關(guān)于分擔(dān)集的正規(guī)定理

張曉梅, 孫道椿

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東廣州 510631)

關(guān)于分擔(dān)集的正規(guī)定理

張曉梅, 孫道椿*

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東廣州 510631)

用幾何方法研究了更廣泛的擬亞純映射. 利用關(guān)于覆蓋曲面的不等式,較簡(jiǎn)單地證明了關(guān)于分擔(dān)集的正規(guī)定理. 由于亞純函數(shù)是擬亞純映射的特例,因此所得結(jié)論對(duì)亞純函數(shù)均成立.

擬亞純映射; 覆蓋曲面; 正規(guī)族

設(shè)D?是復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域，是D上的一族復(fù)函數(shù). 設(shè)V是直徑為1的球面,通過(guò)球極投影與閉復(fù)平面一一對(duì)應(yīng). 設(shè)f,aV,記D;f(z)=a}，若對(duì)任意f,g, 恒有則稱(chēng)a是的一個(gè)分擔(dān)值.

關(guān)于分擔(dān)值的正規(guī)定理, 有不少文章研究[1-5]. 2008年6月在紹興召開(kāi)的全國(guó)復(fù)分析會(huì)議上, 聽(tīng)了方明亮教授的報(bào)告, 受到啟發(fā),回來(lái)用覆蓋曲面的幾何方法, 對(duì)更廣泛的擬亞純映射,證明了關(guān)于分擔(dān)集的正規(guī)定理, 這些定理對(duì)亞純函數(shù)也都成立.

1 定義

定義1[6]記直徑為1的Riemann球面為V，設(shè)復(fù)函數(shù)f(z)是區(qū)域D?V-{∞}到D′?V的同胚. 若

(i)在D內(nèi)的任一矩形{z=x+iy;a

(ii)存在K>1, 使得f(z)在D內(nèi)a.e.適合

則稱(chēng)f是D內(nèi)的K-擬共形映射.

定義3設(shè)是區(qū)域D內(nèi)一族K-擬亞純映射. 若中每一列K-擬亞純映射{ft}恒含有在D內(nèi)內(nèi)閉一致收斂(按球距)的子列,即對(duì)D內(nèi)任意閉集Q與中任一列K-擬亞純映射{ft}恒含有在Q內(nèi)一致收斂(按球距)子列, 則稱(chēng)在D內(nèi)正規(guī).

定義4設(shè)是區(qū)域D內(nèi)一族K-擬亞純映射.稱(chēng)為在D內(nèi)等度連續(xù), 若對(duì)D內(nèi)任意閉集Q與任意ε>0,存在相應(yīng)的δ>0, 使得對(duì)于任意的f以及Q上任意兩點(diǎn)z1、z2,只要 |z1,z2|<δ,便有|f(z1),f(z2)|<ε.

(D(r),f)的邊界長(zhǎng)為

2 主要結(jié)果及證明

引理1[11]設(shè)F0是球面V上的連通區(qū)域,其邊界是q≥0個(gè)小圓(可能蛻化為點(diǎn)). 當(dāng)q≥2時(shí), 設(shè)任意2個(gè)小圓間的距離不小于δ(>0)，則對(duì)任何有限連通的覆蓋曲面F,恒有

ρ+(F)≥ρ(F0)S-25δ-3π2L,

其中ρ(F)表示F的特征數(shù),ρ+(F)=max{ρ,0},S表示F對(duì)F0的平均覆蓋次數(shù),L是F的相對(duì)邊界長(zhǎng)度.

其中L(r)表示覆蓋曲面Fr=f(|z|

(1)

(q-2)S-25δ-3π2L.

(q-2)S(r,f)<(q-2)S(p,f) <

式(1)也成立.證畢.

|f(u),f(v)|<ε.

證明由定理1, 若令r0=Re-c2/ε2

(2)

記覆蓋曲面(D(r,z0),f) (r

(3)

下面先證明

d(r)

(4)

|f(u),f(v)|≤|f(p),f(q)|≤L(r)<1.

由u,v的任意性, 得d(r)

上面第2個(gè)不等式是由于式(4); 第3個(gè)不等式是由于引理2; 第5個(gè)不等式是由于定理1. 結(jié)合式(3),就得到引理3.

定理2設(shè)是域D內(nèi)的一族K-擬亞純映射, 則在D內(nèi)正規(guī)的充分必要條件是在D內(nèi)等度連續(xù).

證明充分性: 設(shè){ft}?是任一序列,H={hv}?D是D上一個(gè)稠密的可列集.選擇子序列不妨仍記為{ft},使它在H上處處收斂. 設(shè)在D等度連續(xù). 對(duì)任意閉集Q?D及任意ε>0, 記Q到D的邊界?D間的距離為σ>0, 存在δ(0,σ), 使得對(duì)任意f及Q上任意兩點(diǎn)A,B, 只要|A,B|<δ,便有

|f(A),f(B)|<ε.

(5)

(6)

|fp(A),fq(A)|<ε.

(7)

|fp(B),fq(B)|< |fp(B),fp(A)|+|fp(A),fq(A)|+

|fq(A),fq(B)|<3ε.

這說(shuō)明存在子序列在Q上一致收斂.

|ft(At),ft(Bt)|>ε0.

(8)

|ft(Z),fM(Z)|<ε0/3.

(9)

|ft(At),ft(Bt)|<|ft(At),fM(At)|+

|fM(At),fM(Bt)|+|fM(Bt),ft(Bt)|<ε0.

這與式(8)矛盾.

定理3設(shè)是區(qū)域D?內(nèi)的一族K-擬亞純映射,S?V是的一個(gè)分擔(dān)集. 若S中至少有3個(gè)點(diǎn), 即3≤#(S)<∞,則在D內(nèi)正規(guī).

是有限點(diǎn)集.

由于亞純函數(shù)也是K擬亞純映射.故

推論1設(shè)是區(qū)域D?內(nèi)的一族亞純函數(shù).S?V是的一個(gè)分擔(dān)集. 若S中至少有3個(gè)點(diǎn)，即3≤#(S)<∞，則在D內(nèi)正規(guī).

推論2設(shè)是域D?V內(nèi)的一族亞純函數(shù). 若有3個(gè)不同的分擔(dān)值, 則在D內(nèi)正規(guī).

推論3設(shè)是域D?V內(nèi)的一族K-擬亞純映射. 若存在3個(gè)不同的復(fù)數(shù)a,b,cV, 使得對(duì)任意f,在D內(nèi)恒不取a,b,c.則在D內(nèi)正規(guī).

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Keywords： quasi-meromorphic mapping; covering surface; normal family

【責(zé)任編輯 莊曉瓊】

NORMALTHEOREMSONSHARESETS

ZHANG Xiaomei, SUN Daochun

( School of Mathematics, South China Normal University, Guangzhou 510631, China)

More extensive quasi-meromorphic mappings are discussed by the method of geometry. Normal theorems on share sets are approved simply by an inequality about covering surface.The conclusions in this paper are valid for meromorphic functions because a meromorphic function is a special case of quasi-meromorphic mapping.

2009-06-24

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10871076)

張曉梅 (1981—), 女, 湖北天門(mén)人,華南師范大學(xué)2006級(jí)博士研究生, 主要研究方向：函數(shù)論, Email:meizi_de@yahoo.com.cn;孫道椿(1943—), 男, 江西南昌人, 華南師范大學(xué)教授,博士生導(dǎo)師,主要研究方向：函數(shù)論,Email:sundch@scun.edu.cn.

*通訊作者

1000-5463(2010)03-0015-04

O174.52

A