一類含有2n個非零元的極小譜任意符號模式

王燕玲,邵燕靈

一類含有2n個非零元的極小譜任意符號模式

王燕玲,邵燕靈

(中北大學(xué)數(shù)學(xué)系,山西太原030051)

設(shè)A為n階符號模式矩陣,若對任意給定的一個n次首1實系數(shù)多項式f(x),都存在一個實矩陣B∈Q(A),使得B的待征多項式為f(x),則稱A為譜任意符號模式.若一個譜任意符號模式的任意真子模式都不是譜任意的,則稱這個譜任意符號模式為極小譜任意符號模式.本文給出了一類含有2n個非零元的極小譜任意符號模式.

符號模式矩陣;冪零矩陣;譜任意

0 引言

符號模式矩陣是元素取自于集合{+,-,0}的矩陣.由給定的實矩陣B={bij}的每個元素的符號sign(bij)所組成的矩陣稱為B的符號模式矩陣,記為signB.全體n階符號模式矩陣組成的集合用Qn表示.對任意A∈Qn,所有與A有相同符號模式的n階實矩陣組成的集合{B|signB=A}稱為A的定性矩陣類,記為Q(A).

符號模式矩陣A中的某些非零元被零代替后得出的符號模式稱為A的子模式,記作S,也稱A為S的母模式.每個符號模式是其本身的母模式和子模式.若S是A的子模式且S≠A.則稱S是A的真子模式,A是S的真母模式.

若對任意給定的一個n次首1實系數(shù)多項式f(x),都存在一個實矩陣B∈Q(A),使得B的特征多項式為f(x),則稱A為譜任意符號模式(SAP).若一個譜任意模式的任意真子模式都不是譜任意的,則稱該譜任意模式為極小譜任意模式(MSAP).顯然,如果A是譜任意的,那么它一定是慣量任意和蘊含冪零的.對一個n階符號模式A,若任一矩陣B∈Q(A)是非奇異的,則A是符號非奇異的;若每一個矩陣B∈Q(A)是奇異的,則A是符號奇異的.

譜任意問題最早在文[1]中提出,并據(jù)隱函數(shù)存在定理給出了一種證明符號模式及其所有母模式是譜任意的方法,第一個n≥2階譜任意符號模式在文[2]中提出.后來,文[3-9]等文章分別給出了一些慣量任意和譜任意模式.

本文研究一類形式如下的n階符號模式:

其中最后一行的正元在n-r+1列.將證明當(dāng)n≥3,2≤r

1 有關(guān)結(jié)論

引理1[1]設(shè)A∈Qn,假設(shè)存在某個冪零矩陣B∈Q(A),且B中至少含有n個零元,記為bi1j1,bi2j2,…, binjn.把B中的這n個非零元用變量x1,…,xn代替后所得的矩陣記為X,設(shè)X的特征多項式為pX(x)=xn-

α1xn-1+α2xn-2-…+(-1)n-1αn-1x+(-1)nαn.如果當(dāng)(x1,…,xn)=(ai1j1,…,ainjn)時,

設(shè)x1,…,xn是實變量,αi=αi(x1,…,xn)是關(guān)于變量x1,…,xn的實函數(shù)(其中i=1,2,…,n),且αi對任意xj(j=1,2,…,n)均有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).定義函數(shù)α1,…,αn對變量x1,…,xn的雅可比矩陣為奇異,則A的任意母模式是譜任意的.

當(dāng)l≥1,r≥2,且cj>0(j=1,…,l)時,令

其中最后一行的b元在l-r列.若r≥l,則Cl,r中不含b元.

引理2[3]當(dāng)1≤l≤n且2≤l0.

任取實矩陣Bn,r∈Q(An,r),設(shè)Bn,r有如下形式:

其中b>0,ai>0(i=1,2,…,n-2,n),且b元在n-r+1列.

