電場(chǎng)中二維帶電諧振子在非對(duì)易空間的Wigner函數(shù)

車 宇，李 康

(杭州師范大學(xué) 理學(xué)院,浙江 杭州 310036)

時(shí)空坐標(biāo)非對(duì)易的思想由來(lái)已久，早在20世紀(jì)60多年前就有人提出用時(shí)空坐標(biāo)非對(duì)易的概念來(lái)解決問(wèn)題[1-2]．在數(shù)學(xué)上，有關(guān)非對(duì)易的討論很多，但在相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)間內(nèi)，非對(duì)易幾何并未在物理上受到重視．人們?cè)谘芯课锢韱?wèn)題時(shí)，時(shí)空坐標(biāo)一般被認(rèn)為是對(duì)易的．近幾年來(lái)，隨著量子霍爾效應(yīng)以及弦理論的研究，越來(lái)越多的非對(duì)易背景上的物理學(xué)問(wèn)題得到了人們的廣泛關(guān)注．對(duì)于超弦理論的研究發(fā)現(xiàn)，在弦尺度下出現(xiàn)空間的非對(duì)易效應(yīng)[3]．

Wigner函數(shù)是著名物理學(xué)家Wigner為了對(duì)熱力學(xué)體系做量子修正而引入相空間的一個(gè)準(zhǔn)概率分布函數(shù)[4]．Wigner函數(shù)既是量子相空間理論的基礎(chǔ)，也是實(shí)際應(yīng)用中最主要的工具之一，尤其是對(duì)化學(xué)物理問(wèn)題，它確實(shí)具有簡(jiǎn)單而且物理內(nèi)涵豐富的特點(diǎn)．而量子諧振子是許多復(fù)雜模型的基礎(chǔ)，它的Wigner函數(shù)積分后能寫(xiě)成簡(jiǎn)單的表達(dá)形式，可用來(lái)討論許多實(shí)際問(wèn)題．這篇文章主要把諧振子模型放在了非對(duì)易空間，在有外加電場(chǎng)的情況下，研究二維帶電諧振子的Wigner函數(shù)．

1 電場(chǎng)中二維帶電諧振子的能量本征值和本征函數(shù)

先考慮無(wú)外加電場(chǎng)的情況下一個(gè)質(zhì)量為μ，頻率為ω的二維諧振子，其Hamilton量可表示為[5]

(1)

解其在坐標(biāo)表象下的Schr?dinger方程可得到能量本征值和本征函數(shù)，分別為

(2)

上式中勢(shì)能項(xiàng)可以寫(xiě)成

(3)

比較式(1)和式(3)，可知在電場(chǎng)中二維諧振子的能量本征值和本征函數(shù)分別為

(4)

2 非對(duì)易空間中Wigner函數(shù)的定義

在非對(duì)易空間中Bopp變換[6]滿足如下關(guān)系：

非對(duì)易空間中的薛定諤方程通常又可表示為

H(x,p)*θψnc(x)=Eψnc(x)，

已知在二維對(duì)易空間Wigner函數(shù)的表達(dá)式為

當(dāng)用Weyl-Moyal乘法(星乘)代替普通乘法時(shí)，就得到了在二維非對(duì)易空間中Wigner函數(shù)的表達(dá)式[7]：

(5)

非對(duì)易空間中關(guān)于Wigner函數(shù)的能量本征方程可表示為

(6)

其中

通過(guò)Bopp變換，Wigner函數(shù)的能量本征方程又可直接寫(xiě)成如下形式：

3 直接積分法求解Wigner函數(shù)

首先考慮無(wú)外加電場(chǎng)的情況下對(duì)易空間中二維諧振子的Wigner函數(shù)．為計(jì)算方便，將二維非對(duì)易空間中Wigner函數(shù)的表達(dá)式(5)中的星乘表示為如下積分形式[8]：

把二維諧振子的本征函數(shù)

代入二維非對(duì)易空間中Wigner函數(shù)的表達(dá)式中，得到

(7)

其中：

忽略含θ2的高階小量，則

這就是二維諧振子在非對(duì)易空間中用對(duì)易空間的坐標(biāo)和動(dòng)量表示出來(lái)的Wigner函數(shù)．

當(dāng)n1=0,n2=0時(shí)，得到基態(tài)時(shí)的Winger函數(shù)：

4 解Wigner函數(shù)的能量本征方程求Wigner函數(shù)

首先考慮無(wú)外加電場(chǎng)的情況．在非對(duì)易空間中Wigner函數(shù)的能量本征方程可以寫(xiě)成

exp(a?)f(x)=f(x+a)可知

(8)

(9)

二維諧振子在非對(duì)易空間的Hamiltonian可表示為(令μ=1,ω=1)

將上式分別代入式(8)和(9)得

對(duì)比以上兩式，得到

(10)

引入兩個(gè)新的變量ξ和η：

則式(10)可寫(xiě)成

(11)

令Wnc(ξ,η)=Wnc(ξ)Wnc(η)，E=E1+E2由上式可得到

(12)

(13)

將Wnc(ξ)定義如下：

則由式(12)可推導(dǎo)出函數(shù)L(ξ)滿足的方程為

將變量ξ和η代入上式，得到非對(duì)易空間中二維諧振子的Wigner函數(shù)為

通過(guò)Bopp變換，并忽略含θ2的高階小量，最后得到用對(duì)易空間中坐標(biāo)和動(dòng)量表示出非對(duì)易空間的二維諧振子的Wigner函數(shù)為

當(dāng)n1=0,n2=0時(shí)，得到基態(tài)時(shí)的Winger函數(shù)

5 結(jié) 論

[1] Snyder H S. Quantized space time[J]. Phys Rev,1947,71:38.

[2] Snyder H S. The electromagnetic field in quantized space-time[J]. Phys Rev,1947,72:68.

[3] Seiberg N, Witten E. String theory and non-commutative geometry[J/OL]. High Energy Physics-Therom(1999-11-03)[2010-01-12].http://arxiv.org/abs/hep-th/9908142

[4] Wigner E. On the quantum correction for thermodynamic equilibrium[J]. Phys Rev,1932,40:749-759.

[5] 車宇，李康.非對(duì)易相空間下電場(chǎng)中二維帶電諧振子的Wigner函數(shù)[J].杭州師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010,9(1):43-47.

[6] Chaichian M, Sheikh-Jabbari M M, Tureanu A. Hydrogen atom spectrum and the lamb shift in noncommutative QED[J]. Phys Rev Lett,2001，86(13)：2716-2719.

[7] Wang Jianhua, Li Kang, Dulat Sayipiamal. Wigner functions for harmonic oscillator in non-commutative phase space[J/OL]. High Energy Physics-Therom(2009-08-12)[2010-01-12].http://arxiv.org/abs/hep-th/0908.1703

[8] Wang Jianhua, Li Kang, Dulat Sayipiamal,etal. Wigner functions for Klein-Gordon oscillators in non-commutative space[J/OL]. High Energy Physics-Therom(2009-08-12)[2010-01-12].http://arxiv.org/abs/hep-th/0908.1703