零成分搜索法的模擬分析

馬海南,張應(yīng)山

零成分搜索法的模擬分析

馬海南1,張應(yīng)山2

(1.浙江工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院人文社科部,浙江紹興312000; 2.華東師范大學(xué)統(tǒng)計(jì)與精算學(xué)系,上海200241)

主要考察了零成分搜索法的模擬分析.首先簡述了零成分搜索法的計(jì)算步驟,其次用一個模擬例子闡述了零成分搜索法的應(yīng)用過程;最后模擬計(jì)算了零成分搜索法進(jìn)行列顯著性判斷時所犯兩類錯誤概率的大小.模擬分析結(jié)果表明,零成分搜索法不僅可以較好地識別不顯著列,而且對誤差方差的估計(jì)也有不錯的結(jié)果.

正交表;矩陣像;飽和模型;子成分;零成分搜索

0 引言

針對飽和正交表模型,文[1]提出了非中心F統(tǒng)計(jì)量[2]和零效應(yīng)搜索[3]兩種方法,鑒于零效應(yīng)搜索法在兩水平飽和正交表上的成功應(yīng)用,我們將該思想推廣到任意水平以及混合水平,提出了零成分搜索法[4].雖然文[4]中已經(jīng)證明,零成分搜索法中使用的W統(tǒng)計(jì)量具有一些比較好的性質(zhì),但是其在識別零成分時是否真如我們預(yù)料的那么有效,仍然需要我們做進(jìn)一步研究.本文通過模擬分析表明,零成分搜索法不僅可以較好地識別不顯著列,而且對誤差方差的估計(jì)也有不錯的結(jié)果.

全文主要由三部分構(gòu)成.第一部分簡述了零成分搜索法的計(jì)算步驟;第二部分模擬零成分搜索法的實(shí)際應(yīng)用過程;第三部分考察零成分搜索法在列顯著性判時所犯兩類錯誤概率的大小.

1 零成分搜索法

假設(shè)飽和正交表Ln(v1,…,vm)和列對應(yīng)的矩陣像依次為A1,…,Am,總均值列所對應(yīng)的矩陣像為A0(矩陣像的定義可參看文[5-7]).由矩陣像的定義,如下分解式成立:這里簡述零成分搜索法的計(jì)算步驟:

1、進(jìn)行成分分解,得到子成分及子矩陣陣像,求出子平方和,得到如下分解式:

計(jì)算平方和SSj,x=YTAj,xY,x=1,…,(vj-1),j=1,…,m,并且有

2、對這n-1個部分平方和進(jìn)行排序,得到n-1個次序統(tǒng)計(jì)量ξ1,…,ξn-1,利用這些次序統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造W統(tǒng)計(jì)量:

從W2,…,Wn-1中找出第一個比相應(yīng)W統(tǒng)計(jì)量臨界值(由模擬分布確定)大的那個,之前的那些次序統(tǒng)計(jì)量對應(yīng)的子成分都可以看做是零成分,其余都是非零成分.

3、不妨假設(shè)前u個次序統(tǒng)計(jì)量相應(yīng)的子成分為零成分,誤差方差的估計(jì)公式為:

對其他的非零成分θv(對應(yīng)的次序統(tǒng)計(jì)量為ξv)考慮假設(shè)檢驗(yàn)問題:

構(gòu)造F統(tǒng)計(jì)量:

在原假設(shè)條件下Fv服從F(1,u)分布.

4、參數(shù)向量的最小二乘無偏估計(jì)值:^Θt=AtY,t=0,1,…,m.

2 模擬分析

取飽和正交表其相應(yīng)統(tǒng)計(jì)分析模型

不妨簡記為:

約束條件:β11+β12+β13=0,β21+β22+β23=0,β31+β32+β33=0,β41+β42+β43=0.另外記β1=(β11,β12,β13)T, β2=(β21,β22,β23)T,β3=(β31,β32,β33)T,β4=(β41,β42,β43)T.

