新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的題型設(shè)計

● (富陽中學(xué) 浙江富陽 311400)

新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的題型設(shè)計

●何文明(富陽中學(xué) 浙江富陽 311400)

1 數(shù)學(xué)試卷中的題型

在1978年恢復(fù)高考開始的5年里，數(shù)學(xué)試卷只有解答題(包括證明題和作圖題).1981年和1982年都出現(xiàn)了填表題，1983年出現(xiàn)了5道選擇題.1984年起，除選擇題外，出現(xiàn)了只要求寫結(jié)果的題型，實質(zhì)即為填空題(直到1989年才正式命名為填空題)．其后二十多年來，這3種題型一直是高考數(shù)學(xué)試卷的命題形式，只是題量發(fā)生了變化．

從2001年起大規(guī)模的自主命題開始，高考卷變得豐富多彩，但題型始終沒有跳出選擇題、填空題、解答題(簡稱“3種題型”，下同)的圈子．縱觀各地會考、階段考試等，也幾乎都采用了這3種題型，各種教輔也不例外．

從應(yīng)試的角度而言，考試必須便于實施和評判，具備一定的區(qū)分度以體現(xiàn)選拔功能．3種經(jīng)典題型歷經(jīng)多年，漸趨穩(wěn)定的現(xiàn)狀說明它們既適合選拔的要求，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的學(xué)科特點．首先，數(shù)學(xué)題答案與思路通常具有確定性，單選題與填空題容易命制，也能夠檢驗考生的知識、思維和能力，并且便于評卷量分；其次，問題作為數(shù)學(xué)的心臟，它的解決永遠不是僅憑直覺，總是可以過程化、具體化、精確化，因此解答題是最具原生態(tài)的數(shù)學(xué)題，最容易考查考生的實際水平，雖然存在一題多解，但解法大多有限，仍便于按步給分．

在數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中，是否也應(yīng)該嚴(yán)格按照這3種題型進行呢？

2 數(shù)學(xué)教學(xué)中的題型

高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是數(shù)學(xué)的再組織、再創(chuàng)造.對學(xué)生而言，則是新知識體系的建構(gòu)過程．從這個角度而言，新課標(biāo)課本以問題為線索，以問題的解決為主要形式，其模式已經(jīng)超脫于單純的解答題范疇，成為廣義的題型．而教師通過對問題的分解、重組、復(fù)述、引申及鋪設(shè)臺階，將其轉(zhuǎn)化為易于操作的一個個子問題，每一步幾乎都是具體的解答題，這就在課堂中再現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、發(fā)展的虛擬情境．

知識的鞏固、應(yīng)用則基本依賴?yán)}和練習(xí)，課本的例題也幾乎都以解答題形式展現(xiàn)，課后習(xí)題則多以問答題、解答題、實踐題形式出現(xiàn)．在實際操作中，教師往往針對概念的理解、知識的澄清、公式的熟悉，設(shè)置更多的即興訓(xùn)練或變式練習(xí)，但題型一般都不外乎3種題型．這是數(shù)學(xué)概念課型的常規(guī)處理，原本無可厚非，但是課堂中的題型設(shè)置是否一定要與試題相匹配呢？在基本題型之外，是否可能有更適合的題型，以展示知識特點、暴露學(xué)生疑問、分散教學(xué)難點？鑒于此，筆者產(chǎn)生了如下一些設(shè)想．

2.1 設(shè)計判斷題，暴露理解誤區(qū)

在必修1方程的根與函數(shù)的零點這節(jié)課中，由于函數(shù)零點的存在性定理的條件“函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)<0”是結(jié)論“f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在零點”的充分不必要條件，其逆命題、否命題均不成立，定理對零點個數(shù)的確定也不支持，這都是學(xué)生易誤解誤用之處．因此在定理獲得之后，可以設(shè)計如下判斷題：

