采摘機(jī)械臂的滑模PID控制

宋文龍，楊 鑫，賈鶴鳴

(東北林業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江省哈爾濱市150040)

在中國，棉花種植地域遼闊，生產(chǎn)規(guī)模呈現(xiàn)多元化格局，具有品種多、纖維短、收獲期長(zhǎng)、以人工采摘為主等特點(diǎn);常規(guī)人工手采棉質(zhì)量穩(wěn)定，市場(chǎng)歡迎，但由于拾花期短，勞動(dòng)強(qiáng)度大，受拾花工不足的制約［1］，每年采棉季節(jié)，需要雇傭數(shù)十萬勞動(dòng)力搶收棉花，僅人工費(fèi)用就高達(dá)8億元，且往往因勞動(dòng)力不足延長(zhǎng)了采棉期，影響了棉花的質(zhì)量，妨礙了秋耕灌溉和來年的春耕生產(chǎn)［2］;因此，適時(shí)收獲和低成本收獲是增加收入的有效方法。目前，美國棉花生產(chǎn)具有生產(chǎn)規(guī)模大、品種單一、纖維長(zhǎng)、成熟期集中等特點(diǎn)，其機(jī)械化機(jī)械采收技術(shù)已是世界公認(rèn)的成熟先進(jìn)技術(shù)。采摘機(jī)器人機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)控制精度的提高是實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)的有效合理的方法。

采摘機(jī)械臂的模型中一般包含非線性不確定項(xiàng)和未知的外界環(huán)境干擾，從而使上述控制問題變得難于實(shí)現(xiàn)，針對(duì)這一問題國內(nèi)有許多學(xué)者提出了相應(yīng)的解決方法［3－6］，。機(jī)械臂模型存在外界的干擾和控制誤差等問題，文獻(xiàn)［7］提出一種模糊變結(jié)構(gòu)控制方法來解決這個(gè)問題，但是模糊變結(jié)構(gòu)控制需要模糊邏輯的建模，而模糊邏輯建模主要取決于經(jīng)驗(yàn)且計(jì)算十分復(fù)雜不易于實(shí)現(xiàn)。也有一些采用后推法設(shè)計(jì)控制器的，例如文獻(xiàn) ［8］和 ［9］所提到的，但是由于后推法需要知道精確的機(jī)械臂數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)的控制器形式會(huì)過于復(fù)雜，設(shè)計(jì)控制器的難度大大增加。

本文針對(duì)采摘機(jī)械臂終端的精確跟蹤問題，設(shè)計(jì)了一種具有自適應(yīng)調(diào)節(jié)PID增益功能的滑?？刂破?，并且設(shè)計(jì)了飽和函數(shù)來抑制滑?？刂破鞯母哳l抖振，仿真結(jié)果表明設(shè)計(jì)的控制器具有較高的精度，能夠使得采摘機(jī)械臂精確的跟蹤期望位置，具有較好的魯棒性。

1 采摘機(jī)械臂模型

采摘機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)的模型一般可表示為:［10－14］

式中:q∈Rn表示關(guān)節(jié)的角位移，M(q)∈Rn×n表示機(jī)械臂的質(zhì)量慣性矩陣，C(q，)∈Rn表示科氏力和離心力矩陣，G(q)表示重力矩陣，F(xiàn)()∈Rn表示摩擦力矩，τd∈Rn為未知的外界環(huán)境干擾，τ∈Rn表示機(jī)械臂的控制力矩。

選擇如下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，

式中:ξ1和 ξ2是系統(tǒng)的可測(cè)狀態(tài)，則系統(tǒng)(2)可以表示為:

由于系統(tǒng)模型 (3)中包含模型不確定部分和未知的外界干擾，為了獲得更簡(jiǎn)化的模型以便于控制器的設(shè)計(jì)，重新定義系統(tǒng)為:

式中:u是控制輸入;Y為輸出;b為控制增益;f(ξ1，ξ2)是模型的標(biāo)稱參量;Δf(ξ1，ξ2)是模型的不確定量;d表示外界干擾。假設(shè)存在2個(gè)正的上界g和α，且滿足|Δf(·)|≤g和|d|≤α。定義e為機(jī)械臂的期望軌跡和實(shí)際輸出軌跡Y之間的誤差，并且滿足e=Yd－Y。

2 采摘機(jī)械臂的滑模PID控制器設(shè)計(jì)

對(duì)于公式 (4)的第2個(gè)方程，為了使得系統(tǒng)穩(wěn)定，定義如下誤差系統(tǒng):

式中:k1與k0為控制器的設(shè)計(jì)參數(shù)，僅需滿足s2+k1s+k0=0的根在左半復(fù)平面上即可使得系統(tǒng)穩(wěn)定。通常情況下可以設(shè)計(jì)參數(shù)滿足k1=2ζωn且k0=ω2n;其中ζ表示阻尼比;ωn表示固有頻率。

