關(guān)于限制廣義逆的通式

何楚寧

(湖南師范大學數(shù)學與計算機科學學院，中國 長沙 410081)

給定A∈Cm×n,下列矩陣方程：

(1)AGA=A，(2)GAG=G，(3)(AG)*=AG，(4)(GA)*=GA

稱為penrose方程.如果G滿足上述方程(i),(j),…(k),則稱G為A的(i,j,…,k)逆或penrose型廣義型，簡稱廣義逆，并記為A(ij…k).其全體記為A{i,j,…,k}.{1234}逆常記為A+，叫做Mooer-penrose逆.廣義逆矩陣的理論在數(shù)學的許多分支及應用科學中發(fā)揮了廣泛的重要作用[1-6]；penrose型廣義逆有15類，其中除A+外，其余均不唯一.研究廣義逆的各種表示或通式，一直是廣義逆研究的重要課題之一[1-15].本文將研究在某種限制條件下的廣義逆通式問題，其具體內(nèi)容是：

設(shè)E∈Cp×n,F∈Cp×m.S={X∈Cn×m|EX=F}.令A{i,j,…,E,F}=A{i,j,…,k}∩S,A{i,j,…,E,F}中元素記為A(ij…EF),叫做A的滿足限制條件S的廣義逆，簡稱限制廣義逆.本文首先討論5類限制廣義逆A{1，E，F(xiàn)}，A{3，E，F(xiàn)}，A{4，E，F(xiàn)}，A{1，3，E，F(xiàn)}及A{1，4，E，F(xiàn)}存在的充分必要條件以及它們的通式，然后給出了限制廣義逆A{1,2,E,F}存在的兩個充分條件及其通式.因為本文所給出的這些通式，是在未借助矩陣的任何分解的前提下得到的，因此，它們將在宏觀上研究矩陣方程的理論和應用問題方面發(fā)揮重要作用.

引理1[1-4]設(shè)A∈Cm×n,B∈Cp×q,F∈Cm×q,則矩陣方程AXB=F有解X∈Cn×p的充要條件是AA-FB-B=F；當方程有解時，其通解為：X=A-FB-+U-A-AUBB-，其中U∈Cn×m.

引理2[1-4]設(shè)G∈A{1,3},則G=A(13)+(I-A-A)U,U∈Cn×m.特別地，A{1，3}的通式亦為G=A++(I-A+A)U，U∈Cn×m.

推論1對任意G1,G2∈A{1,3},有AG1=AG2.

引理3[1-2]設(shè)G∈A{1,4},則G=A(14)+U(I-AA-),U∈Cn×m.特別地，A{1，4}的通式亦為G=A++U(I-AA+)，U∈Cn×m.

推論2對任意G1,G2∈A{1,4},有G1A=G2A.

引理4A{3}的通式為G=A+AgA++(I-A+A)U,g∈Hm,U∈Cn×m.

證將文[15]定理1(3)式中的A-取為A+，y取為(I-A+A)U，g取為-g即得本引理的結(jié)論.

引理5A{4}的通式為G=A+gAA++U(I-AA+),g∈Hm,U∈Cn×m.

證將文[15]定理1(4)式中的A-取為A+，z取為U(I-AA+)，g取為-g即得本引理的結(jié)論.

主要結(jié)果

定理1A{1，E，F(xiàn)}非空的充要條件是

1)EE-F=F；2)A(I-E-E)(A(I-E-E))-(I-AE-F)A=(I-AE-F)A.

并且在條件成立時，A{1，E，F(xiàn)}有一個元素

x*=E+F+(I-E+E)P+(I-AE+F)AA+.

(1)

其元素的通式為

G=x0+(I-E-E)(y-P-PyAA-),

(2)

其中y∈Cn×m,P=A(1-E-E),x0是A{1,E,F}的某個固定的元素.

證設(shè)A{1，E，F(xiàn)}非空.即矩陣方程AxA=A與Ex=F有公共解G，由引理1，條件1)成立，并且G可表為

G=E-F+(I-E-E)U,

(3)

其中U∈Cn×m.令P=A(I-E-E)，將(3)式代入penrose方程(1)，整理得

PUA=A-AE-FA.

(4)

因(4)式有解，則由引理1，條件2)成立，必要性得證.并且從(4)解出U=P-(I-AE-F)AA-+y-P-PyAA-,代入(3)整理得

G=E-F+(I-E-E)P-(I-AE-F)AA-+(I-E-E)(y-P-PyAA-).

