二項式定理教學(xué)設(shè)計與點評

● (教育局教研室 浙江寧波 315000)● (寧波中學(xué) 浙江寧波 315000)

本節(jié)課是“2009年10月浙江省課堂教學(xué)評比與觀摩活動”中浙江省寧波市選手倪蕾教師的一節(jié)參賽課(獲得一等獎),筆者在此基礎(chǔ)上，對這一堂課進行了重新設(shè)計.

1 教材分析

二項式定理是高中數(shù)學(xué)人教版A版選修2-3第一章計數(shù)原理的第3節(jié)內(nèi)容．在學(xué)科教學(xué)指導(dǎo)意見中，本節(jié)內(nèi)容分2個課時,這里僅針對第一課時內(nèi)容.

二項式定理是代數(shù)乘法公式的推廣，這節(jié)課的內(nèi)容安排在計數(shù)原理之后進行學(xué)習(xí)，一方面是因為它的證明要用到計數(shù)原理，可以把它作為計數(shù)原理的一個應(yīng)用;另一方面是由于二項式系數(shù)是一些特殊的組合數(shù)，由二項式定理可導(dǎo)出一些組合數(shù)的恒等式，這對深化組合數(shù)的認(rèn)識有好處．再者,二項式定理也為學(xué)習(xí)隨機變量及其分布作準(zhǔn)備,它是帶領(lǐng)我們進入微分學(xué)領(lǐng)域大門的一把金鑰匙.運用二項式定理還可以解決如整除、近似計算、不等式證明等數(shù)學(xué)問題．總之,二項式定理是綜合性較強、具有聯(lián)系不同內(nèi)容作用的知識.

2 教學(xué)目標(biāo)

(1)理解二項式定理是代數(shù)中乘法公式的推廣,能利用計數(shù)原理證明二項式定理,理解并掌握二項式定理;

(2)通過二項式定理的“發(fā)現(xiàn)”和證明，培養(yǎng)觀察、分析、歸納、推理能力，體會從特殊到一般的思維方式;

(3)培養(yǎng)自主探究意思、合作精神，體驗二項式定理的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程，感受和體驗數(shù)學(xué)的簡潔美、和諧美和對稱美.

3 教學(xué)重點、難點

重點：用計數(shù)原理分析(a+b)3的展開式，得到二項式定理．

難點：用計數(shù)原理分析二項式的展開過程，發(fā)現(xiàn)二項式展開成單項式之和時各項系數(shù)的規(guī)律.

4 教學(xué)過程

4.1 提出問題，引入課題

二項式定理又稱牛頓二項式定理，由艾薩克·牛頓提出．二項式定理在初、高等數(shù)學(xué)中都有廣泛的應(yīng)用．二項式定理研究的是(a+b)n的展開式，例如：

(a+b)2=a2+2ab+b2;

(a+b)3=(a+b)2(a+b)=

a3+3a2b+3ab2+b3;

(a+b)4=(a+b)3(a+b)=

a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4;

……

設(shè)計意圖 沿著數(shù)學(xué)發(fā)展的邏輯,引起認(rèn)知沖突,把問題作為教學(xué)的出發(fā)點，直接引出課題．激發(fā)學(xué)生的求知欲，明確這節(jié)課要解決的問題.

4.2 引導(dǎo)探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

4.2.1 多項式乘法的再認(rèn)識

問題1(a1+a2)(b1+b2)的展開式是什么,展開式有幾項，每一項是怎樣構(gòu)成的？

問題2(a1+a2)(b1+b2)(c1+c2)展開式有幾項, 每一項是怎樣構(gòu)成的？

設(shè)計意圖 多項式乘法規(guī)律是在每個括號內(nèi)任取一個字母相乘構(gòu)成展開式中的每一項,引導(dǎo)學(xué)生運用計數(shù)原理來解決項數(shù)問題，明確每一項的特征,同時也為后續(xù)的學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備.

4.2.2 展開式的再認(rèn)識

探究1(先自己動腦動筆,再以4個人為一小組進行討論.)

不展開(a+b)3，能否回答下列問題：

(1)合并同類項之前展開式有多少項？

(2)展開式中有哪些項？

(3)各項的系數(shù)為多少？

(4)從上述3個問題，你能否得出(a+b)3的展開式？

設(shè)計意圖 當(dāng)面臨一個新問題時,往往需要用已有知識對其進行重新解釋,這個過程實際上是對問題的理解過程,化未知為已知的過程.通過幾個問題的層層遞進，引導(dǎo)學(xué)生用計數(shù)原理對(a+b)3的展開式進行再思考，分析各項的形式、項的個數(shù)，旨在體驗特殊情況下定理的形成過程,這也為推導(dǎo)(a+b)n的展開式作了鋪墊，使學(xué)生在后續(xù)的學(xué)習(xí)過程中有“法”可依．

情境：從前有座山，……,3個和尚為了解決吃水問題,他們協(xié)議每人每天下山挑一擔(dān)水.若下山既可以走前山，也可以走后山，前山有a條路，后山有b條路，假定他們下山的選擇相互獨立，問這3個和尚共有多少種不同的下山方法(限制條件:a,b∈N*)?

解法1分步考慮：因為每個和尚都有a+b種下山方法,所以3個和尚共(a+b)3種不同的下山方法.

由上述解法可得:

類似地,我們有

觀察以上2個展開式的結(jié)構(gòu)特征(項數(shù)、系數(shù)、指數(shù)),是否有規(guī)律可尋?

