相似初等變換及其應(yīng)用

侯紫燕，原新鳳

(1.河南工程學(xué)院 數(shù)理科學(xué)系，河南 鄭州 451191； 2.河南財(cái)經(jīng)學(xué)院 成功學(xué)院，河南 鞏義 451200)

相似是矩陣之間的一種基本關(guān)系，在一般的線性代數(shù)和高等代數(shù)教材中都可見(jiàn)到它的定義：設(shè)A、B為數(shù)域F上兩個(gè)n階方陣，如果存在F上的n階可逆矩陣P，使B=P-1AP，則稱(chēng)B是A的相似矩陣，或稱(chēng)矩陣A與B相似.運(yùn)算P-1AP稱(chēng)作對(duì)A進(jìn)行相似變換，可逆矩陣P稱(chēng)作把A變?yōu)锽的相似變換矩陣.

顯然，已知A與P按定義立即可得到B.但相反的問(wèn)題是，如果已知n階方陣A與B相似，那么相應(yīng)的相似變換矩陣P如何來(lái)求得.在常見(jiàn)的教材中，僅就B為對(duì)角矩陣時(shí)，討論了通過(guò)求A的特征值、特征向量來(lái)獲得P的方法，但當(dāng)B中的元素排列形式較為復(fù)雜一些時(shí)，如根據(jù)初等因子和不變因子理論，在復(fù)數(shù)域上方陣A必與它的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型J相似，在任意數(shù)域F上方陣A必與它的有理標(biāo)準(zhǔn)型B相似.教材中一般依據(jù)論證結(jié)果直接給出J與B的求法，而跳過(guò)了求相似變換矩陣P的過(guò)程，這往往使得初學(xué)者對(duì)連接兩個(gè)相似矩陣的橋梁——相似變換矩陣P產(chǎn)生了莫大的懸念.因此,有必要提供一種求P的方法，以消除初學(xué)者的疑慮，還可充分利用求P的過(guò)程，提煉出其他相關(guān)的概念，幫助學(xué)生將各知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通、深刻理解、學(xué)以致用.

本文將從矩陣相似定義出發(fā)，分析利用矩陣相似初等變換求相似變換矩陣P的原理，并通過(guò)實(shí)例展示求P的具體過(guò)程，最后借助求P的過(guò)程和矩陣相似的性質(zhì)，提煉出不用求解特征方程而獲得方陣全部特征值、與不用求解線性方程組而獲得方陣全部線性無(wú)關(guān)特征向量的方法.

1 基本原理與基本運(yùn)算步驟

1.1 基本原理

矩陣的初等變換是貫穿于線性代數(shù)、高等代數(shù)教材的一個(gè)重要工具，而矩陣的初等變換與矩陣的乘法又有著密切的聯(lián)系.

引理1[1]對(duì)一個(gè)s×n矩陣A作初等行變換，就相當(dāng)于在A的左邊乘上相應(yīng)的s×s初等矩陣；對(duì)A作初等列變換，就相當(dāng)于在A的右邊乘上相應(yīng)的n×n初等矩陣.

引理2[1]n級(jí)矩陣A為可逆的充分必要條件是它能表示成一些初等矩陣的乘積.

因此，若A、B兩個(gè)n階方陣相似，則存在n階可逆方陣P使B=P-1AP，也即意味著存在一些初等矩陣P1，P2，…，Pi，使P=P1P2…Pi.初等矩陣都是可逆矩陣，且它們的逆矩陣還是初等矩陣，于是有:

B=(P1P2…Pi)-1A(P1P2…Pi)=

其中,P(i，j)-1=P(i，j)，P(i(k))-1=

P(i(k-1)),k≠0，P(i，j(k))-1=P(i，j(-k)).

其中,Q(i，j)-1=Q(i，j)，Q(i(k))-1=Q(i(k-1)),k≠0，Q(i，j(k))-1=Q(i，j(-k)).

