在解題中嘗試評價初探

●(黃巖區(qū)第二高級中學 浙江臺州 318020)

數學解題是一種復雜的思維活動，學習數學意味著解題.在數學解題中，學生更多關注的是最后答案的正確程度,而對解題過程則僅僅憑著熟能生巧的感覺去被動地把握，常常為解題而解題.這種學習方式毫無疑問影響了學生的學習效率，令其陷入了認知的誤區(qū).為此，在數學解題教學過程中,我們嘗試把評價引入解題，實行一種新的學習方式，主要做法如下：

(1)設計一張作業(yè)紙，叫做《解題過程評價表》；

(2)學生自選問題，按照《解題過程評價表》中解題引導語的要求進行規(guī)范回答，然后交給教師進行評價;

(3)教師根據學生的實際回答情況，對每一個環(huán)節(jié)實施評價，并把評價及時反饋給學生;

(4)時間安排可以是每周1至2次，以學生作業(yè)的形式進行.

這種以《解題過程評價表》為載體的數學解題教學模式，意在讓學生輕負擔、高質量的進行解題活動，意在把解題教學引向學生對數學本質理解的深層關注.

我們認為：問題是否解決也許并不是最重要的,問題解決過程中的觀察、分析、嘗試、比較、聯(lián)想、質疑、重建、論證、決策、實踐、總結，以及考驗心理在緊張慌亂中的清晰度等心理活動,還包括和數學有關的高層次思維、推理、交流等能力的發(fā)展才是關鍵,無論是教學還是問題解決,最核心的就是進步.

1 范例：一張解題過程評價表

根據本階段教學進度，請精選一題，寫出解題過程并填寫相應內容.

教師評價本題可以多角度地解決.

認真讀題，寫出本題的已知條件和隱含條件：

(1)F1,F2是橢圓的左、右焦點;

教師評價基本正確，但是須理解“存在”的內涵.

你能否將本題表述得更簡潔?

如果橢圓上存在一點P，它的2條焦半徑所成的角為直角，求這個橢圓離心率e的范圍？

教師評價不同的角度可以有不同的表達，請嘗試其他的表達方式.

你認為解答這個問題的關鍵是什么？

可以利用焦半徑公式與勾股定理.

教師評價本解法需要扎實的知識基礎.

寫出解答過程：設點P(x0,y0),由題意得

|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，

因此

(a+ex0)2+(a-ex0)2=4c2,

解得

教師評價解題過程基本完善，不過請你認真思考，還有其他解法嗎？

你認為本題還有別的解法嗎？

可以利用數形結合來解決.

教師評價本解法很簡潔，請深刻體會數形結合思想.

你認為本題能推廣嗎？

如果橢圓上存在一點P，它的2條焦半徑所成的角為α，求這個橢圓的離心率e的范圍.

教師評價很好，你會解決這個推廣嗎？

本題給你的啟示是：一題可以多解，不同的解法有不同的收獲.

教師評價數學不做題=0,做題不反思、總結=及格，反思+做題=高分.

教師的建議：做題時要多思考為什么，思路最重要，只要掌握了題目的靈魂，你就學會了解題.

2 解題過程評價表的2個關鍵詞

2.1 解題引導語

我們把解題的過程分為以下5個環(huán)節(jié)：

一是審題.通過問題幫助學生讀懂題，并且養(yǎng)成良好的審題習慣.幫助學生從已知條件出發(fā)，盯住結論的目標，學會從中去找方法.幫助學生思考這道題以前有沒有做過，它需要求什么(直接要求的和間接要求的)，牽涉到什么定律、公式、法則、原理，有什么隱含條件？幫助學生嘗試重新表達問題.

二是選定方法.通過問題促進學生思考這道題的一般思路是什么？有沒有解決問題更簡便的方法？

三是做題.當學生用選定的方法按照自己的思路做題、一步步推導論證時，通過問題可以幫助學生監(jiān)控自己的解題過程，不放過任何一步，提高思維的嚴謹性.

四是總結.讓學生學會回顧，回顧選擇的方法是否正確？回顧“審題”的內容;回顧用到的知識和技巧，提高歸納、推演的能力.

五是反思.反思自己體會到的心得，并且記錄下來，下次解題時下意識地用它們(心得).

根據以上5個環(huán)節(jié)，我們相應地設計了7個解題引導語：

(1)認真讀題，寫出本題的已知條件和隱含條件;

(2)你能否將本題表述得更簡潔？

(3)你認為本解答的關鍵是什么？

(4)寫出解答過程；

(5)你認為本題還有別的解法嗎？

(6)你認為本題能推廣嗎？

(7)本題給你的啟示是什么？

( )

A．-3 B．3 C．-8 D．8

思考1(1)關于f(x)的已知條件：設f(x)是連續(xù)的偶函數，且當x>0時f(x)是單調函數；

思考4可以找到一個特殊函數，譬如f(x)=x2，代入可求.

