關(guān)于廣義變分不等式的解和嚴(yán)格偽壓縮映象不動(dòng)點(diǎn)的迭代逼近

李付成,谷 峰

(杭州師范大學(xué) 理學(xué)院,浙江 杭州 310036)

1 預(yù)備知識(shí)

在這篇文章中假設(shè)E是一個(gè)光滑的Banach空間,C是E的一個(gè)非空閉凸子集.

回顧到：

1) 算子A:C→E稱為是單調(diào)的，如果〈Ax-Ay,J(x-y)〉≥0,?x,y∈C；

2) 算子A稱為是α-強(qiáng)單調(diào)的，如果存在一個(gè)常數(shù)α>0使得

3) 算子A稱為是α-擬強(qiáng)單調(diào)的，如果存在一個(gè)常數(shù)α>0使得

4) 設(shè)D?C，稱Q:C→D是太陽的，如果Q(Qx+t(x-Qx))=Qx，其中Qx+t(x-Qx)∈C,x∈C,t≥0；

5) 映象Q:C→C稱作一個(gè)保核收縮，如果Q2=Q.如果映象Q:C→C是一個(gè)保核收縮，則對(duì)所有的z∈R(Q)，有Qz=z，其中R(Q)是Q的值域；

6) 子集D?C稱為是C的一個(gè)太陽非擴(kuò)張收縮核，如果存在一個(gè)C到D的一個(gè)太陽非擴(kuò)張保核收縮；

8) 映象S:C→C被稱作是λ-嚴(yán)格偽壓縮的，如果存在一個(gè)常數(shù)λ∈(0,1)，使得

顯然，嚴(yán)格偽壓縮映象族包含了非擴(kuò)張映象族作為它的特例.

下面給出一些光滑Banach空間中關(guān)于太陽非擴(kuò)張保核收縮的結(jié)果.

命題1[1]設(shè)E是光滑Banach空間，C是E的一個(gè)非空子集.設(shè)Q:E→C是一個(gè)保核收縮，并且J是E的正規(guī)對(duì)偶映象，則下面的條件是等價(jià)的.

1)Q是太陽的且非擴(kuò)張的；

2) 〈x-Qx,J(y-Qx)〉≤0,?x∈E,y∈C.

命題2[2]設(shè)C是一致凸且一致光滑的Banach空間E的一個(gè)非空閉凸子集，且T是C到自身的一個(gè)非擴(kuò)張映象，滿足F(T)≠?(F(T)表示映象T的不動(dòng)點(diǎn)集)，則集合F(T)是C的一個(gè)太陽非擴(kuò)張收縮核.

Reich[3]給出，如果E是一致光滑的且D是C到自身的一個(gè)非擴(kuò)張映象的不動(dòng)點(diǎn)集，則從C到D有一個(gè)唯一的太陽非擴(kuò)張保核收縮,且它能被如下的構(gòu)造.

最近，Aoyama等[4]考慮了下面的廣義變分不等式的問題：

設(shè)A:C→E是一個(gè)增生算子,找一個(gè)點(diǎn)u∈C,使得

〈Au,J(v-u)〉,?v∈C.

(Ω)

在該文中，用BVI(C,A)來表示變分不等式問題(Ω)的解集.

Aoyama等[4]證明了變分不等式問題(Ω)等價(jià)于一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)問題.一個(gè)元素u∈C是變分不等式(Ω)解的充要條件是u∈C是映象QC(I-λA)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，其中I是恒等映象，λ>0是一個(gè)常數(shù)且QC是E到C的一個(gè)太陽非擴(kuò)張保核收縮.見下面的引理4.

Aoyama等[4]在一致凸且2-一致光滑的巴拿赫空間中得到了一個(gè)弱收斂定理如下：

定理AIT設(shè)E是一致凸和2-一致光滑的巴拿赫空間，C是E的一個(gè)非空閉凸子集.設(shè)QC:E→C是一個(gè)太陽非擴(kuò)張保核收縮，α>0，A:C→E是α-一個(gè)擬強(qiáng)增生算子，滿足S(C,A)≠?，其中S(C,A)={x*∈C:〈Ax*,J(x-x*)〉≥0,?x∈C}.如果{λn}和{αn}被給定,使得對(duì)于a>0，0

x1=x∈C,xn+1=αnxn+(1-αn)QC(xn-λnAxn),?n≥1.

