基于最優(yōu)小波包基的信號(hào)增強(qiáng)算法研究及應(yīng)用

張花花

（蘭州交通大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院 蘭州 730070）

0 引言

小波包基的選擇對(duì)于信號(hào)的小波包變換相當(dāng)重要,它決定著小波包分解的效果。由于小波包基種類繁多,其特性各不相同,對(duì)于同一個(gè)信號(hào),選擇不同的小波包基進(jìn)行分解,其結(jié)果會(huì)有所不同。如何選擇小波包基對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解才能得到最佳的分解效果是在小波包分解時(shí)首先會(huì)遇到的問題，所以我們希望根據(jù)不同分析信號(hào)的特征來選擇一個(gè)最好的小波包基，用來表達(dá)信號(hào)的特點(diǎn)。于是，本文選擇目前比較常用的香農(nóng)熵來作為尋找最優(yōu)小波包基的代價(jià)函數(shù)，根據(jù)Shannon熵準(zhǔn)則的最優(yōu)小波包基信號(hào)去噪算法，并將其應(yīng)用于帶噪語音信號(hào)的消噪。該算法在最優(yōu)小波包基的基礎(chǔ)上，對(duì)進(jìn)行小波包分解后的小波包系數(shù)進(jìn)行閾值處理，用量化后的系數(shù)重構(gòu)得到去噪后的信號(hào)。通過仿真，我們可以驗(yàn)證該方法具有良好的去噪性能，能夠識(shí)別信號(hào)所包含的頻率成分，很好地保留有用信號(hào)，從而達(dá)到濾波去噪的目的。而且比較仿真結(jié)果可見，該方法消噪效果明顯優(yōu)于基于小波變換的去噪算法，具有廣泛的應(yīng)用前景。

1 最優(yōu)小波包基的選取

1.1 小波變換與小波包變換基本理論

1.1.1 小波函數(shù)和小波包函數(shù)的定義

為尺度因子，b為平移因子。

1.1.2 小波包的正交性質(zhì)

正交性質(zhì)是小波包基最主要的性質(zhì)，本文中主要從平移正交性質(zhì)和的正交關(guān)系兩方面來解釋小波包基的正交性質(zhì)。

1.1.3 小波包的分解與重構(gòu)

我們知道信號(hào) ()ft的正交小波分解的公式為：

從式（14）和式（15）中可以看出，用Mallat算法完全可以操作小波包分解。對(duì)于每一層的小波包分解實(shí)際上是把所有上一層的子帶都進(jìn)行了劃分，而小波分解只是把低頻子帶進(jìn)行了劃分。

1.2 最優(yōu)小波包基的選擇

小波庫(kù)中有很多小波包基，而不同的小波包基一般具有不同的時(shí)頻局部化能力，反映不同信號(hào)的特性，因此，我們希望根據(jù)不同分析信號(hào)的特征來選擇一個(gè)最優(yōu)的小波包基，用來表達(dá)信號(hào)的特征。

最佳小波包的選擇取決于信號(hào)本身的性質(zhì)，信號(hào)分解的目的和最佳原則的選擇這幾個(gè)方面。而要刻畫系數(shù)的性質(zhì)，首先要定義一個(gè)序列的代價(jià)函數(shù)，然后在小波庫(kù)的所有小波包基中尋找使代價(jià)函數(shù)最小的基。代價(jià)函數(shù)可以定義為任何關(guān)于序列的實(shí)函數(shù)W，但使用最多的是能測(cè)得集中度的可加性代價(jià)函數(shù)W。其中，集中度是指當(dāng)系數(shù)差不多大時(shí)W應(yīng)大，而當(dāng)系數(shù)差別很大時(shí)W應(yīng)??；可加性指如果滿足，則稱W為一可加性的信息代價(jià)函數(shù)。

根據(jù)上述定義可以定義很多代價(jià)函數(shù)，目前比較常用的是shannon熵，即定義序列的熵為：

上面我們對(duì)最優(yōu)基做了解釋，下面來討論一下如何選擇最優(yōu)基的方法。

如圖1所示，上方的空間為母空間，下方的空間為子空間。在每一個(gè)空間都標(biāo)上了由式（16）求出的代價(jià)函數(shù)。圖中，陰影部分為最后所選擇的小波包。如果子空間的代價(jià)總和大于母空間的代價(jià)，這說明這一分解是值得的，因此，該子空間應(yīng)予以保留。反之，若子空間的代價(jià)總和大于母空間的代價(jià)，則這一分解是不合適的，應(yīng)放棄，即保留母空間。

