析式求出測球中心軌跡面各點的法線方向，從而進行測球半徑補償。根據(jù)建模理論，可以用曲面擬合法實現(xiàn)自由曲面測量時測頭的三維補償。為了求測球球心軌跡的包絡面，必須知道曲面的法線方向，由測得的球心O沿著曲面的法線方向向曲面移過距離r，即可以得到測頭與被測曲面的接觸點P。很顯然，測頭半徑補償需沿三維曲面的法向進行，如圖5所示。

能夠?qū)崿F(xiàn)三維補償確定曲面法向經(jīng)常用的是微平面法、微球面法、曲面擬合法等［8-10］，簡單介紹如下：

(1)微平面法 為了確定被測曲面的法向，如圖6所示，可以在P點附近測若干個點，例如測P1、P2、P3三個點(也可以取多點)，然后通過 P1，P2，P3三點作一個平面，這一微小平面的法線即可視為曲面的法線。

實際測量中，往往采用網(wǎng)格法(三角網(wǎng)格法或多點網(wǎng)格法)，如圖7所示。為了確定P點的法線方向，這里采用方形網(wǎng)格，但不是簡單地在P點附近再去測4個點，而是利用與它相鄰近的4個網(wǎng)格點P1、P2、P3、P4，然后用最小二乘法確定它的最佳擬合平面及其法線方向。值得注意的是，在實際測量中，直接得到的并不是測量點P與 P1、P2、P3、P4的坐標，而是測量 P 點和Pi點時測端球心位置O及Oi的坐標，必須根據(jù)這些擬合平面的法向進行測頭半徑補償，才能得到P和Pi諸點坐標值。在測點的布置上，P1～P4等點的距離要適中，不能相距太遠，也不能相距太近。相距太遠，求得的平面就會偏離被測曲面的切面，不能得到準確的補償半徑；也不能相距太近，因為每一點的測量都伴隨有測量誤差，在相同的測量誤差情況下，點與點的距離越小，求出法線方向誤差越大，因此相鄰點的位置，需根據(jù)被測曲面的曲率半徑、測量誤差的大小選擇。

(2)微球面法 微球面法同微平面法相似，是對點P及其相鄰的4個網(wǎng)格節(jié)點P1、P2、P3、P4用最小二乘法擬合一個最佳微球面，同樣這個微球面為測端球心點位置Oi形成的球面，需要進行測頭半徑補償才能得到被測點的坐標。設該微球面中心為C、半徑為R，則在CO連線上，與C相距R±r的點(其中r為測球半徑)，才是經(jīng)測端半徑補償后求得的被測曲面上的點。用微球面法進行半徑補償，同樣存在各個Pi點不能相距太近或太遠，測量不確定度的大小直接影響求得的法線方向。

(3)曲面擬合法 對沒有數(shù)學函數(shù)表達式的曲面，不能用解析的方法求取自由曲面各點的法線方向。如果在測得大量測球中心軌跡數(shù)據(jù)后，用建模的方法將一個近似的解析表達式逼近它、代替它，也就可以根據(jù)這一解析式求出測球中心軌跡面各點的法線方向，從而進行測球半徑補償。

曲面擬合法屬于測量完成后事后數(shù)據(jù)處理，即根據(jù)測頭半徑、表面曲面的性質(zhì)和所采取的測量方法來計算每個點的補償量或采取其他方法處理補償問題。同微球面法一樣，計算較為煩瑣，工作量也大，適合處理復雜曲面和輪廓曲線的補償問題。核心是根據(jù)測量點云信息計算接觸點的法矢。

本實驗研究中采用微平面法補償，計算簡單，精度可靠。測量時測頭在應測點P的一個小鄰域內(nèi)，分別采集三個參考點P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)、P3(x3，y3，z3)，如圖6 所示。由于 P1、P2、P3距被測點 P 較近，故可以用該三點組成的微小平面的法矢近似作為P點的法矢(nx，ny，nz)，進行半徑補償。其計算方法為

對上述數(shù)值進行單位化處理，即可得到被測點的單位法向矢量，表面被測點的坐標 P(xP，yP，zP)為

其中O(xO，yO，zO)為球心點的坐標。這種方法適用于復雜曲面的手動和自動測量。在多點測量的情況下，可進行多點網(wǎng)格化處理。本文所采取的方法即是微平面法的多點網(wǎng)格化處理方法，該補償方法針對測點較多的情況，簡單實用，可用計算機進行數(shù)據(jù)處理，從而計算出被測點的坐標值，測量實例如圖8所示。

以意大利Coord3公司的ARES10-7-5橋式測量機為測量工具，凸輪輪廓經(jīng)三坐標測量機測量后，以文本文件格式輸出，直接讀取測量結果，可以根據(jù)需要設定直角坐標或極坐標輸出。圖9所示為得到的紅寶石測球中心點的坐標及測頭經(jīng)過補償后的被測輪廓點的坐標，以直角坐標的形式顯示，補償后的點形成的輪廓線即為凸輪的實際廓線。

將上述數(shù)據(jù)讀入 UG、PRO/E、ImageWare(Surfacer)等各種逆向工程軟件，即可快速得到凸輪的實際表面廓線。然后根據(jù)軟件的功能，可以根據(jù)需要與理論廓線進行比較，或做出所需的零件三維實體模型，快速直觀地了解產(chǎn)品的形狀，為設計制造提供可靠的理論依據(jù)。如圖10所示，是在ImageWare軟件中的凸輪輪廓線，外側(cè)的曲線為測量形成的測頭球心軌跡線，內(nèi)側(cè)的曲線為測頭直徑φ4.001 mm經(jīng)過補償以后的凸輪實際輪廓線。如果凸輪為內(nèi)凹型，則應向外側(cè)補償測頭半徑，以得到實際的凸輪輪廓線。

3 結論

本文通過對三坐標測量機測頭半徑的二維和三維補償技術的分析及應用研究，進一步闡明了測頭補償技術的核心問題與關鍵技術，具有較強的適用性，將對曲線、曲面的測量具有重要的意義。

(1)對一些規(guī)則形狀表面(如平面、二次曲面等)的測量，二維補償是精確的。但對于一些由自由曲面組成的復雜曲面，測量時測點位置的曲面法矢通常和測軸方向不同，此時按二維補償計算會存在誤差，在誤差不能忽略的情況下，必須考慮對測量數(shù)據(jù)進行測頭半徑的三維補償；

(2)要實現(xiàn)測頭半徑補償，必須知道被測輪廓或者測量探頭與曲面接觸點的法矢，因此，進行測頭半徑補償?shù)暮诵膯栴}就是確定被測輪廓各點的法矢；

(3)能夠?qū)崿F(xiàn)三維補償?shù)氖俏⑵矫娣?、微球面法、曲面擬合法、三角網(wǎng)格法等。由于曲面擬合法和三角網(wǎng)格法屬于測量完成后事后數(shù)據(jù)處理，且同微球面法一樣，計算較為煩瑣，工作量大，故適合處理復雜曲面和輪廓曲線的補償問題。其核心是根據(jù)測量點集信息計算接觸點的法矢。微平面法適用于復雜曲面的手動和自動測量，計算簡單，精度可靠，微平面法的多點網(wǎng)格化處理方法，對測點較多的情況，方法簡單實用，且可計算機進行數(shù)據(jù)處理，從而可方便快速計算出相應被測點的坐標值。

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