思考6啟示：把抽象函數中函數值的關系轉化為自變量的關系是關鍵.

解題引導語的引導作用有助于促進學生在解題活動中完成從追求結果到注重過程的轉變；有助于促進學生把解題的興趣由關心得分情況轉變到注重收獲.

2.2 教師評價

評價常常集中在答案的正確率上，但是解題的意義不能僅僅只是得到正確的答案.將評價融入學生解題過程的學習方式,使問題拓展開來.例如,在解決一個數學問題時，還要求學生關心他是否會表達他的解題步驟，是否會證明他的結論，是否知道相關類型的問題，或者是否會在另一個場合把該問題作為一個解題的工具.這樣使一個數學問題的主干部分廣義地形成一種評價情景,評價情景中的回答,是我們期待學生作出的.它有多種不同的表達方式,它依賴于學生在具體情景中對問題把握的扎實程度和對知識應用的靈活程度.

在解題中嘗試評價，在解題過程評價表中引入教師評價，不只是簡單地評判學生一個問題解答的正確與否，而是關注學生的數學表現.教師評價有著以下幾個方面的特點：

(1)貫穿于解題過程的每一個環(huán)節(jié)，在每一個環(huán)節(jié)中要求、指導、規(guī)范著學生的解題.

(2)不但重視數學純粹的知識,同時更重視解決數學問題的策略知識;不但評價學生解題過程中存在的問題，而且還力求暴露學生的缺點，力求養(yǎng)成良好的思維習慣，培養(yǎng)成熟的解題心理.

(3)具有可操作性.

例2已知函數f(x)=x3-(k2-k+1)x2+5x-2，g(x)=k2x2+kx+1，其中k∈R.

(1)設p(x)=f(x)+g(x),若p(x)在區(qū)間(0,3)上不單調，求k的取值范圍；

(2)略.

(2009年浙江省數學高考理科試題)

環(huán)節(jié)1認真讀題，寫出本題的已知條件和隱含條件.

p(x)在區(qū)間(0，3)上不單調的含義是什么？

評價要點不只是羅列條件，而是促進學生去發(fā)現問題的本質聯(lián)系.

環(huán)節(jié)2你能否將本題表述得更簡潔？

(1)p(x)=f(x)+g(x)=x3+(k-1)x2+(k+5)x-1.

(2)p(x)在區(qū)間(0,3)上不單調，即p′(x)=0在(0,3)上有實數解，且無重根.

評價要點能否把命題的要求表達得更清楚、直接？

環(huán)節(jié)3你認為本題解答的關鍵是什么？

(1)條件“p(x)在區(qū)間(0，3)上不單調”的含義.

(2)如何求k的取值范圍？

評價要點讀題，能否敏銳地感知問題的難點，反映一個學生的能力.

環(huán)節(jié)4寫出解答過程.

解由p(x)=f(x)+g(x)=

x3+(k-1)x2+(k+5)x-1，

得

p′(x)=3x2+2(k-1)x+k+5.

因為p(x)在區(qū)間(0,3)上不單調，所以p′(x)=0在(0,3)上有實數解，且無重根.由p′(x)=0得

k(2x+1)=-(3x2-2x+5),

因此

得

k∈(-5,-2].

而當k=-2時,p′(x)=0在(0,3)上有2個相等的實根x=1，故舍去，所以k∈(-5,-2).

評價要點過程和結果是否準確，書寫是否規(guī)范.

環(huán)節(jié)5你認為本題還有別的解法嗎？

在求參變量k的過程中，可以考慮用根的分布,或者用導數法解決.

評價要點評價學生的總結、歸納能力.

環(huán)節(jié)6你認為本題能作改變嗎？

變式1可以改變p(x)的定義，例如p(x)=f(x)+2g(x).

變式2可以改變條件“若p(x)在區(qū)間(0,3)上不單調”為“若p(x)在區(qū)間(0,3)上單調”.

評價要點評價學生的變式、逆向和多向思維能力.

環(huán)節(jié)7本題給你的啟示是什么？

評價要點談收獲，要重體會、重感受、重反思.

學生數學解題過程中評價的實質是對解題者的整個思維過程起定向、控制和調節(jié)作用.在數學解題教學中引入評價將有助于學生變盲目的、機械的學習為策略的、高效的學習;有助于解決數學學科中教學生學會學習的問題.在學生數學解題過程中，以數學前提性知識、數學理論性知識和數學經驗性知識為認知基礎，以在解題的各個環(huán)節(jié)實施評價為認知策略，激發(fā)學生進行元認知活動的熱情，從而培養(yǎng)、提高學生的數學解題能力.