本節(jié)中提出的采摘機(jī)械臂的自適應(yīng)滑?？刂破髟O(shè)計(jì)過程可以分為2個(gè)步驟來實(shí)現(xiàn)。首先需要定義一個(gè)滑模面函數(shù)，其次是設(shè)計(jì)合適的控制律令該系統(tǒng)到達(dá)并保持在期望的滑模面σ=0上。

定義滑模面函數(shù)為

若期望的滑模面存在，則可以使得σ=0，令

將公式 (7)代入公式 (5)得:

公式 (8)表示隨著時(shí)間的增長(zhǎng) (t→∞)，系統(tǒng)的跟蹤誤差最終會(huì)收斂至0(e→0)。

設(shè)計(jì)系統(tǒng)的控制輸入u為，

其中，

增益k2表示一個(gè)正的標(biāo)量參數(shù)，sgn(σ)為符號(hào)函數(shù)，滿足

傳統(tǒng)的PID控制器增益一般都是固定的，無法適應(yīng)變化工況的控制品質(zhì)要求，本文設(shè)計(jì)的3個(gè)控制增益kP，kI和kD可由如下的自適應(yīng)律在線學(xué)習(xí)獲得，其中ηi＞0表示自適應(yīng)的學(xué)習(xí)率，其中i=1，2，3。

3 穩(wěn)定性分析

為了證明上述設(shè)計(jì)的控制器的穩(wěn)定性，選擇Lyapunov函數(shù)如下:

對(duì)式 (16)求導(dǎo)可得，

整理得

因此，通過本文設(shè)計(jì)的控制律 (9) ～(12)，利用自適應(yīng)學(xué)習(xí)律 (13)～(15)可以確保采摘機(jī)械臂的誤差跟蹤系統(tǒng)達(dá)到并保持在期望滑模面上，使得閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

由于滑?？刂茣?huì)產(chǎn)生抖振問題，使得實(shí)際系統(tǒng)的控制輸入出現(xiàn)高頻振動(dòng)，容易損壞系統(tǒng)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)，所以本文選擇設(shè)計(jì)飽和函數(shù)來代替公式 (11)中的符號(hào)函數(shù)sgn(σ)來抑制控制器的抖振問題，選擇的飽和函數(shù)如下:

其中δ表示邊界層寬度，通過如下設(shè)計(jì)后給定任意的初始值設(shè)計(jì)的滑模面函數(shù)σ都可以到達(dá)并保持在邊界層|σ|≤δ內(nèi)。

4 仿真分析

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所提出的控制器的有效性，針對(duì)采摘機(jī)械臂的模型，機(jī)械臂的期望跟蹤路徑設(shè)定為:1.0+0.2 cos(πt)和1.0+0.2 sin(πt). 在MATLAB軟件環(huán)境下進(jìn)行仿真，所選擇的控制參數(shù)如下:選擇阻尼比ζ=1.5，固有頻率ωn=4，使s2+k1s+k0=0的根k1=12和k0=36在左半復(fù)平面的開區(qū)間上。PID控制器的增益kP，kI和kD初始值為0。學(xué)習(xí)率ηi設(shè)定為5，i=1，2，3。邊界層設(shè)置為δ=0.2。根據(jù)設(shè)計(jì)的控制律 (10)～ (11)，采摘機(jī)械臂的跟蹤控制曲線如圖1和2所示。

從圖1和圖2可以清楚地看出:采摘機(jī)械臂的位置和速度信息都能夠快速的收斂到期望狀態(tài)信息，即本文所提出的自適應(yīng)滑模PID控制器在機(jī)械臂的軌跡跟蹤的精確性上更有效，更優(yōu)越。

5 結(jié)論

隨著棉花生產(chǎn)農(nóng)場(chǎng)化經(jīng)營模式的推廣和開放式、可變結(jié)構(gòu)采摘機(jī)器人成本的降低，相信采摘機(jī)器人將在21世紀(jì)越來越多地應(yīng)用于棉花生產(chǎn)中，大幅度提高優(yōu)質(zhì)棉的產(chǎn)量和農(nóng)業(yè)智能化水平，最終實(shí)現(xiàn)棉花生產(chǎn)由粗放型經(jīng)濟(jì)向集約型經(jīng)濟(jì)的轉(zhuǎn)變。

圖1 采摘機(jī)械臂關(guān)節(jié)終端的位置跟蹤Fig.1 Position tracking of terminal joint for manipulators

圖2 采摘機(jī)械臂終端的速度跟蹤Fig.2 Velocity tracking of terminal joint for manipulators

(1)針對(duì)采摘機(jī)械臂的軌跡跟蹤控制問題，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論設(shè)計(jì)了一個(gè)具有PID增益自適應(yīng)調(diào)節(jié)功能的滑模控制器?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)無需針對(duì)系統(tǒng)的線性化模型且不需要進(jìn)行先驗(yàn)學(xué)習(xí)，它可以在線實(shí)時(shí)應(yīng)用。

(2)設(shè)計(jì)的控制器具有滿意的循跡跟蹤效果，可以滿足實(shí)際工程的應(yīng)用需求。

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