偏心受壓構(gòu)件極限承載力的實(shí)用計(jì)算方法

丁 烽，羅宗保，施文杰

（寧波市城建設(shè)計(jì)研究院有限公司，浙江寧波315012）

0 引言

矩形截面及圓形截面偏心受壓構(gòu)件的計(jì)算在《公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計(jì)規(guī)范》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《橋規(guī)》）中有明確規(guī)定。根據(jù)《公路橋梁抗震細(xì)則》JTG/T B02-01—2008（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《細(xì)則》）第6.8條相關(guān)規(guī)定，延性墩柱剪力設(shè)計(jì)值Vc0的計(jì)算需要求解截面對(duì)應(yīng)軸力下的極限彎矩，且《細(xì)則》中要求按現(xiàn)行公路橋涵設(shè)計(jì)規(guī)范相關(guān)規(guī)定驗(yàn)算墩柱強(qiáng)度，因此如何計(jì)算對(duì)應(yīng)軸力下的正截面極限彎矩就成為擺在工程設(shè)計(jì)人員面前的一道課題。

現(xiàn)在有限元計(jì)算軟件較為普及，計(jì)算偏壓構(gòu)件的極限承載能力不是一件難事，而本文將根據(jù)《橋規(guī)》提供的公式計(jì)算偏壓構(gòu)件的極限承載能力，這樣不僅易于工程設(shè)計(jì)人員理解，且能保證在橋梁抗震計(jì)算中保持《細(xì)則》及《橋規(guī)》的一致性。

1 矩形截面偏壓構(gòu)件極限承載力實(shí)用計(jì)算方法

1.1 計(jì)算方法推導(dǎo)

式（1）、式（2）對(duì)應(yīng)《橋規(guī)》公式（5.3.5-1）、（5.3.5-2）；式（4）、式（5）對(duì)應(yīng)《橋規(guī)》公式（5.3.10-1）、（5.3.10-2）；式（6）對(duì)應(yīng)《橋規(guī)》公式（5.3.1）。

當(dāng)截面達(dá)到極限承載力時(shí)，式（1）、式（2）左右兩邊相等，由式（2）除以式（1）可得：

由式（4）、式（5）代入式（3）可得：

根據(jù)式（8）求出e0后，將e0代入式（5），如果ξ1≥1，則：

由于《細(xì)則》6.8條中求解的是軸力對(duì)應(yīng)的極限彎矩，因此截面偏心距增大系數(shù)η=1，構(gòu)件計(jì)算長(zhǎng)度l0=0，因此：

最終求得Nd對(duì)應(yīng)的極限彎矩Md

根據(jù)式（1）及式（7）可知，偏心受壓構(gòu)件的抗壓能力肯定小于軸心受壓構(gòu)件，因此對(duì)式（1）中x的取值需同時(shí)滿(mǎn)足式（11），根據(jù)工程實(shí)際，x適用條件如下：

根據(jù)已知條件及式（1）～式（12），通過(guò)試算混凝土受壓區(qū)高度x，使式（1）左右兩端相等，便可求得相應(yīng)始偏心距e0，進(jìn)而求得Nd對(duì)應(yīng)的極限彎矩Md。

1.2 算法理論分析

根據(jù)式（1）、式（2）、式（12）可知，Ndu、Mdu是隨受壓區(qū)高度x增大而增大的單調(diào)遞增函數(shù)。根據(jù)式（7）～式（9）可知，es、e0是隨受壓區(qū)高度x變化的函數(shù)f（x）。現(xiàn)在我們來(lái)判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性。

當(dāng)2a′s≤x≤ξbh0，截面為大偏心受壓構(gòu)件，σs=fsd，對(duì)式（7）求導(dǎo)：

當(dāng)ξbh0≤x≤h0，截面為小偏心受壓構(gòu)件，σs=，對(duì)式（7）求導(dǎo)：

由以上計(jì)算可知，當(dāng)2a′s≤x≤h0，es、e0是隨受壓區(qū)高度x增大而減小的單調(diào)遞減函數(shù)。

通過(guò)試算x，使Nd=Ndu，此時(shí)Ndes≡Mdu，計(jì)此時(shí)的x為為為為。當(dāng)x增大時(shí)，Nd＜Ndu、；此時(shí)Nd、Ndes滿(mǎn)足式（1）、式（2）。當(dāng)x減小時(shí)，Nd＞Ndu、Ndes＞Mdu、Md＞；此時(shí)Nd、Ndes不滿(mǎn)足式（1）、式（2）。由此可見(jiàn)當(dāng)Nd=Ndu時(shí)，為Nd對(duì)應(yīng)的極限彎矩。

1.3 計(jì)算實(shí)例

例題1：已知C30鋼筋混凝土橋墩，斷面尺寸b=1 600 mm，h=1 200 mm，As=A′s=16Φ32=12 868 mm2，as=a′s=60 mm，fsd=f′sd=335 MPa，f′cd=20.1 MPa，求《細(xì)則》6.8條中對(duì)應(yīng)軸力為6 000 kN，8 000 kN，15 000 kN，20 000 kN、30 000 kN時(shí)截面的極限彎矩。表1中的程序解為MIDAS CIVIL中的PUSHOVER計(jì)算值。