圖 1 最優(yōu)小波包選擇

2 基于最優(yōu)小波包的信號(hào)閾值去噪算法

2.1 選擇合適的閾值

要達(dá)到好的降噪效果，除了選擇最優(yōu)的小波包基函數(shù)以外，選擇一個(gè)合適的閾值也是很關(guān)鍵的，若閾值太小，就無法將噪聲完全剔除；相反地，若閾值太大，有用信號(hào)將被濾掉，引起偏差。由于小波包分解系數(shù)在不同頻帶反映信號(hào)的不同特征，很難找到一個(gè)特別有效的統(tǒng)一的閾值算法對(duì)各個(gè)頻帶進(jìn)行處理，因此本文對(duì)于小波包分解在不同頻帶上的系數(shù)采用不同的閾值選擇算法。

而對(duì)于信號(hào)突變的部位就采用rigrsure閾值: 該閾值即是利用Stein 的無偏估計(jì)求出的SURE閾值，其具體算法如下：

式中，sort是MATLAB中的排序命令。

(2)若取域值為 )(2ksx的第k個(gè)元素的平方根，即：

(3)根據(jù)所得到的風(fēng)險(xiǎn)曲線 )(kRisk，記其最小風(fēng)險(xiǎn)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的值為mink，那么rigrsure閾值定義為 ：

2.2 基于最優(yōu)小波包的信號(hào)去噪算法具體步驟

（1）根據(jù)給定的Shannon熵標(biāo)準(zhǔn)和選擇方法，選擇適合帶降噪信號(hào)的最優(yōu)小波包基；

（2）對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波包分解時(shí)，先確定所需分解的層次N，然后對(duì)含噪信號(hào)進(jìn)行N層小波包分解；

（3）對(duì)分解后的各個(gè)頻段根據(jù)不同的閾值選擇方法選擇閾值，對(duì)最優(yōu)小波包基每個(gè)節(jié)點(diǎn)上的分解系數(shù)進(jìn)行閾值量化，閾值量化采用軟閾值方法；

（4）利用經(jīng)過閾值量化后的小波包基系數(shù)進(jìn)行信號(hào)的重構(gòu)，所得到的信號(hào)就是經(jīng)過最優(yōu)小波包基去噪后的信號(hào)。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

以leleccum信號(hào)為例，首先根據(jù)小波包分解重構(gòu)原理，通過實(shí)例來演示一下利用MATLAB來對(duì)小波包進(jìn)行重構(gòu)，程序運(yùn)行仿真圖如2所示。

圖2 小波包分解重構(gòu)

采用基于最優(yōu)小波包基的閾值降噪算法對(duì)加了隨機(jī)噪聲的leleccum信號(hào)進(jìn)行降噪處理，同時(shí)為了對(duì)比小波包降噪與小波降噪，對(duì)含隨機(jī)噪聲的leleccum信號(hào)也進(jìn)行了小波降噪，其仿真圖如3所示。

圖3 小波包降噪與小波降噪仿真圖

仔細(xì)觀察上圖可以看出，對(duì)比c仿真圖和d仿真圖，在0到500區(qū)間段與2500到3000區(qū)間段內(nèi)，在采用相同的小波母函數(shù)、分解層數(shù)和閾值選取方法的情況下有明顯的差異，基于最優(yōu)小波包基信號(hào)去噪算法效果明顯優(yōu)于基于小波變換的去噪算法，具有更精細(xì)的信噪分離能力。

4 結(jié)論

本文深入研究了基于最優(yōu)小波包基的信號(hào)降噪噪算法，通過利用MATLAB仿真來驗(yàn)證對(duì)加噪的leleccum信號(hào)進(jìn)行基于最優(yōu)小波包和小波的信號(hào)消噪。該算法在最優(yōu)小波包基的基礎(chǔ)上，利用sym6對(duì)含噪信號(hào)進(jìn)行了5層分解后再對(duì)其進(jìn)行閾值量化，用量化后的系數(shù)重構(gòu)得到去噪后的信號(hào)。仿真結(jié)果表明，該方法具有良好的去噪性能，能夠識(shí)別和確定信號(hào)所包含的頻率成分，根據(jù)Shannon熵準(zhǔn)則選擇一個(gè)最優(yōu)的小波包基來濾除信號(hào)的周期分量和噪聲，保留了所需的信號(hào)，達(dá)到了濾波去噪的目的。并且由仿真結(jié)果比較可見，該方法消噪效果明顯優(yōu)于基于小波變換的去噪算法，將具有更為廣泛的應(yīng)用前景。

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