先隨機(jī)取定參數(shù)(由約束條件每個列向量中都有一個參數(shù)是由其他參數(shù)所決定的),再產(chǎn)生9個隨機(jī)數(shù)εi～N(0,σ2),這里需要注意控制所取參數(shù)的大小.如果要使得該參數(shù)為顯著,則其絕對值應(yīng)該大于3σ;如果該參數(shù)不顯著,則可以取該參數(shù)值比較小或?yàn)榱?由上述模型,就可以得到9個觀測值,再根據(jù)9個觀測值,可以對參數(shù)進(jìn)行估計(jì)并且做方差分析.

下面通過一個具體的模擬例子來看看零成分搜索法的應(yīng)用過程,先給定各個主效應(yīng)參數(shù)的值(P377表4),再產(chǎn)生9個隨機(jī)數(shù)(P377表1),這樣得到9個觀測值(P377表1),有了這9個觀測值,就可以按照零成分搜索法的數(shù)據(jù)分析步驟進(jìn)行計(jì)算,得到以下結(jié)果(表2,表3,表4).

表1 隨機(jī)數(shù)及測值(σ2=4)Table 1 Random Numbers and Observations(σ2=4)

表2 零成分搜索表Table 2 The Table of Searching Zero-Decompositon

表3 非零子成分方差分析表Table 3 The Table of Variance Analysis to Non-Zero-Decompostion

表4 效應(yīng)參數(shù)估計(jì)及顯著性判斷Table 4 Estimation of Main Effect Parameters and Judgement of Column Significant

結(jié)果分析:正交表第四列的效應(yīng)值被人為設(shè)置為0,表2的零成分搜索結(jié)果也正好將該列對應(yīng)的兩個子成分都識別為零成分,這表明零成分搜索法的確能夠識別出零成分;表3中的誤差方差的估計(jì)在0.5倍左右,這個結(jié)果在飽和情形已經(jīng)算是相當(dāng)不錯的結(jié)果;表4中對各列效應(yīng)參數(shù)的估計(jì)也是比較令人滿意的,估計(jì)誤差基本在σ的一倍左右.

3 列顯著性判斷兩類錯誤概率的模擬計(jì)算

上節(jié)對零成分搜索法進(jìn)行了模擬分析,然而僅僅模擬一次具有很大的偶然性,本節(jié)應(yīng)用模擬的辦法來計(jì)算零成分搜索法進(jìn)行列顯著性判斷時犯兩類錯誤的概率.

對飽和正交表列效應(yīng)的顯著與否,用統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行判斷,必然導(dǎo)致兩類錯誤的產(chǎn)生,這兩類錯誤分別是:將不顯著列誤判為顯著(第一類錯誤);將顯著列誤判為不顯著(第二類錯誤),對我們的問題來講,第二類錯誤應(yīng)該盡量減少.

應(yīng)用模擬的辦法來計(jì)算這兩類錯誤發(fā)生的概率,具體做法如下:選取一張飽和正交表,對該表的所有列都安排因子,但是每列對應(yīng)的因子是否顯著則用隨機(jī)的方法給出.如果該列被指定為顯著,則正效應(yīng)取一個大于σ的隨機(jī)值(負(fù)效應(yīng)由這些約束條件決定),如果該列被指定為不顯著,則所有效應(yīng)取為比較小或零.然后產(chǎn)生隨機(jī)數(shù),得到觀測數(shù)據(jù),對這些以觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,得到一個關(guān)于各列顯著性判斷的結(jié)果.將這個結(jié)果與真實(shí)結(jié)果進(jìn)行比較,得到是否誤判的結(jié)論.

進(jìn)行一定次數(shù)的模擬,統(tǒng)計(jì)模擬過程中隨機(jī)得到某列是顯著或不顯著的次數(shù),并統(tǒng)計(jì)該列顯著時被誤判為不顯著的次數(shù)以及該列不顯著時被誤判為顯著的次數(shù).利用后面的次數(shù)除以前面對應(yīng)的次數(shù),就分別得到第一和第二類錯誤的概率.此外,還可以計(jì)算列顯著性判斷時誤判次數(shù)的一個統(tǒng)計(jì)數(shù)字.

仍然以飽和正交表L9(34)為例,進(jìn)行模擬.

模擬一:考慮顯著性列正效應(yīng)在(3σ,8σ)隨機(jī)取值(見表5).