引理3 設(shè)n階矩陣Bn,r的特征多項式為fBn,r(x)=xn-α1xn-1+α2xn-2-…+(-1)n-1αn-1x+(-1)nαn,令α0=1,則

(1)

(2)當(dāng)a1=1時,

證明(1)

因此(1)成立.

證明(2)

按n-r列展開,可得

由引理2可知,上式是cn-r,r的形式,即det(J)>0.引理得證.

這里給出一個定義,對于一個實系數(shù)多項式f(t),令Zf={a>0|f(a)=0},如果Zf非空,則Zf的最小值記作min(Zf).

引理4[3]設(shè)f(t),g(t)為實系數(shù)式項式,且h(t)=g(t)-tf(t),如果f(0),g(0)>0,Zf和Zg非空,且min(Zg)

引理5 當(dāng)n≥3,2≤r

證明:(以下證明采用引理3的記號)

假定αi=0(i=1,…,n),可得a1=a2=…=ar-1=1,而aj(j=r,r+1,…,n-2,n)是關(guān)于b的多項式.

令j=r,r+1,…,n-2,上述多項式滿足aj(b)=aj-1(b)-baj-r(b).令h(b)=an-2(b)-ban-r-1(b).容易驗證aj(0)=1(j=r,r+1,…,n-2),且h(0)=1.令ar+i(b)=1-(i+1)b=0(i=0,1,…,r-1),可得b=.因此min(Za)

由上式可知min(Za2r-1)

同理,反復(fù)用引理3可知min(Zh)

ar+i(b)=1-(i+1)b,(i=0,1,…,n-r-2)

0=an-2(b)-ban-r-1(b),

an(b)=ban-r(b).

與前同理,可得min(Zh)0, (j=r,r+1,…,n-2),an(bh)=bhan-r(bh)>0,故當(dāng)a1=…=ar-1=1,aj=aj(bh)>0,(j=r,r+1,…,n-2),an=an(bh),b=bh時,Bn,r∈Q(An,r)是冪零矩陣.引理得證.

引理6[4]一個n階不可約譜任意符號模式至少有2n-1個非零元.

2 主要結(jié)果

定理1 當(dāng)n≥3,2≤r

證明:由引理1,引理3和引理5得證.

定理2 當(dāng)n≥3,2≤r

證明:當(dāng)n≥3,2≤r

(1)sn-1,n-1≠0,否則S的跡為正,與S是SAP矛盾.

(2)si,i+1≠0.(i=2,…,n-r-1,n-r+1,…,n),否則S是符號奇異的,與S是SAP矛盾.

(3)sn-r,n-r+1≠0.sn,n-r+1≠0,否則S是符號非奇異的,與S是SAP矛盾.

(4)si,1≠0(i=1,2,…,n-2,n),否則由引理3(1)知αi≠0,與S是SAP矛盾.

再由引理6可知,An,r的任意真子模式都不是譜任意的,即An,r是MSAP,定理得證.

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A Class of Minimal Spectrally Arbitrary Patterns with 2nNonzero Entries

WANG Yan-ling,SHAO Yan-ling
(Department of Mathematics,North University of China,Taiyuan030051,China)

Ann×nsign patternAis a spectrally arbitrary pattern.If for any given real monic polynomial f(x)of degreen,there is a real matrixB∈Q(A)so that it charateristic polynomial isf(x).andAis known as a spectrally arbitrary pattern.IfAis a spectrally arbitrary pattern and no proper subpattern ofA is spectrally arbitrary,thenAis a minimally spectrally arbitrary pattern.In this paper,we introduce a class of minimally spectrally arbitrary patterns with 2nnonzero entries for ordern≥3.

sign pattern matrix;nilpotent matrix;spectrally arbitrary pattern

O157

A

0253-2395(2010)03-0349-05

2009-05-06;

2010-02-16

國家自然科學(xué)基金(10571163);山西省自然科學(xué)基金(2007011017,20090110007)

王燕玲(1981-),女,碩士研究生,研究方向:組合數(shù)學(xué).E-mail:fromwangyanling@163.com