四面體中的Cordon不等式

● (沙坡頭區(qū)宣和鎮(zhèn)洪學(xué)校 夏中衛(wèi) 755006)

四面體中的Cordon不等式

●張寧(沙坡頭區(qū)宣和鎮(zhèn)張洪學(xué)校 寧夏中衛(wèi) 755006)

1967年,V.O.Cordon建立了涉及三角形高與邊長之間的如下不等式[1]:

本文將三角形類比到四面體，得到下述定理.

定理1設(shè)四面體A1A2A3A4的側(cè)面面積分別為S1,S2,S3,S4，相應(yīng)面上的高分別為h1,h2,h3,h4，外接球和內(nèi)切球半徑分別為R,r,則

當且僅當四面體為正四面體A1A2A3A4時,等號成立.

定理的證明需要用到以下2個引理.

引理1[2]在四面體A1A2A3A4中，

引理2設(shè)四面體A1A2A3A4的體積為V，則

即

由文獻[3],可知

從而由式(4)及式(5),可得

當四面體A1A2A3A4為正四面體時，R=3r.

由此可得如下推論1.

推論1在正四面體中，

定理2設(shè)四面體A1A2A3A4的側(cè)面面積分別為S1,S2,S3,S4，相應(yīng)面上的高分別為h1,h2,h3,h4，外接球和內(nèi)切球半徑分別為R,r,則

其中∏表示循環(huán)積.當且僅當四面體A1A2A3A4為正四面體時,等號成立.

由定理1的證明可知

(8)

因此

結(jié)合引理1知

結(jié)合引理2易得

定理證畢.

當四面體A1A2A3A4為正四面體時，R=3r.

由此可得如下推論2.

推論2設(shè)正四面體A1A2A3A4的四面面積分別為S1,S2,S3,S4，相應(yīng)面上的高分別為h1,h2,h3,h4，外接球半徑為R,則

[1] 匡繼昌.常用不等式[M].3版.濟南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2004:220.

[2] 楊路.來自四面體的挑戰(zhàn)[J].中學(xué)生數(shù)學(xué),1987(1)：28.

[3] 孔令恩.三角形到四面體的又一個等價變換[J].數(shù)學(xué)通訊,1996(9):32-34.

[4] 陳計，王振.Neubery-Pedoe不等式的四面體推廣[J].數(shù)學(xué)通訊,1994(2)：22.