表1 1 600 mm×1 200 mm矩形截面極限承載能力匯總表

2 圓形截面偏壓構(gòu)件極限承載力實(shí)用計(jì)算方法

2.1 計(jì)算方法推導(dǎo)

已知條件：Nd，r，As，rs，求對(duì)應(yīng)Nd的極限彎矩Md，計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖2所示。

式中：A、B為有關(guān)混凝土承載能力的計(jì)算系數(shù)；C、D為有關(guān)縱向鋼筋承載力的計(jì)算系數(shù)，以上系數(shù)可按《橋規(guī)》附錄C計(jì)算。式（13）、式（14）對(duì)應(yīng)《橋規(guī)》（5.3.9-1）、（5.3.9-2）。

當(dāng)截面達(dá)到極限承載力時(shí)，式（1）、式（2）左右兩邊相等，由式（14）除以式（13）可得：

由于《細(xì)則》6.8條中求解的是軸力對(duì)應(yīng)的極限彎矩，因此截面偏心距增大系數(shù)η=1，構(gòu)件計(jì)算長(zhǎng)度l0=0，最終求得Nd對(duì)應(yīng)的極限彎矩Md。

公式適用條件（保持與《橋規(guī)》附錄C中ξ取值一致）

根據(jù)已知條件及式（13）～式（16）可知，通過(guò)試算ξ（截面實(shí)際受壓區(qū)高度x0與圓形截面直徑的比值），使式（13）左右兩端相等，便可求得相應(yīng)初始偏心距e0，進(jìn)而求得Nd對(duì)應(yīng)的極限彎矩Md。

2.2 算法理論分析

根據(jù)《橋規(guī)》附錄C可知，A、C是隨ξ增大而增大的單調(diào)遞增函數(shù)，因此根據(jù)式（13）可知，Ndu是隨ξ增加而增大的單調(diào)遞增函數(shù)。通過(guò)試算ξ，使Nd=Ndu，此時(shí)Nde0≡Mdu，計(jì)此時(shí)的ξ為，e0為，Md為。

e0隨ξ的變化通過(guò)式（15）較難判斷，可以通過(guò)繪圖的方式來(lái)觀察它的變化，圖3繪制了直徑1 200 mm的鉆孔樁沿周邊均勻配置20Φ25、20Φ28HRB335鋼筋時(shí)的e0－ξ變化曲線(xiàn)。由圖3可知，此時(shí)e0隨ξ的增大而減小。

當(dāng)ξ增大時(shí)此時(shí)Nd滿(mǎn)足式（13）。當(dāng)ξ減小時(shí)此時(shí)Nd不滿(mǎn)足式（13）。由此可見(jiàn)當(dāng)Nd=Ndu時(shí)，為Nd對(duì)應(yīng)的極限彎矩。

2.3 計(jì)算實(shí)例

例題2：已知C30鋼筋混凝土橋墩，斷面尺寸為直徑d=1 200 mm的圓，截面沿周邊均勻配置20Φ28HRB335級(jí)鋼筋，rs=525 mm，f′sd=335 MPa，f′cd=20.1 MPa，求《細(xì)則》6.8條中對(duì)應(yīng)軸力為6 000 kN，8 000 kN，15 000 kN，20 000 kN、30 000 kN時(shí)截面的極限彎矩。表2中的程序解為MIDAS CIVIL中的PUSHOVER計(jì)算值。

表2 直徑1 200 mm圓形截面極限承載能力匯總表

3 結(jié)論

（1）以上分析可知：對(duì)于矩形截面，通過(guò)試算混凝土受壓區(qū)高度x；對(duì)于圓形截面，通過(guò)試算ξ，使已知軸力Nd與截面最大抗力Ndu相等，進(jìn)而通過(guò)相關(guān)公式求得Nd對(duì)應(yīng)的極限彎矩Md。由于Ndu是隨x（或ξ）變化的單調(diào)遞增函數(shù)，因此可以保證當(dāng)Nd=Ndu時(shí)，x（或ξ）解的唯一性。

（2）對(duì)于圓形截面e0—ξ曲線(xiàn)與配筋率ρ相關(guān)，當(dāng)ρ比較大、ξ在0.2附近時(shí)，e0為負(fù)值，其不是單調(diào)遞減函數(shù)，但此時(shí)ξ對(duì)應(yīng)的Ndu往往不具備工程實(shí)際意義。一般當(dāng)ξ＞0.21時(shí)，e0是隨ξ增大而減小的單調(diào)遞減函數(shù)。

（3）該方法在EXCEL中應(yīng)用及其方便，其計(jì)算精度取決于受壓區(qū)高度x（ξ）的遞增步長(zhǎng)。

（4）通過(guò)比較程序計(jì)算結(jié)果和《橋規(guī)》公式計(jì)算結(jié)果可知，兩者相對(duì)誤差不大，對(duì)于抗震計(jì)算來(lái)說(shuō)，能滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求。

[1]JTG D62-2004,公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計(jì)規(guī)范[S].

[2]JTG/T B02-01-2008,公路橋梁抗震細(xì)則[S].

[3]張樹(shù)仁.橋梁設(shè)計(jì)規(guī)范學(xué)習(xí)與應(yīng)用講評(píng)[M].北京:人民交通出版社,2005.

[4]趙志蒙,黃平明.結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)原理計(jì)算實(shí)例[M].北京:人民交通出版社,2007.