(5)

(5)式中令x0=E-F+(I-E-E)P-(I-AE-F)AA-得(2)式，可以驗證x0∈A{1,E,F}.反之，當條件1)，2)成立時，直接可以推得(1)式中x*∈A{1,E,F}.故充分性得證.注意到，對任意G0∈A{1,E,F},E(G0-x0)=0,P(G0-x0)A=A(G0-x0)A-AE-E(G0-x0)A=0,因此G0可表為(2)中取y=G0-x0的形式，從而(2)是A{1，E，F(xiàn)}通式.定理得證.

定理2A{1，3，E，F(xiàn)}非空的充要條件是對某個A-和A(13)，有

1)EE-F=F;3)E(I-A-A)(E(I-A-A))-(F-EA(13))=(F-EA(13)).

并且條件成立時，A{1，3，E，F(xiàn)}有一個元素

x*=A++(I-A+A)Q+(F-EA+).

(6)

其元素的通式為

G=x0+(I-A(13)A)(I-Q-Q)y,

(7)

其中y∈Cn×m,x0是A{1，3，E，F(xiàn)}的某個固定的元素，Q=E(I-A-A).

證設(shè)A{1，3，E，F(xiàn)}非空，即矩陣方程AxA=A,(Ax)*=Ax與Ex=F有公共解G，由引理2，G=A(13)+(I-A-A)U，并且

E(I-A-A)U=F-EA(13).

(8)

因(8)式有解，則由引理1，條件3)成立，必要性得證.令Q=E(I-A-A)，從(8)式中解出U=Q-(F-EA(13))+(I-Q-Q)y,

G=A(13)+(I-A-A)Q-(F-EA(13))+(I-A-A)(I-Q-Q)y.

(9)

(9)式中令x0=A(13)+(I-A-A)Q-(F-EA(13))得(7)式.當條件1)，2)成立時，容易驗證x0∈A{1,3,E,F},而(6)中x*是x0的特殊情況，故x*是A{1，3，E，F(xiàn)}的一個元素，故充分性得證.又對任意G0∈A{1,3,E,F},由E(G0-x0)=0和推論1，能推得G0可以表為(7)式取y=G0-x0的形式，從而(7)是A{1，3，E，F(xiàn)}通式.定理得證.

定理3A{1，4，E，F(xiàn)}非空的充要條件是對某個A(14)，有

1)EE-F=F;4)EE-(F-EA(14))(I-AA(14))=(F-EA(14)).

并且條件成立時，A{1，4，E，F(xiàn)}有形如

G=A(14)+E-(F-EA(14))(I-AA(14))

的元素，特別有一個元素

x*=A++E+(F-EA+)(I-AA+).

(10)

并且A{1，4，E，F(xiàn)}元素的通式為

G=x0+(I-E-E)y(I-AA(14)),

(11)

其中y∈Cn×m,x0是A{1，4，E，F(xiàn)}的某個固定的元素.

證必要性的證明過程與定理3的類似.充分性是因為當條件1)，4)成立時，直接可以驗證(10)中x*∈A{1,4,E,F}.最后，利用推論2可得，對任意G0∈A{1,4,E,F},G0可表為(11)中取y=G0-x0的形式，從而(11)是A{1，4，E，F(xiàn)}通式.定理得證.

定理4令Q=E(I-A+A)，則A{3，E，F(xiàn)}非空的充要條件是

1)EE-F=F;5)存在g0∈Hm,使得QQ-(F-EA+g0AA+)=F-EA+g0AA+.

并且條件成立時，A{3，E，F(xiàn)}有一個元素

x*=A+g0AA++(I-A+A)Q-(F-EA+g0AA+).

(12)

其元素的通式為

G=x0+(I-A+A)(I-Q-Q)y，

(13)

其中y∈Cn×m,x0是A{3，E，F(xiàn)}的某個固定的元素.

證設(shè)A{3，E，F(xiàn)}非空，根據(jù)引理4，存在G0=A+g0AA++(I-A+A)U0,g0∈Hm,U0∈Cn×m,使得EG0=F,即有QU0=F-EA+g0AA+，由引理1，得條件5). 反之，當條件1)，5)成立時，容易驗證(12)式中的x*∈A{3,E,F},(13)式中的G∈A{3,E,F},并且，對任意G0∈A{3,E,F},G0可表為(13)式中y取G0-x0的形式.證畢.

推論3對任意g∈Hm,令Gg=A+gAA++(I-A+A)Q-(F-EA+AA+),則當條件EE-F=F和Q-QE=E成立時，有Gg∈A{3,E,F}.