猜想:(a+b)n=？

設(shè)計意圖 通過構(gòu)造實際背景,對同一個問題采用2種不同的思路達到“殊途同歸”的目的,用生活事實詮釋數(shù)學(xué)原理,旨在提高學(xué)生對抽象的數(shù)學(xué)原理的感性認(rèn)識,培養(yǎng)數(shù)學(xué)意識.

4.3 形成定理，說理證明

探究2(先自主學(xué)習(xí),后合作交流)請分析(a+b)n的展開過程,證明猜想．

分析從2個方面入手:

證明略.

設(shè)計意圖 通過仿照(a+b)3,(a+b)4展開式的探究方法，由學(xué)生類比得出(a+b)n的展開式．二項式定理的證明采用“說理”的方法，從計數(shù)原理的角度對展開過程進行分析，概括出項的形式，用組合知識分析展開式中具有同一形式的項的個數(shù)，從而得出用組合數(shù)表示的(a+b)n的展開式．

4.4 熟悉定理，簡單應(yīng)用

二項式定理的公式特征(由學(xué)生歸納，讓學(xué)生熟悉公式)：

(1)項數(shù)：共有n+1項.

(2)次數(shù)：字母a按降冪排列，次數(shù)由n遞減到0；字母b按升冪排列，次數(shù)由0遞增到n．各項的次數(shù)和都等于n．

特別地，有:

例1求(1-2x)6的展開式的第3項,第3項的二項式系數(shù).

解略.

設(shè)計意圖 熟悉二項展開式，培養(yǎng)學(xué)生的運算能力．

4.5 課堂小結(jié)，課后作業(yè)

由學(xué)生歸納本課學(xué)習(xí)的知識及蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法.

(1)二項式定理:

(2)思想方法:從特殊到一般、類比的數(shù)學(xué)思維方式,觀察、分析、歸納、猜想、證明的數(shù)學(xué)研究方法,等價轉(zhuǎn)換的思想等.

(3)課后作業(yè)

鞏固型作業(yè)：課本第36頁習(xí)題1.3A組1,2,3.

設(shè)計意圖 (1)通過小結(jié)使學(xué)生明確本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容;

(2)適當(dāng)?shù)淖鳂I(yè)有助于進一步鞏固新知;

(3)思維拓展型作業(yè)鼓勵學(xué)生探究二項式系數(shù)的性質(zhì)，為后面“楊輝三角”的學(xué)習(xí)作好鋪墊．

5 課例點評

5.1 教學(xué)思路清晰,學(xué)習(xí)重點突出

本節(jié)課以“提出問題，引入課題—引導(dǎo)探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律—形成定理，說理證明—熟悉定理，簡單應(yīng)用—課堂小結(jié)，課后作業(yè)”為基本教學(xué)過程,圍繞“用計數(shù)原理分析(a+b)3的展開式，得到二項式定理”展開．設(shè)法使每一個知識、每一個發(fā)現(xiàn)由學(xué)生自己得出,教師只是在關(guān)鍵處加以引導(dǎo),尤其是課堂上給予學(xué)生充足的思考時間和空間,讓學(xué)生在自主學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上再組織討論,充分體現(xiàn)以學(xué)生為主體的新課程教學(xué)理念.

5.2 整合教材資源,突破理解難點

因為學(xué)生比較熟悉(a+b)2的展開式，所以以(a+b)3為對象進行探究，在探究中設(shè)置了4個小問題，引導(dǎo)學(xué)生用計數(shù)原理對(a+b)3的展開式進行再思考，分析各項、項的個數(shù)，這也為推導(dǎo)(a+b)n的展開式提供了一種方法，使學(xué)生在后續(xù)的學(xué)習(xí)過程中有“法”可依．這種處理教材的方式有效地突破了教學(xué)難點,反映了教師的教學(xué)機智.

5.3 設(shè)問合乎情理,探究活動自然

問題是教學(xué)活動的出發(fā)點,只有通過合理、適當(dāng)?shù)脑O(shè)問,才能在課堂上真正實現(xiàn)“人人參與,積極思考”.本節(jié)課,教師十分注重提問的藝術(shù),問題圍繞“如何將二項式的展開式與‘計數(shù)原理’”聯(lián)系在一起而進行,引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“提出問題—尋求方法—實施方法—發(fā)現(xiàn)規(guī)律—給出猜想—說理證明”這一完整的探究活動,讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生是水到渠成的.

5.4 注重知識聯(lián)系,滲透研究方法

本課的教學(xué)難點是如何將二項式的展開式與“計數(shù)原理”聯(lián)系在一起.為突破這個難點,教師用(a+b)3展開作為切入口,從以下2個角度為學(xué)生“引路”:一是利用多項式乘法法則,運用“計數(shù)原理”展開(a+b)3，分析展開式中各單項式的特征;二是構(gòu)造實際背景對等式

這樣處理既注重了知識的內(nèi)在聯(lián)系,同時滲透了“從特殊到一般”研究數(shù)學(xué)問題的思維方式,培養(yǎng)了學(xué)生觀察、分析、歸納、推理的能力，也啟發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要關(guān)注2個方面的問題:一是數(shù)學(xué)內(nèi)部的問題,即如何從數(shù)學(xué)內(nèi)部構(gòu)建相關(guān)知識,為解決問題提供足夠的、有效的工具;二是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實的關(guān)系問題,即數(shù)學(xué)知識源于哪里,來自何方,又用于哪里,去向何方.