用于相移點(diǎn)衍射干涉儀的加權(quán)最小二乘相位提取算法

于 杰

(中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所,吉林長(zhǎng)春 130032)

1 引 言

傳統(tǒng)的干涉條紋測(cè)量方法都是通過(guò)直接判斷干涉條紋或者確定其序號(hào)來(lái)計(jì)算被測(cè)量。由于受到條紋判斷準(zhǔn)確性以及其他一些因素的影響,這種方法精度有限,不能滿足高精度光學(xué)檢測(cè)的要求。自從 1974年 Bruning提出移相干涉技術(shù)以來(lái)[1,2],移相干涉技術(shù)有了廣泛的應(yīng)用。這種技術(shù)能夠減小噪聲的影響,在干涉條紋對(duì)比度不好的情況下也能獲得較好的結(jié)果,降低了光強(qiáng)分布不均勻?qū)y(cè)量精度的影響,避免了激光高斯分布帶來(lái)的影響。實(shí)現(xiàn)這種技術(shù)的關(guān)鍵之一是利用相位提取算法計(jì)算待測(cè)的相位分布[3]。

移相相位提取算法發(fā)展至今已有多種模式,標(biāo)準(zhǔn)移相算法要求移相量是一個(gè)已知量并且要求等間隔移相,這個(gè)要求一般很難滿足。為降低算法對(duì)移相方式的嚴(yán)格要求,Novak提出了幾種移相量為任意值的等間隔多步移相算法,并且通過(guò)理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)找到每一種算法的最佳移相量,當(dāng)移相量為最佳移相量時(shí)相位誤差最小[4,5];Shouhong Tang提出了一種相移量為已知量的非等間隔五步移相算法[6];L.Z.Cai,Q.Liu和 X.L.Yang提出兩種任意隨機(jī)移相相位提取算法[7,8]。這些算法雖然對(duì)某種特定誤差有較強(qiáng)的抑制能力,但是對(duì)于其他的誤差抑制能力較弱,不能滿足超高精度面形檢測(cè)的要求。針對(duì)這一問(wèn)題,本文引入一種權(quán)重待定的加權(quán)最小二乘算法。通過(guò)在最小二乘算法中添加待定的權(quán)重,分析移相干涉技術(shù)中多種誤差源對(duì)算法的影響,得到多組約束方程,通過(guò)求解約束方程確定權(quán)重從而確定算法。

2 權(quán)重待定最小二乘法算法設(shè)計(jì)

移相干涉測(cè)量時(shí),測(cè)量光和參考光相干形成干涉場(chǎng)的光強(qiáng)分布可表示為[9]:

式中A(x,y)為背景光強(qiáng),B(x,y)為調(diào)制光強(qiáng),φ(x,y)為待求解的相位分布,它由待測(cè)光學(xué)波面面形決定,δn(x,y)為引入的相位差。通過(guò)微位移PZT控制系統(tǒng)移動(dòng)待測(cè)鏡,在參考光和測(cè)試光之間引入相位差改變?chǔ)膎(x,y),獲得多組干涉圖以求解出 φ(x,y)。令:

式 (1)可化簡(jiǎn)為:

求解得到系數(shù)Bsin(x,y)和Bcos(x,y),待求的相位分布可表示為:

設(shè)定In(x,y)代表實(shí)際采集的移相干涉圖,并假設(shè)每一幅干涉圖對(duì)應(yīng)的權(quán)重為wn,誤差函數(shù)ε可表示為:

對(duì)等式 (5)分別求A,Bcos,Bsin這 3個(gè)參量的偏導(dǎo)數(shù),當(dāng) 3個(gè)偏導(dǎo)數(shù)為零時(shí)誤差函數(shù)受這 3個(gè)

參量變化的影響最小[6],由此得到:

如果權(quán)重能滿足:

由式 (6)得到待測(cè)相位為:

當(dāng)式 (8)中的權(quán)重取不同的值時(shí),算法對(duì)于各項(xiàng)誤差的敏感程度不同,通過(guò)分析各種誤差的影響得到約束條件,可最終確定待定系數(shù)。影響相位提取算法的誤差主要包括 PZT移相不準(zhǔn),CCD的響應(yīng)非線性和量化誤差,光源的不穩(wěn)定性和振動(dòng)等等。

目前常用的相位提取算法是標(biāo)準(zhǔn)四步算法和Hariharan五步算法[10],其優(yōu)點(diǎn)是對(duì)一些系統(tǒng)誤差敏感度小,并且由于采集的干涉圖比較少,數(shù)據(jù)采集時(shí)間短,后期的數(shù)據(jù)處理也相對(duì)簡(jiǎn)單。