表5 正效應(yīng)在(3σ,8σ)隨機(jī)取值時一千次模擬誤判次數(shù)與兩類錯誤概率Table 5 Counts of errors and probability of two types of errors to 1 000 times simulation when positive effects are random numbers in(3σ,8σ)

模擬二:考慮顯著性列正效應(yīng)在(2σ,4σ)隨機(jī)取值(見表6).

表6 正效應(yīng)(2σ,4σ)隨機(jī)取值時一千次模擬誤判次數(shù)與兩類錯誤概率Table 6 Counts of errors and probability of two types of errors to 1 000 times simulation when positive effects are random numbers in(2σ,4σ)

模擬三:考慮顯著性列正效應(yīng)在(σ,3σ)隨機(jī)取值(見表7).

表7 正效應(yīng)(σ,3σ)隨機(jī)取值時一千次模擬誤判次數(shù)與兩類錯誤概率Table 7 Counts of Errors and Probability of Two Types of Errors to 1000 Times Simulation when positive effects are random numbers in(σ,3σ)

從誤判次數(shù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)情況來看,零成分搜索法全誤判次數(shù)為0,無誤判次數(shù)所占比重可以達(dá)到70%以上,誤判兩個以上的次數(shù)比較小,誤判一個的次數(shù)相對較多,不過仍然在可以接受的范圍之內(nèi).

從兩類錯誤概率的模擬計(jì)算數(shù)據(jù)我們可以發(fā)現(xiàn),隨著顯著效應(yīng)取值逐漸靠近誤差方差,犯兩類錯誤的概率也在逐漸變大.另外該方法犯第二類錯誤的概率比較小,而犯第一類錯誤的概率比較大,這與本問題的要求一致,即寧可接受將一個不顯著的列判為顯著列,也不能忍受將一個顯著列誤判為不顯著列.當(dāng)然如果使得犯兩類錯誤的概率都比較小,最好的辦法就是增加試驗(yàn)次數(shù).

[1] 張曉琴.正交飽和效應(yīng)模型的統(tǒng)計(jì)分析[D].上海:華東師范大學(xué),2007.

[2] 張曉琴.正交飽和設(shè)計(jì)的統(tǒng)計(jì)分析[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì),2007,23(1):91-101.

[3] 張曉琴.二水平正交飽和設(shè)計(jì)的統(tǒng)計(jì)分析-零效應(yīng)搜索法[J].華東師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2007,24(1):51-59.

[4] 潘長緣,陳雪平,張應(yīng)山.正交表列效應(yīng)的約束條件檢驗(yàn)[J].山西大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2008,31(3):380-384.

[5] 張應(yīng)山.多邊矩陣?yán)碚揫M].北京:中國統(tǒng)計(jì)出版社,1993.

[6] 張應(yīng)山.正交表的數(shù)據(jù)分析及其的構(gòu)造[D].上海:華東師范大學(xué),2005.

[7] ZHANG Y S,LU Y Q,PANG S Q.Orthogonal Arrays Obtained by Orthogonal Decomposition of Projection Matrices[J]. Statistica Sinica,1999,9:595-604.

Simulation Analysis of Searching Zero-Decomposition

MA Hai-nan1,ZHANG Ying-shan2
(1.Department ofHumanities and Social Sciences,Zhejiang Industry Polytechnic College,Shaoxing312000,China; 2.Department of Statistics and Actuarial Science,East China Normal University,Shanghai200241,China)

The simulation analysis of Searching Zero-Decompostion was studied.Firstly,the step of Searching Zero-Decompostion was listed.Secondly an example to simulate the procedure of Searching Zero-Decompostion was specified.Thirdly the probability of two types of errors was also calculated when judging a colume is significant or not.The results simulation analysis illustrated that Searching Zero-Decompostion not only distinguishs the non-signficant column from unknown column successfully,but also estimates the variance of errors well.

orthogonal arrays;matrix images;saturated model;decompositon;searching Zero-Decompostion

O212.6

A

0253-2395(2010)03-0375-05

2009-10-22

國家自然科學(xué)基金(10571045);國家自然科學(xué)基金(44k55050);高校博士點(diǎn)專項(xiàng)基金

馬海南(1978-),浙江嵊州人,在職碩士,講師,主要從事概率統(tǒng)計(jì)方面的研究.E-mail:mhn78@sina.com