例1判斷下列結(jié)論是否正確，若不正確，請使用函數(shù)圖像舉出反例：

(1)已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)<0，則f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有且僅有1個零點．

(×)

(2)已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)≥0，則f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)沒有零點．

(×)

(3)已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]滿足f(a)·f(b)<0，則f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在零點．

(×)

上述判斷題的解答，讓學(xué)生有了及時直面誤解的機會，通過反例，從側(cè)面、反面更深入地理解了定理的條件、結(jié)論及適用范圍．若設(shè)置成單選題，將定理本身作為唯一的正確選項，學(xué)生在選出正確答案后，容易安于現(xiàn)狀，未必愿意深究，因此從認知沖突而言，判斷題可能更有效．

2.2 設(shè)計連線題，梳理知識關(guān)聯(lián)

在選修2-1或1-1常用邏輯用語中關(guān)于命題的否定形式，可以設(shè)計如下的連線題：

例2將下列左右2側(cè)互為否定的語句用線段連結(jié)：

連線題實質(zhì)上是多題干對統(tǒng)一題支的選擇題，但形式簡潔，起到了濃縮的作用.一道連線題可以達到多道選擇題的功效．相對而言，連線題的解答具有更廣的思維開放性，要求嚴(yán)格界定概念間的關(guān)系與區(qū)別，容易檢驗出概念理解的透徹程度．

2.3 設(shè)計糾錯題，杜絕解題失誤

在必修3基本算法語句一課中，學(xué)生首次接觸編程語言，缺乏感性認識，對其“錙銖必較”的特點不甚明了，很容易出現(xiàn)隨意現(xiàn)象．為此，教師現(xiàn)場演示了一些程序出錯的例子之后，可以設(shè)計如下的改錯題：

例3下列語句在輸入或執(zhí)行時都被提示出錯，請糾正：

(1)A=B=50; (2)x=1，y=2，z=3;

(3)INPUTx=3; (4)PRINTA+B=C;

糾錯題是判斷題的延伸，常搭配使用.但對學(xué)生的要求更明確，凡是涉及正誤判別，或容易發(fā)生主觀失誤的內(nèi)容，都可以編制，使用尤為廣泛．

2.4 設(shè)計多選題，防止思維漏洞

圖1

在必修5立體幾何初步學(xué)習(xí)之后，鑒于判定定理和性質(zhì)定理較多，可以設(shè)計如下不定項選擇題，起到復(fù)習(xí)整理的作用：

例4如圖1所示，給定下列關(guān)系，請選擇其中盡可能少的作為條件，證明所給的各個結(jié)論：

①α∥β；②a∥β；③c∥β；④α⊥γ；⑤β⊥γ；⑥l⊥α；⑦l⊥β；⑧l(xiāng)⊥a；⑨l⊥c；⑩a?α；b?β；c?α；α∩γ=a；β∩γ=b．

(1)要證明α∥β，可以選擇條件________；

(2)要證明c∥β，可以選擇條件________；

(3)要證明a∥b，可以選擇條件________；

(4)要證明α⊥γ，可以選擇條件________；

(5)要證明l⊥α，可以選擇條件________；

(6)要證明l⊥c，可以選擇條件________．

通過一道多選題，簡單復(fù)習(xí)了多種定理，有利于形成對比，也強調(diào)了a?α，c?α等條件的重要性，防止思維漏洞．這樣的知識整理，得力于多選題本身的開放性，比單純的羅列、實際的舉例所激發(fā)的思維強度大，并且有效．

2.5 設(shè)計例舉題，鼓勵發(fā)散思維

函數(shù)的綜合應(yīng)用中抽象函數(shù)是一類無法回避的問題，為使之具體化，需要學(xué)生儲備一定的圖像知識，培養(yǎng)聯(lián)想、創(chuàng)造能力．

