指數(shù)穩(wěn)定雙系統(tǒng)同時近似可觀測的充分條件

楊 威,李勝家

指數(shù)穩(wěn)定雙系統(tǒng)同時近似可觀測的充分條件

楊 威,李勝家

(山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西太原030006)

利用指數(shù)穩(wěn)定半群生成元的譜理論,得到了判斷指數(shù)穩(wěn)定雙系統(tǒng)在[0,∞)同時近似可觀測的充分條件.

線性系統(tǒng);指數(shù)穩(wěn)定;同時近似可觀測性

0 引言

線性系統(tǒng)的控制理論在航天航空、航海、工業(yè)生產(chǎn)過程以及社會經(jīng)濟等領(lǐng)域有著非常廣泛的應(yīng)用.學(xué)者們一直對彈性振動系統(tǒng)的建模和振動控制問題有著廣泛而深入的研究,在振動系統(tǒng)的譜分析、能控性、反饋鎮(zhèn)定和邊界控制等方面取得了很多成果[1-4].此外,許多學(xué)者開始尋找多系統(tǒng)同時可控和同時可觀測的判斷條件,即:對于同一輸入、輸出如何確定它們是同時可控和同時可觀測的,見文獻[5-7].但是,絕大部分研究成果都集中于具體雙系統(tǒng)方程的同時可控性和可觀測性,對于抽象的雙系統(tǒng)方程結(jié)果很少.本文考慮如下兩個抽象指數(shù)穩(wěn)定雙線性系統(tǒng)(A1,C1)和(A2,C2)的同時近似可觀測性,其狀態(tài)分別用z1和z2表示:

其中,“·”表示對時間t的微分,A1和A2分別是相應(yīng)狀態(tài)空間上強連續(xù)算子半群的生成元,C1和C2為相容性觀測算子.我們利用指數(shù)穩(wěn)定半群生成元的譜理論,得到了判斷指數(shù)穩(wěn)定雙系統(tǒng)在[0,∞)同時近似可觀測的充分條件.

1 主要結(jié)果及其證明

假設(shè)X,Y是Hilbert空間,算子A是空間X上強連續(xù)半群(T(t))t≥0的無窮小生成元.定義Hilbert空間X1=(D(A),‖·‖1),其中‖z‖1=‖(βI-A)z‖,β∈ρ(A)固定,且算子C∈L(X1,Y)是相應(yīng)于半群(T(t))t≥0的相容性觀測算子.容易驗證,若算子C∈L(D(A),Y),則算子C一定是相容性觀測算子.算子Ψ∞:D(A)?X→L2([0,∞),Y)定義如下:

顯然算子Ψ∞可以連續(xù)的延拓到X上,稱Ψ∞為由算子A和C所成的輸出映射.我們稱系統(tǒng):

在[0,∞)上是近似可觀測的,如果對于任意的非零元x∈D(A)都有:∫∞0‖CTtx‖2dt>0成立.

引理1[8]如果系統(tǒng):

在[0,∞)上是精確可觀測的,那么下面的估計式成立:

存在常數(shù)m>0,使得對于任意的s∈C-(其中C-表示復(fù)平面C的左開半平面)和任意的x∈D(A),都有:

事實上,可以取上式中的m為由系統(tǒng)本身所確定的常數(shù):

引理2 設(shè)A1在Hilbert空間X1上生成C0-半群(T1(t))t≥0,A2在Hilbert空間X2上生成C0-半群(T2(t))t≥0.那么,算子在X1×X2上生成指數(shù)穩(wěn)定C0-半群的充要條件為C0-半群(T1(t))t≥0和C0-半群(T2(t))t≥0均為指數(shù)穩(wěn)定的.

證明 (必要性)由于(T1(t))t≥0和(T2(t))t≥0都是指數(shù)穩(wěn)定的,因此對于任意的x1∈X1和x2∈X2都存在γx1<∞和γx2<∞使得:

由x的任意性知,C0-半群(T1(t))t≥0為指數(shù)穩(wěn)定的.同理,取可得,C0-半群(T2(t))t≥0為指數(shù)穩(wěn)定的.

引理3[8]設(shè)A是Hilbert空間X上強連續(xù)半群的生成元,如果‖(sI-A)-1‖在ρ(A)上是有界的,那么X={0}.

設(shè)系統(tǒng)(A1,C1)和(A2,C2)在[0,∞)上均是精確可觀測的,則利用引理1可以計算出相應(yīng)的m1和m2.當(dāng)他們滿足一定條件時,便得下述定理.

定理1 設(shè)A1在Hilbert空間X1上生成指數(shù)穩(wěn)定C0-半群(T1(t))t≥0,A2在Hilbert空間X2上生成指數(shù)穩(wěn)定C0-半群(T2(t))t≥0.設(shè)Ci∈L(D(Ai),Y)是相對于(Ti(t))t≥0,(i=1,2)的相容性觀測算子且系統(tǒng)(A1,C1)和(A2,C2)在[0,∞)上均是精確可觀測的.假若系統(tǒng):

滿足:

那么系統(tǒng)(A1,C1)和(A2,C2)在[0,∞)上是同時近似可觀測的,其中α=min(ω1,ω2),-ω1,-ω2分別為半群(T1(t))t≥0和(T2(t))t≥0的增長階.

利用半群的性質(zhì)可知,對?x∈D(A)且?t,τ≥0,有

再利用半群的指數(shù)穩(wěn)定性知:

因為D(A)在X1×X2中稠密,且(2)式兩端都是關(guān)于x的連續(xù)函數(shù),故上式對于任意的x∈X1×X2和τ≥0均成立.

令Z=KerΨ∞,因此Z是X1×X2的一個閉子空間,且Z是T的一個不變子空間.令ˉT為T限制在Z上的作用,即:ˉT=T|Z.因此ˉT是Z上的強連續(xù)半群,且設(shè)ˉA是ˉT的生成元,滿足:

D(ˉA)=D(A)∩Z,D(ˉA)?KerC,

即:ˉA為A限制在D(ˉA)上的作用.

由引理1以及系統(tǒng)(Ai,Ci)(i=1,2)在[0,∞)上的精確可觀測性,任給s∈C-和x∈D(ˉA)可知: C也是相容的.定義算子Ψ∞:D(A)→L2([0,∞),Y)為

此時取s∈C-α/2,我們有:

故對于任意的s∈ρ(ˉA)∩C-α/2

由引理2可知ˉT是指數(shù)穩(wěn)定的,故‖(sI-ˉA)-1‖是有定義的且在半平面{s∈C|Res>-α/2}是有界的.利用(3)可知‖(sI-ˉA)-1‖在ρ(ˉA)上是有界的.由引理3知:Z={0},因此對于任意的x≠0,有Ψ∞x≠0.故系統(tǒng):

在[0,∞)上是近似可觀測的.

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Sufficient Conditions for Simultaneous Approximate Observability of Two Exponentially Stable Systems

YANG Wei,LI Sheng-jia
(School of Mathematical Sciences,Shanxi University,Taiyuan030006,China)

By using the spectral theory of the generator of exponentially stable semigroup,the sufficient conditions for simultaneous approximate observability in[0,∞)of the following two exponentially stable systems are obtained.

linear system;exponentially stable;simultaneous exact observability

O177

A

0253-2395(2010)03-0317-04

2010-03-16;

2010-05-18

山西省自然科學(xué)基金(2007011002)

楊 威(1982-),男,山西大同人,助教,主要從事分布參數(shù)控制系統(tǒng)研究.E-mail:yangwei@sxu.edu.cn