馬氏環(huán)境中馬氏鏈函數(shù)的極限定理

陳芬，萬成高

(1.江西大宇職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電系，江西 南昌 330004；2.湖北大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430062)

20世紀(jì)80年代，R Cogburn等人開始研究隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈一般理論，取得了一系列深刻的結(jié)果[1-3].S Orey[4]在R Cogburn等人的研究基礎(chǔ)上對隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈進(jìn)行了深入的研究，并提出了一系列的問題，引起了眾多概率論學(xué)者的廣泛關(guān)注，使得隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈一般理論的研究成為國際上又一新的研究方向.國內(nèi)學(xué)者對這一領(lǐng)域進(jìn)行了深入的研究[5-7].大家知道，極限定理一直是經(jīng)典馬氏鏈理論研究中的熱門課題，取得的結(jié)果已十分深入.本文研究了馬氏環(huán)境中馬氏鏈函數(shù)的極限定理，給出了馬氏環(huán)境中馬氏鏈函數(shù)強大數(shù)定律成立的一系列充分條件.

如果對任意A∈A,n≥0有

(1)

(2)

(3)

其中1≤p≤2,則對任意k≥1，有

(4)

及

(5)

這里我們約定：對任意的k≥1,X-k≡0，ξ-k≡0.

(6)

(7)

下面再考慮k>1的情形.由(Xn,ξn)∶n≥0的馬氏性易知，對任意的n=1,2,3,…,k-1,(Xmk+n,ξmk+n)∶m≥0是馬氏鏈，由(3)式顯然有

因此對任意的n=1,2,3,…,k-1,有

說明 推論1和推論2的證明類似于文獻(xiàn)[8]，故略.

定理2 在定理1的條件下，若存在C>0，對任意的n≥0,都有n/an≤C,且

(8)

則

(9)

定理2的證明由于定理1的條件滿足，從而(5)式成立.又由于

因此欲證(9)式成立，只需證

(10)

由于(Xn,ξn)∶n≥0是一步轉(zhuǎn)移概率為Q(x,θ;A×B)=K(θ,B)P(ξ;x,A)的馬氏鏈，故有

上述第一個等式是由于m

E(fm(Xm)|Xm-k,ξm-k)=E(fm(Xm)) a.s.,

從而由(8)式知(10)式成立，繼而(9)式成立.

注意 在推論1或推論2的條件下，若(8)式成立，則(9)式仍成立.

參考文獻(xiàn)：

[1] Clgburn R.The ergodic theory of Markov chains in random environments[J].Z Wahrsch Verw Gebiete,1993,66(2):109-128.

[2] Cogburn R.Markov chains in random environments: the case of Markovian environment[J].Ann Prob,1980,8(3):908-916.

[3] Cogburn R.On the central limit theorem for Markov chains in random environments[J].Ann Prob,1991,19(2):587-604.

[4] Orey S.Markov chains with stochastically stationary trajsition probabilities[J].Ann Prob,1999,19(4):907-928.

[5] 王漢興，戴永隆.馬氏環(huán)境中馬氏鏈的Poisson極限律[J].數(shù)學(xué)學(xué)報，1997，40(2)：265-270.

[6] 郭明樂.隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈的強大數(shù)定律[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計，2004，12(2)：154-160.

[7] 李應(yīng)求.關(guān)于馬氏環(huán)境中馬氏鏈的幾點注記[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展，1999，28(4)：358-360.

[8] 萬成高.鞅的極限理論[M].北京：科學(xué)出版社，2002.