標(biāo)準(zhǔn)四步算法和 Hariharan五步算法的表達(dá)式分別為:

2.1 PZT移相不準(zhǔn)

在移相干涉技術(shù)中,移相不準(zhǔn)是主要的誤差源之一[11],它是由移相器本身的缺陷造成的。移相不準(zhǔn)分為線性移相不準(zhǔn)和非線性移相不準(zhǔn),前者是移相器標(biāo)定后的殘余線性誤差,后者是由于PZT本身的非線性造成的。當(dāng)存在線性和二階非線性移相不準(zhǔn)時(shí),實(shí)際移相量可用理想移相量的多項(xiàng)式表示。實(shí)際移相量與移相不準(zhǔn)Δ δn可表示為:

僅僅存在移相不準(zhǔn)時(shí),可得到相位誤差Δφ:

要實(shí)現(xiàn)算法對(duì) PZT的移相不準(zhǔn)不敏感,需要滿足約束條件:

2.2 CCD響應(yīng)非線性

在探測(cè)器獲取干涉圖的過(guò)程中存在非線性響應(yīng)誤差,這種誤差是由于探測(cè)器的輸出信號(hào)與入射的干涉圖光強(qiáng)信號(hào)之間的響應(yīng)非線性引起的。由于移相算法提取相位時(shí),每個(gè)像素點(diǎn)的相位提取與其他點(diǎn)無(wú)關(guān),所以對(duì) CCD響應(yīng)非均勻性的要求不高[12]。當(dāng)僅僅存在二階非線性響應(yīng)誤差時(shí),探測(cè)器輸出的干涉圖信號(hào)與干涉圖光強(qiáng)信號(hào)之間的關(guān)系以及響應(yīng)ΔIn偏差可表示為[13]:

僅僅存在 CCD的二階響應(yīng)非線性時(shí),可得到相位誤差Δφ:

要實(shí)現(xiàn)算法對(duì)探測(cè)器的二階非線性誤差不敏感,需要滿足的約束條件如下:

2.3 光源的不穩(wěn)定性

光源的不穩(wěn)定性可分為光強(qiáng)不穩(wěn)定性和頻率不穩(wěn)定性。前者使得干涉圖的背景光強(qiáng)和調(diào)制光強(qiáng)發(fā)生變化;后者引入額外相位差,造成移相不準(zhǔn)。

2.3.1 光源的光強(qiáng)不穩(wěn)定

光強(qiáng)不穩(wěn)定性包括短周期的光強(qiáng)噪聲和長(zhǎng)周期的光強(qiáng)波動(dòng)。當(dāng)存在光強(qiáng)的長(zhǎng)期波動(dòng)時(shí),干涉圖可以用幀數(shù)的多項(xiàng)式表示,因此第n幀干涉圖以及探測(cè)器輸出的干涉圖信號(hào)與理想干涉圖光強(qiáng)信號(hào)之間的偏差可分別表示為[13]:

僅僅存在光強(qiáng)波動(dòng)時(shí),可得到相位誤差Δφ為:

要實(shí)現(xiàn)算法對(duì)光源的一階和二階光強(qiáng)波動(dòng)不敏感,需要滿足如下一組約束條件

當(dāng)存在光強(qiáng)的短期噪聲αn時(shí),干涉圖可以表示為:

同樣處理,要實(shí)現(xiàn)算法對(duì)光源的一階和二階光強(qiáng)波動(dòng)不敏感,需要滿足一組約束條件:

由于αn為一個(gè)隨機(jī)量,式 (23)不能在αn為任意值時(shí)都滿足。

2.3.2 光源的頻率不穩(wěn)定

激光器的頻率不穩(wěn)定性可分為長(zhǎng)期的頻率波動(dòng)和短期的頻率噪聲。由頻率與波長(zhǎng)之間的相互關(guān)系可知,不同時(shí)刻激光器的中心波長(zhǎng)不同,這樣會(huì)改變干涉圖的相位,從而造成了一種移相不準(zhǔn)。當(dāng)僅僅存在激光器的頻率波動(dòng)時(shí),引入的額外相位差為:

這種移相不準(zhǔn)與激光器的頻率波動(dòng)大小成正比。當(dāng)僅僅存在長(zhǎng)期波動(dòng)時(shí),頻率可用幀數(shù)的多項(xiàng)式表示為:

上式與前面的 PZT的線性和非線性移相不 準(zhǔn)形式一致,為了消除光源頻率的一階和二階波動(dòng),需要滿足式 (12)。

當(dāng)僅僅存在光源頻率的短期噪聲時(shí),相位提取誤差可表示為:

要實(shí)現(xiàn)算法對(duì)頻率噪聲不敏感,需要滿足如下約束條件:

由于 Δ δn為一個(gè)隨機(jī)量 ,式 (23)不能在 Δ δn為任意值時(shí)都滿足。

2.4 加權(quán)最小二乘算法獲取

綜合考慮上面 2.1,2.2和 2.3節(jié)中的分析,要使得算法對(duì) PZT的移相不準(zhǔn)、CCD的二階響應(yīng)非線性和光源的不穩(wěn)定性不敏感,需要滿足如下條件:

為方便分析,設(shè)定權(quán)重為正實(shí)數(shù)且對(duì)稱(chēng)分布,對(duì)于移相量為π/2的等間隔多步移相,上述方程組共有 12個(gè)方程,假設(shè)移相步數(shù)為 13,求解方程組獲得權(quán)重如下:

3 對(duì)比仿真

仿真生成待測(cè)面形和干涉圖分別如圖1(a)和圖1(b)所示,待測(cè)面形 PV=4.705 nm;RMS=1.007 nm。下面分別對(duì) PZT的移相不準(zhǔn)、CCD的二階響應(yīng)非線性和光源的不穩(wěn)定性做比對(duì)分析。

圖1 仿真圖Fig.1 Simulating pictures

3.1 PZT移相不準(zhǔn)對(duì)比仿真

當(dāng)存在 PZT的移相不準(zhǔn)時(shí),對(duì)比仿真結(jié)果如圖2所示。圖2中的誤差為與相位提取誤差值對(duì)應(yīng)的面形檢測(cè)誤差值,下面仿真中的誤差值也是如此。

圖2 移相不準(zhǔn)引起的檢測(cè)誤差Fig.2 Testing errors due to phase-shifting errors

圖2(a)和圖2(b)分別為線性移相不準(zhǔn)從0%變化到 10%時(shí)的面形檢測(cè)誤差 PV曲線和RMS曲線;圖2(c)和圖2(d)分別為線性和二階非線性移相不準(zhǔn)從 0%變化到 10%時(shí)的處理誤差PV曲線和 RMS曲線。明顯新算法抑制 PZT的線性和二階非線性移相不準(zhǔn)誤差的能力遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于其他兩種算法。

3.2 CCD響應(yīng)非線性和量化誤差對(duì)比仿真

當(dāng)存在 CCD的二階響應(yīng)非線性,對(duì)比仿真結(jié)果如圖3所示,圖3(a)和圖3(b)分別為 CCD二階響應(yīng)非線性從 0%變化到 10%時(shí)的面形檢測(cè)誤差 PV曲線和 RMS曲線。明顯三種算法對(duì)于CCD的二階響應(yīng)非線性完全不敏感。

圖3 CCD的二階響應(yīng)非線性引入的檢測(cè)誤差Fig.3 Testing errors due to CCD nonlinearity of 2nd order

根據(jù) C.P.Brophy的研究結(jié)果[14],當(dāng)干涉條紋的對(duì)比度分別為 0.8和 1時(shí),面形檢測(cè)誤差與量化深度之間的曲線如圖4所示。圖4中新算法對(duì)探測(cè)器的量化誤差抑制能力比四步算法、五步算法更強(qiáng)。

圖4 CCD量化誤差引入的檢測(cè)誤差Fig.4 Testing errors due to CCD quantization

3.3 光源不穩(wěn)定性對(duì)比仿真

當(dāng)存在光源的光強(qiáng)不穩(wěn)定性時(shí),對(duì)比仿真結(jié)果如圖5所示。圖5(a)和圖5(b)分別為光源的功率波動(dòng)幅度從 0.5%變化到 50%時(shí)的面形檢測(cè)誤差 PV曲線和 RMS曲線;圖5(c)和圖5(d)分別為光源的長(zhǎng)期功率波動(dòng)的幅度為 5%,短期功率噪聲幅度為 ±2%時(shí)的面形檢測(cè)誤差 PV曲線和 RMS曲線。明顯新算法抑制光源的一階二階光強(qiáng)波動(dòng)影響的能力遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于其他兩種算法。從圖5中可得,新算法對(duì)于光強(qiáng)噪聲的抑制能力也優(yōu)于其他兩種算法。

圖5 光強(qiáng)不穩(wěn)定性引起的檢測(cè)誤差Fig.5 Testing errors due to intensity instability