例5分別用圖像列舉出滿足下面各組條件的函數(shù)：

(1)在[0，+∞)上單調(diào)遞增的偶函數(shù)；

(2)圖像關(guān)于直線x=1對稱，在[0，1]和[2，+∞)上單調(diào)遞增的函數(shù)；

(3)圖像連續(xù)，滿足f(0)·f(4)<0且在(0，4)內(nèi)有3個零點的函數(shù)；

(4)滿足f(0)·f(4)<0但在(0，4)內(nèi)不存在零點的函數(shù)；

(5)開口向上，有一正一負2個零點的二次函數(shù)；

(6)開口向上，在區(qū)間[1，2]上恰有1個零點的二次函數(shù)；

(7)開口向下，在區(qū)間[1，2]上恒大于0的二次函數(shù)；

(8)開口向上，在區(qū)間[1，2]上恒大于0的二次函數(shù)；

(9)開口向下，在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增的二次函數(shù)；

(10)開口向上，在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增的二次函數(shù)．

本例通過學(xué)生板書、評議、補充，用直白的題意讓學(xué)生的思維得到發(fā)散的機會，既能促進對函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、零點、二分法等的感性認識，又為解決抽象函數(shù)問題、二次函數(shù)含參問題打下基礎(chǔ)，防止這些題目的隱性條件造成的思維阻隔，讓學(xué)生在輕松環(huán)境下培養(yǎng)“以形促數(shù)”的思維習(xí)慣．

2.6 設(shè)計辯論題，引發(fā)深入討論

在選修2-3排列組合中，平均分配問題是一個易錯點，與其教師苦口婆心地教導(dǎo)，不如將2種觀點正面擺出，讓學(xué)生議一議．

例6將a，b，c，d，e，f這6本書平均分給甲、乙、丙3個人，有多少種不同的分法？

像這樣的問題組織形式，將認知沖突擺在學(xué)生面前，即使無法真的形成激烈的辯論，也至少可以引起學(xué)生的興趣、加深學(xué)生的印象．教師視學(xué)生情況，完全可以改變數(shù)字的大小，降低難度．討論之后，適時變式為不平均分配及部分平均分配，擴大勝利果實．

2.7 編寫應(yīng)用題，實踐“學(xué)以致用”

“學(xué)習(xí)有用的數(shù)學(xué)”和“養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的習(xí)慣”是新課標(biāo)的理念．能夠正確分析題意、建立模型、解數(shù)學(xué)模型、闡釋所得結(jié)果的實際意義，這就是實際應(yīng)用能力．但將一個具體的問題通過簡潔而嚴(yán)密的語言整理成一個應(yīng)用題，則是更高的要求，也才真正能夠體現(xiàn)“用數(shù)學(xué)”．

受時間、設(shè)備的限制，當(dāng)前高中的數(shù)學(xué)教學(xué)依然沒有太多機會走出課堂，廣泛實踐．研究性課題的開展畢竟在時間和參與面上都有較大的限制，不能把“用數(shù)學(xué)”和錘煉數(shù)學(xué)語言完全寄希望于偶爾的實踐，而忽視了課堂這個主要的學(xué)習(xí)場所．那么在課堂這樣一個“紙上談兵”式的環(huán)境中，怎樣才能營造真實、自然的情境，實現(xiàn)“運籌帷幄，決勝千里”？我們作了如下嘗試：

準(zhǔn)備一只暗箱，其中放置3只白色乒乓球，2只黃色乒乓球，請2名同學(xué)按規(guī)定次序輪流取球，每次取1只，且不放回，第1個摸到黃球者勝．決出勝負之后將球放回，開始新的一輪．在黑板上記錄2人累計獲勝的次數(shù),一共進行100次.最終結(jié)果顯示，先摸的同學(xué)勝出的次數(shù)為61次，請同學(xué)們將此游戲整理成文字，并編寫一道涉及分布列的實際應(yīng)用問題．

規(guī)則的描述：暗箱中有3只白球和2只黃球，2種球只有顏色的差別．甲、乙兩人依次輪流摸球，每次一只，且不放回，直到摸出黃球為止，首次摸出黃球的為勝方．

問題1設(shè)ξ為摸球的次數(shù)，求ξ的分布列．

因此ξ的分布列如表1所示.