該文的目的是，在Banach空間中引進(jìn)一個(gè)更一般的迭代程序，借以尋找兩個(gè)λ-嚴(yán)格為壓縮映象的公共不動(dòng)點(diǎn)集和一個(gè)廣義變分不等式解集的公共元素.筆者在一致凸和2-一致光滑Banach空間的框架下，證明了一個(gè)強(qiáng)收斂定理，推廣和改進(jìn)了文獻(xiàn)[5-9]中的一系列相關(guān)結(jié)果.

在主要結(jié)果中，需要下面的引理.

引理1[10]設(shè){αn}是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)列，滿足αn+1≤(1-γn)αn+δn，其中實(shí)數(shù)列{γn}?(0,1)和{δn}滿足下面的條件：

引理3[4]設(shè)C是光滑Banach空間E的一個(gè)非空閉凸子集,QC是E到C一個(gè)太陽非擴(kuò)張保核收縮，A是C到E的一個(gè)增生算子.則對(duì)所有的λ>0，有

BVI(C,A)=F(QC(I-λA).

引理4(Bruck[12]) 設(shè)C是一個(gè)實(shí)的嚴(yán)格凸Banach空間E的一個(gè)閉凸子集,Si:C→C(i=1,2)是兩個(gè)非擴(kuò)張映象,滿足F=F(S1)∩F(S2)≠?.定義Sx=δS1x+(1-δ)S2x，其中δ∈(0,1).則S:C→C是非擴(kuò)張映象,且F(S)=F≠?.

引理6[14]設(shè)C是一個(gè)實(shí)2-一致光滑Banach空間E的非空子集，K是最優(yōu)光滑常數(shù)，T:C→C是一個(gè)具有常數(shù)λ∈(0,1)的嚴(yán)格偽壓縮映象.對(duì)a∈(0,1)，定義Tax=(1-a)x+aTx.則當(dāng)a∈(0,b)時(shí)，Ta是一個(gè)非擴(kuò)張映象且F(Ta)=F(T)，其中b=min{1,λ/K2}.

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)E是一個(gè)一致凸和2-一致光滑的Banach空間，K是最優(yōu)光滑常數(shù)，C是E的一個(gè)非空閉凸子集.設(shè)QC是E到C的一個(gè)太陽非擴(kuò)張保核收縮，A:C→E是一個(gè)α-擬強(qiáng)單調(diào)算子.設(shè)Ti:C→C是兩個(gè)具有常數(shù)λi∈(0,1)(i=1,2)的嚴(yán)格偽壓縮映象.對(duì)任意x∈C，定義映象Si:C→C如下：Six=(1-a)x+aTix，其中a∈(0,min{1,λ1/K2,λ2/K2})，F(xiàn):=F(T1)∩F(T2)∩BVI(C,A)≠?.假設(shè)x1=u∈C，{xn}由下式給出

xn+1=αnu+βnxn+γn[μn(t1S1+t2S2)xn+(1-μn)QC(xn-σAxn)],n≥1,

(Δ)

其中σ∈(0,α/K2]；{αn},{βn},{γn}和{μn}是(0,1)中的序列.如果序列{αn},{βn},{γn}和{μn}滿足以下條件

(iii) 0

則{xn}強(qiáng)收斂到z=QFx，其中QF是C到F的太陽非擴(kuò)張保核收縮.

