論二次分式函數(shù)的值域

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(杭州市第九中學(xué) 浙江杭州 310020)

論二次分式函數(shù)的值域

●龔雷陳偉

(杭州市第九中學(xué) 浙江杭州 310020)

對(duì)于二次分式函數(shù)的值域問(wèn)題，比較流行的解法是判別式法，但此法并不可靠．這一點(diǎn)已有不少文獻(xiàn)指出，但這些文獻(xiàn)基本上只是面向中學(xué)生的解題易錯(cuò)點(diǎn)作出提醒，未從解法的理論依據(jù)進(jìn)行研究．本文擬對(duì)此作個(gè)補(bǔ)遺，同時(shí)給出二次分式函數(shù)值域問(wèn)題的另一種新的解決思路．

1 判別式法的理論依據(jù)

判別式法實(shí)質(zhì)上就是運(yùn)用函數(shù)與方程的思想以及化歸思想，把函數(shù)值域問(wèn)題化歸為二次方程的根的討論問(wèn)題．為了看清判別式法的理論依據(jù)，我們把這一化歸過(guò)程細(xì)化為以下問(wèn)題鏈：

(3)若關(guān)于x的方程

(a2y-a1)x2+(b2y-b1)x+(c2y-c1)=0

(1)

至少有1個(gè)實(shí)根，求y的取值范圍．

問(wèn)題(1)是原問(wèn)題，將問(wèn)題(1)化歸為問(wèn)題(2)的理論依據(jù)是函數(shù)的概念，這一過(guò)程不存在什么問(wèn)題，這是一個(gè)等價(jià)轉(zhuǎn)換；從問(wèn)題(2)轉(zhuǎn)化到問(wèn)題(3)是一個(gè)方程同解變形過(guò)程，根據(jù)方程同解理論可知，這里去分母有可能產(chǎn)生增根，因此這在理論上講是一個(gè)不等價(jià)轉(zhuǎn)換，很多人以為判別式法的問(wèn)題主要源自于這個(gè)不等價(jià)轉(zhuǎn)換．但追問(wèn)一下“何時(shí)產(chǎn)生增根”就不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)分子分母可約時(shí)有增根．而此時(shí)這個(gè)函數(shù)可以化簡(jiǎn)為一次分式函數(shù)甚至常函數(shù)．因此對(duì)于分子分母不可約的一般情況而言，這個(gè)不等價(jià)轉(zhuǎn)換并不會(huì)影響結(jié)論．

2 判別式法的局限性

從以上討論可以看出，只要在問(wèn)題(3)中不忘討論方程(1)的二次項(xiàng)系數(shù)是否為0，用判別式法求二次分式函數(shù)的值域并不存在太大的問(wèn)題．

事實(shí)上，判別式法的局限性主要在還于當(dāng)函數(shù)定義域不是自然定義域時(shí)，問(wèn)題(2)、(3)中的“至少有1個(gè)實(shí)根”相應(yīng)改成“在規(guī)定的定義域內(nèi)至少有1個(gè)實(shí)根”，此時(shí)問(wèn)題化歸為二次方程根的分布問(wèn)題，要分“2個(gè)根均在定義域內(nèi)(包括重根)”和“1個(gè)根在定義域內(nèi)1個(gè)根在定義域外”這2種情況討論，再加上二次項(xiàng)系數(shù)是否為0的討論，共需討論3種情況.如例1所示：

解原問(wèn)題等價(jià)于：關(guān)于x的方程

在區(qū)間[0，1]上至少有1個(gè)實(shí)根，求y的取值范圍.

(1)當(dāng)y=1時(shí)，x=-2?[0，1]；

(2)當(dāng)y≠1時(shí)，Δ=-3y2-4y+8.記

f(x)=(y-1)x2+(y-2)x+(y+1)，

得

①如果方程(2)有2個(gè)實(shí)根(包括重根)在區(qū)間[0,1]內(nèi)，那么

即

②如果方程(2)有1個(gè)實(shí)根在區(qū)間[0，1]內(nèi)，另1個(gè)實(shí)根在區(qū)間[0，1]外，那么

f(0)f(1)≤0,

即

根據(jù)筆者的經(jīng)驗(yàn)，能熟練掌握這種討論并且運(yùn)算不出錯(cuò)的學(xué)生很少．這樣，一個(gè)原本不是很難的問(wèn)題被化歸為大部分高中學(xué)生不易解決的難題,因此這個(gè)解題思路方向并不能令人滿意．

3 另一種解題思路

例1另解由0≤x≤1知

x-2<0，

從而

(3)

1≤|x-2|≤2，

從而

此即為所求的函數(shù)值域．

在這一解法中，式(3)的代數(shù)變形能力要求稍高，如果遵循以下的問(wèn)題化歸思路，那么就會(huì)有章可循，十分自然了.

4 求二次分式函數(shù)值域的化歸思路

(1)當(dāng)a2=c2=0，b2≠0時(shí)，

當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí),等號(hào)成立,且當(dāng)x無(wú)限接近于0時(shí)，y無(wú)限增大，故y∈(1,+∞)．

這是二次分式函數(shù)值域問(wèn)題的最簡(jiǎn)單、基本的情形.以下討論顯示，除一些平凡的或者退化的情形外，其他情形均可化歸為此類情形.

解(1)當(dāng)x=0時(shí)，y=0；

(2)當(dāng)x∈[-2,0)∪(0,2]時(shí)，由

得

從而

(3)當(dāng)a2=0，b2≠0，c2≠0時(shí)，作變量代換u=b2x+c2，問(wèn)題化歸為情形(1)．

解令x+4=t，則t∈[4,6]，于是

(4)當(dāng)a1=0，b1≠0，c1≠0時(shí)，作變量代換u=b1x+c1，問(wèn)題化歸為情形(2)．

解令x-3=t，則t∈[-3,-1]，于是

從而

(5)當(dāng)a1a2≠0時(shí)，作以下變形：

則問(wèn)題可化歸為情形(4)．例1就是這類情形的一個(gè)實(shí)例．

以上忽略了一些平凡和退化情形的討論，最后對(duì)此作一個(gè)交代：

(6)當(dāng)分子分母可約，或a1,a2同時(shí)為0時(shí)，函數(shù)可化為(或退化為)一次分式函數(shù)或常函數(shù)，一次分式函數(shù)均可利用圖像平移化歸為反比例函數(shù).

(7)當(dāng)a2=b2=0時(shí)，函數(shù)退化為二次函數(shù)，當(dāng)a1=b1=0時(shí)，函數(shù)是二次函數(shù)與反比例函數(shù)的復(fù)合.

限于篇幅，對(duì)以上幾種平凡和退化的情形不再舉例說(shuō)明．