于是，由A到B所做的相似變換運(yùn)算P-1AP相當(dāng)于對(duì)A成對(duì)地做一系列初等行變換與初等列變換.不妨稱(chēng)每做一對(duì)初等行變換與初等列變換為一次相似初等變換.

1.2 基本運(yùn)算步驟

定義(相似初等變換)

(1) 先交換A的i，j兩行得A1，再對(duì)A1交換i，j兩列得B1.

(2) 先用非0常數(shù)k乘A的第i行得A2，再用非0常數(shù)k-1乘A2的第i列得B2.

(3) 先用常數(shù)k乘A的第j行，且把乘得的結(jié)果加到A的第i行上去得A3，再用-k乘A3的第i列，且把乘得的結(jié)果加到A3的第j列上去得B3.

結(jié)論1 每一次相似初等變換都把一個(gè)n階矩陣A變換為與其相似的另一個(gè)同階矩陣B.

結(jié)論2 用n階方陣A和n階單位陣In以及n階零陣On構(gòu)造2n×2n階分塊矩陣，對(duì)其中的A施加相似初等變換，使之變換為B，則B相似與A，與此同時(shí)左下角的n階單位陣In則變換成為相似變換矩陣P，而右上角的n階單位陣相應(yīng)地變換成為P-1.

2 實(shí)例分析

2.1 求A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型J

2.2 求A的有理標(biāo)準(zhǔn)型B

2.3 兩點(diǎn)說(shuō)明

2.3.1 相似變換矩陣P不唯一

求A的有理標(biāo)準(zhǔn)型還可以通過(guò)下面的變換過(guò)程得到：

2.3.2 做第三類(lèi)相似初等變換時(shí)選常數(shù)k的方法

在使用第三類(lèi)相似變換時(shí)，其中k的選取應(yīng)該滿足下列關(guān)系:

3 用相似初等變換求矩陣特征值和特征向量

3.1 求特征值

引理3[1]相似的矩陣有相同的特征多項(xiàng)式.

根據(jù)引理3，若方陣A與C相似，則他們有相同的特征值，又由于上(下)三角矩陣的特征值即其主對(duì)角線上的元素.

結(jié)論3 求n階方陣A的特征值，可先通過(guò)相似初等變換將A變換為一個(gè)上(下)三角矩陣，則該三角矩陣的主對(duì)角元素即為A的全部特征值.

3.2 求特征向量

注意到n階方陣A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型矩陣J是上(或下)三角矩陣，于是J的主對(duì)角線上的n個(gè)元素即A的全部n個(gè)特征值，再注意到把A變換成J的相似變換矩陣P是可逆的，即P的列向量組是一線性無(wú)關(guān)向量組.據(jù)此，我們?cè)僖?階方陣A為例，不經(jīng)過(guò)求解線性方程組而找出A的全部線性無(wú)關(guān)的特征向量.

由2中計(jì)算結(jié)果，對(duì)于3階方陣A=

令P=(P1，P2，P3)，

則有A(P1，P2，P3)=(P1，P2，P3)

4 結(jié) 論

初等變換是代數(shù)研究過(guò)程中的一個(gè)重要工具，相似是矩陣間的一種基本關(guān)系，求矩陣的特征值特征向量是線性代數(shù)的一項(xiàng)基本要求.本文嘗試在講清楚各自基本概念與基本方法的基礎(chǔ)上，恰當(dāng)調(diào)動(dòng)概念之間的聯(lián)系，給出了求得初等變換陣的一種一般的方法，有助于在線性代數(shù)學(xué)習(xí)中打通知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系，得到對(duì)初等相似變換的深刻理解.

參考文獻(xiàn)：

[1] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)[M].3版.北京:高等教育出版社，1988.

[2] 趙樹(shù)嫄. 線性代數(shù)[M].4版.北京:中國(guó)人民大學(xué)出版社，2008.