證明設(shè)x*∈F，則由引理4可知，x*=QC(I-σA)x*.再由引理7可知，S1,S2是兩個(gè)非擴(kuò)張映象且Six*=Tix*=x*(i=1,2).下面證明I-σA是非擴(kuò)張的.由引理2和條件σ∈(0,α/K2]，有

這說明I-σA是非擴(kuò)張的.下面證明{xn}是有界的.事實(shí)上，令yn=QC(I-σA)xn，考慮到I-σA是非擴(kuò)張的，有

(1)

這說明QC(I-σA)也是非擴(kuò)張的.由yn的定義有

(2)

由Si的非擴(kuò)張性有

(3)

由(Δ)和(1)有

因此{(lán)xn}有界，從而由(1)可知{yn}也都是有界的.令

pn=μn(t1S1+t2S2)xn+(1-μn)QC(xn-σAxn);

(4)

(5)

對(duì)每個(gè)n≥1.由(2)和(4)，得到

QC(I-σA)xn)+(μn+1-μn)((t1S1+t2S2)xn-QC(I-σA)xn)≤

(6)

由(4)有

xn+1=(1-βn)qn+βnxn,?n≥1.

(7)

由(3)和(4)有

(8)

(9)

把(6)代入(9)得

(10)

由(7),得到xn+1-xn=(1-βn)(qn-xn).由(iii)和(10),有

(11)

(12)

下面證明

(13)

其中q=QFx.為此，定義映象W:C→C如下：

Wx=μ(t1S1+t2S2)x+(1-μ)QC(I-σA)x,?x∈C,

(14)

F(W)=F(t1S1+t2S2)∩F(QC(I-σA))=

F(S1)∩F(S2)∩BVI(C,A)=F(T1)∩F(T2)∩BVI(C,A)=F,

(15)

另外，對(duì)任意t∈(0,1)，有

(1-t)(〈Wzt-Wxn,J(zt-xn)〉+〈Wxn-xn,J(zt-xn)〉)+

t〈u-zt,J(zt-xn)〉+〈zt-xn,J(zt-xn〉=

由此及(15)得到

(16)

另一方面，有QF(W)u=limt→0zt，F(xiàn)(W)=F.從而則zt→q=QF(W)u(t→0).由于J在E的有界子集上是弱*一致連續(xù)的，有

|〈u-q,J(xn-q)〉-〈zt-u,J(zt-xn)〉|≤

|〈u-q,J(xn-q)〉-〈u-q,J(xn-zt)〉|+|〈u-q,J(xn-zt)〉-〈zt-u,J(zt-xn)〉|≤

|〈u-q,J(xn-q)-J(xn-zt)〉|+|〈zt-q,J(xn-zt)〉|≤

因此，對(duì)任意ε>0，存在δ>0，使得對(duì)?t∈(0,δ)，有下面的不等式成立

〈u-q,J(xn-q)〉≤〈zt-u,J(zt-xn)〉+ε,

這意味著

由ε的任意性和(16),有l(wèi)im supn→∞〈u-q,J(xn-q)〉≤0.即

(17)

最后，證明xn→q(n→∞).事實(shí)上，因?yàn)?/p>

αn〈u-q,J(xn+1-q)〉+βn〈xn-q,J(xn+1-q)〉+γn〈pn-q,J(xn+1-q)〉≤

(18)

注1：定理1改進(jìn)和推廣了Cho[6]的相關(guān)結(jié)果.

易知，在實(shí)Hilbert空間中有以下推論成立.

推論1設(shè)H是一個(gè)實(shí)Hilbert空間，C是H的一個(gè)非空閉凸子集.設(shè)PC是H到C的一個(gè)度量投影算子，A:C→H是一個(gè)α-擬強(qiáng)單調(diào)算子.設(shè)T1,T2:C→C是兩個(gè)非擴(kuò)張映象.假設(shè)F:=F(T1)∩F(T2)∩BVI(C,A)≠?，x1=u∈C，{xn}由下式給出

xn+1=αnu+βnxn+γn[μn(t1T1+t2T2)xn+(1-μn)PC(xn-σAxn)],n≥1,

其中σ∈(0,2α]；{αn},{βn},{γn}和{μn}是(0,1)中的序列.如果序列{αn},{βn},{γn}和{μn}滿足以下條件

(iii) 0

(v)t1+t2=1,t1,t2∈(0,1)

則{xn}強(qiáng)收斂到z=PFx，其中PF是C到F的度量投影.

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