當(dāng)存在光源的頻率不穩(wěn)定性時(shí),對(duì)比仿真結(jié)果如圖6所示。圖6(a)和圖6(b)分別為頻率波動(dòng)從 ±0.1 MHz變化到 ±10 MHz時(shí)的面形檢測(cè)誤差 PV曲線和 RMS曲線;圖6(c)和圖6(d)分別為頻率噪聲大小為 ±2 MHz,頻率波動(dòng)從±0.1 MHz變化到 ±10 MHz時(shí)的面形檢測(cè)誤差PV曲線和 RMS曲線。圖6中可得,新算法抑制光源的一階二階頻率波動(dòng)影響的能力遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于其他兩種算法。新算法對(duì)于頻率噪聲的抑制能力也優(yōu)于其他兩種算法。

圖6 頻率不穩(wěn)定性引入的檢測(cè)誤差Fig.6 Testing errors due to frequency instability

4 結(jié) 論

本文首先利用權(quán)重待定的方法,通過(guò)分析多種誤差對(duì)等間隔多步移相算法的影響得到多組約束條件,聯(lián)立多組約束條件進(jìn)而確定權(quán)重,從而得到對(duì)多種誤差不敏感的新算法。其次,利用新算法、四步算法以及 Hariharan五步算法進(jìn)行比對(duì)仿真。仿真結(jié)果驗(yàn)證了新算法抑制 PZT線性和二階非線性移相不準(zhǔn)、光強(qiáng)的一階和二階波動(dòng)、光源頻率的一階和二階波動(dòng)等誤差的能力遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于四步算法和 Hariharan五步算法。同時(shí),新算法抑制 CCD的量化誤差、光強(qiáng)噪聲、光源頻率噪聲的能力也要優(yōu)于其他兩種算法,且新算法與其他兩種算法對(duì)于 CCD的二階響應(yīng)非線性完全不敏感。結(jié)果顯示,新算法能滿足檢測(cè)精度達(dá)到 0.1 nm的超高精度面形檢測(cè)的要求。

[1] BRUN ING J H,SCHRE IBER H.Optical Shop Testing[M].3rd edition.Hoboken:A JohnW iley&Sons,2007.

[2] BRUN ING J H,HERR IOTT D J,BALLAGHER J E,et al..Digital wavefront measuring interferometer for testing optical surface and lenss[J].Appl.Opt.,1974,13(11):2693-2703.

[3] SOMMARGREN G E.Phase shifting diffraction interferometry formeasure extreme ultravioletoptics[J].OSA TrendsOpt.Photonics,1999,4:108-112.

[4] NOVAK J.Five-step phase-shifting algorithms with unknown values of phase shift[J].Optik,2003,2(114):63-68.

[5] NOVAKJ,NOVAK P,M IKSA.Multi-step phase-shifting algorithms insensitive to linearphase shift errors[J].Opt.Comm unications,2008,281:5302-5309.

[6] TANG SH H.Generalized algorithm for phase shifting interferometry[J].SPIE,1996,2860:34-44.

[7] CA IL Z,L IU Q,YANG X L.Phase-shift extraction and wave-front reconstruction in phase-shifting interferometrywith arbitrary phase steps[J].Opt.Lett.,2003,28(19):1808-1810.

[8] CA IL Z,L IU Q,YANG X L.Generalized phase-shifting interferometry with arbitrary unknown phase steps for diffraction objects[J].Opt.Lett.,2004,29(2):183-185.

[9] CREATH K.Error sources in phase-measuring interferometry[J].SPIE,1992,1720:428-435.

[10] HAR I HARAN P,OREB B F,EIJU T.Digitalphase-shifting interferometry:a simple error-compensating phase calculation algorithm[J].Appl.Opt.,1987,26(13):2504-2506.

[11] SCHW IDER J,BUROW R,ELSSNER K-E,et al..Digital wave-front measuring interferometry:some systematic error sources[J].Appl.Opt.,1983,22(21):3421-3432.

[12] 程萬(wàn)杰,趙杰,蔡鶴皋.CCD像素響應(yīng)非均勻的校正方法[J].光學(xué)精密工程,2008,16(2):314-318.CHENGW J,ZHAO J,CA IH G.Correctionmethod for pixel response nonuniformity of CCD[J].Opt.Precision Eng.,2008,16(2):314-318.(in Chinese)

[13] PH ILL ION D W.General methods for generating phase-shifting interferometry algorithms[J].Appl.Opt.,1997,36(31):8098-8115.

[14] BROPHY P.Effect of intensity error correlation on the computed phase of phase-shifting interferometry[J].Opt.Soc.Am.A,1990,7(4):537-541.