證因為由EE-F=F和Q-QE=E可推出Q-QF=F，所以對任意g∈Hm,有QQ-(F-EA+gAA+)=F-EA+gAA+,由定理4，結(jié)論成立.證畢.

定理5A{4，E，F(xiàn)}非空的充要條件是

1)EE-F=F；6)存在g0∈Hm,使得FAA+=EA+Ag0A+.

并且條件成立時，A{4，E，F(xiàn)}有一個元素x*=A+Ag0A++E-F(I-AA+).其元素的通式為

G=x0+(I-E-E)y(I-AA+),

其中y∈Cn×m,x0是A{4，E，F(xiàn)}的某個固定元素.

證若有G0∈A{4,E,F},由引理5，則存在g0∈Hm,U0∈Cn×m,G0=A+g0AA++U0(I-AA+),滿足EG0=EA+g0AA++EU0(I-AA+)=F,于是EE-(F-EA+g0AA+)(I-AA+)=F-EA+g0AA+,即EE-F(I-AA+)=F-EA+g0AA+，從而FAA+=EA+Ag0A+.必要性得證.后續(xù)證明與定理4的證明類似.

下面給出關(guān)于A{1，2，E，F(xiàn)}的解存在的兩個充分條件.

定理6令Q=E(I-A+A)，則當條件EE-F=F和QQ-(FAA+-EA+)=F-EA+成立時，A{1，2，E，F(xiàn)}有解x*=A++(I-A+A)Q-(FAA+-EA+).

證略.

定理7令Q=E(I-A+A)，P=I-AA+.則當EE-F=F并且條件

7)QQ-(FAA+-EA+)=F-EA+；8)F∈(R(I-AA+))⊥

成立時，A{1，2，E，F(xiàn)}的通式為

G=A++A+WP+(I-A+A)Q-(FAA+-EA+)(I+WP)+(I-A+A)(I-Q-Q)UA+(I+WP),

(14)

其中U∈Cn×n,W∈Cm×m.

證設(shè)G由(14)式給出，不難驗證則GAG=G，AGA=A；又利用條件7)，可推得EG=F+FW(I-AA+)，再利用條件8)知FW(I-AA+)=F((I-AA+)W*)*=0,所以EG=F，于是G∈A{1,2,E,F}.反之，對任意G0∈A{1,2,E,F},經(jīng)過推導可知，G0能表為(14)式右邊取W=AG0，U=G0A的形式，故(14)是A{1，2，E，F(xiàn)}的通式.

參考文獻：

[1] BEN-ISRAEL A, GREVILLE I N E.Generalized inverses, theory and applications[M]. 2nd Edition.New York:Springer Verlag, 2003.

[2] WANG G, WEI Y, QIAO S. Generalized inverses, theory and comput[M].Beijing:Science Press,2004.

[3] 王國榮.矩陣與算子廣義逆[M].北京：科學出版社，1998.

[4] 何旭初，孫文瑜.廣義逆矩陣引論[M].南京：江蘇科學技術(shù)出版社，1990.

[5] RAO C R, MITRA S K. Generalized inverses of matrices and its applications[M]. New York:Wiley, 1971.

[6] WEI Y M. A characterization and representation of the generalized inverse and its application[J]. Linear Agebra Appl, 1998,280:87-96.

[8]MIAOJM.RepresentionsforweighedMoore-Penroseinverseofapartitionedmatrix[J].JCM, 1989,(7):320-323.

[9] 孫文瑜.關(guān)于廣義逆的通式[J].南京大學學報：自然科學版，1984,(3):441-446.

[10] 莊瓦金.任意體上矩陣P. Moore-Penrose逆的某些顯公式[J].數(shù)學季刊，1988，(3)：1-6.

[11] 莊瓦金.四元數(shù)矩陣的加正定權(quán)的Moore-Penrose型廣義逆的顯公式[J].數(shù)學的認識與實踐，1988，(3)：68-74.

[12] 何楚寧.復矩陣的幾種Penrose逆的通式[J].曲阜師范大學學報：自然科學版，1996，(1)：17-20.

[13] 何楚寧.實對稱矩陣在相合分解下的Moore-Penrose型廣義逆的通式[J].高等學校計算數(shù)學學報，2006，(9)：236-242.

[14] 何楚寧.矩陣在置換分塊下的廣義逆通式[J].湖南師范大學自然科學學報，2006，29(12)：1-5.

[15] 何楚寧.廣義逆A3和A4的通式[J].湖南工業(yè)大學學報，2008，22(5)：5-7.