表1 ξ的分布列

問題2甲與乙誰獲勝的概率更大？

問題3摸球次數(shù)平均為幾次時能決出勝負？

解ξ的期望為

即摸球次數(shù)的平均值為2次．

問題4一般地，若有n只白球，m只黃球(n，m∈N*)，求P(ξ=k)(k∈N*，且k≤n+1)．

在這個案例中，學(xué)生體驗了從發(fā)現(xiàn)問題到表述問題、設(shè)計問題到最終解決問題的完整過程，充分運用了概率與統(tǒng)計知識．

以上7種題型的設(shè)置，總的目的，一是用新穎的方式，從正面、反面、側(cè)面等多角度展示知識點的內(nèi)涵和外延，讓學(xué)生有一個多方位的理解，可以更通透、更清晰；二是及時暴露學(xué)生的理解誤區(qū)，防患于未然，將易錯點直觀呈現(xiàn)，引發(fā)討論，加深印象；三是促進課堂的開放性，鼓勵學(xué)生思考、質(zhì)疑甚至爭論，引起認知沖突，調(diào)動學(xué)生的求知欲，激活有效思考．

3 題型設(shè)計的再思考

3.1 3種基本題型是主體，其他題型為補充

3種題型經(jīng)過時間和中外文化的考驗，事實證明了它們的地位．它們能夠很好地呈現(xiàn)大部分教學(xué)內(nèi)容，適當(dāng)?shù)脑O(shè)計也可以取代上述某些題型，且與試題、教輔相一致，容易編寫或者選取，上述題型只是適當(dāng)?shù)难a充．

3.2 其他題型的編纂使用，要注意幾個方面

3.2.1 條件充分，科學(xué)嚴(yán)密

題目內(nèi)容的正確性永遠是第一位的，所編題目要經(jīng)得起推敲，不能有知識性的錯誤．即使是開放性的問題，其切口也要把握牢，讓學(xué)生易懂、易操作，不超出學(xué)生的能力范圍，不設(shè)計偏題、怪題．

3.2.2 言簡意賅，形式優(yōu)美

在內(nèi)容正確、表述完整、要求明確的前提下，應(yīng)力求用語的簡練、形式的美觀，讓學(xué)生容易看懂，增強解題興趣，方便摘抄．

3.2.3 合理選擇，不走過場

在等效情況下，還是盡可能選擇3種最熟悉的題型，便于學(xué)生入手．判斷題、多選題、連線題常?？梢愿某蓡芜x題，糾錯題、例舉題、辯論題也可以轉(zhuǎn)換成解答題，一切以服務(wù)教學(xué)、服務(wù)學(xué)生為宗旨．例舉題、辯論題在課堂使用中的時間掌控、師生配合上難度較大.若采用了一言堂的處理方法，就無法收到應(yīng)有的效果，因此要因地制宜，視學(xué)生水平和課時數(shù)而定,謹慎選用．

3.3 開創(chuàng)發(fā)掘更多題型

除上述7種題型外，還可以編寫列表題、補圖題、多解題、模仿改編題等等．讓我們一同努力，豐富課例形式，提高例題與練習(xí)的效果．

[1] 羅增儒．?dāng)?shù)學(xué)解題學(xué)引論[M]．西安:陜西師范大學(xué)出版社，2001.

[2] 孔德宏，馬紹文．美國ACT大學(xué)入學(xué)考試數(shù)學(xué)部分介紹及樣題[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)，2006(5):1-6.

[3] 謝紹義．略論數(shù)學(xué)糾錯的教學(xué)原則[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報，2003(10):17-18.

[4] 黃麗生，孫中會．高考《算法初步》的命題趨向與教學(xué)建議[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)，2008(7):12-17.