二維不對稱兩組分費米氣體的拓撲相變

劉旭東,曾志生,梁軍軍

二維不對稱兩組分費米氣體的拓撲相變

劉旭東＊,曾志生,梁軍軍

(山西大學(xué)理論物理研究所,山西太原030006)

研究了二維不對稱兩組分費米氣體在零溫時的相和相變,劃分出不同極化率下正常相和Sarma相的區(qū)域.通過能隙和化學(xué)勢在BCS-BEC渡越過程中的不連續(xù)性證明了量子拓撲相變的存在,并著重討論了不同的配對質(zhì)量對相變的影響,最后給出了相應(yīng)的相圖.

拓撲量子相變;BCS-BEC渡越區(qū);Sarma相;鞍點自洽方程組

近年來,由于實驗上的易操作性使得人們對超冷原子氣體的研究產(chǎn)生越來越多的興趣.對激光冷卻、俘獲中性原子等技術(shù)的研究已經(jīng)表明,目前可以做到對勢阱的幾何形狀,稀化氣體的密度,溫度以及兩組分的費米氣體間相互作用大小的控制[1-5],并觀測到許多我們感興趣的量子現(xiàn)象,例如Sarma超流相[6]、相分離和量子拓撲相變[7]等.在經(jīng)典的超導(dǎo)BCS理論中,同一費米面附近具有相反自旋態(tài)的費米子可以配對,但在極化費米子體系中,由于自旋向上和自旋向下的費米子數(shù)目不相同,會形成兩個不同的費米面.正是因為這兩個不同費米面的存在,Sarma超流才可能會發(fā)生.在Sarma超流相中,弱耦合相互作用下的非穩(wěn)定庫伯對將不再存在.在實驗上,對擁有不同數(shù)目的兩個超精細態(tài)的費米子體系的研究已經(jīng)取得了突破性的進展,且可以實現(xiàn)準(zhǔn)二維氣體,即在某一方向上限制費米原子的運動.在理論上,人們已經(jīng)對三維不對稱費米氣體做了大量的工作.但對于二維費米氣體來說,它有一些不同于三維情況的特性,如在二維情況下對于任意的耦合都存在束縛態(tài),而對三維時只存在一個臨界的耦合強度來形成s波束縛態(tài).本文主要基于泛函積分理論,用數(shù)值方法來研究二維配對質(zhì)量不同的兩組分費米氣體在零溫時的拓撲相變.

1 理論模型

對于一個兩組分稀化費米氣體的系統(tǒng),其哈密頓量(?=1)為這里贗自旋σ=↓,↑表示超精細態(tài),ψkσ是費米場湮滅算符,bkq=ψ-k+q/2↑ψk+q/2↓,ξk,σ=εk,σ-μσ其中εk,σ=k2/ (2mσ)是動能,μσ是費米子的化學(xué)勢.這里不同質(zhì)量和分布的費米子可由相應(yīng)的化學(xué)勢μσ控制.g表示原子間相互作用耦合系數(shù).下面我們概述基本理論.

1.1 高斯有效作用量

配分函數(shù)可由虛時泛函積分給出:Z=∫DΦDΦ＊exp(-S[Φ,Φ＊]),這里配分函數(shù)Z中的作用量S=.取輔助場為平均場近似下的能隙,作Hubbard-Stratonovitch變換,得到Z=∫exp(S0)DΔ?DΔ.在平均場近似下鞍點作用量S0:

這里β=1/T,k=(k,ωn)其中費米Matsubara頻率ωn=(2n+1)π/β,Δ是序參量,G0-1(k)是費米傳播子的逆矩陣.矩陣G0-1(k)定義為:

熱力學(xué)勢鞍點貢獻為Ω0=S0[Δ]/β,它可以寫為:

這里f(x)=[exp(βx)+1]-1是費米分布,Ek,±=(ξ2k,++Δ2)1/2±ξk,-是準(zhǔn)粒子和準(zhǔn)空穴的能量,其中ξk,±= (ξk,↑±ξk,↓)/2=k2/(2m±)-μ±,約化質(zhì)量定義為m±=2m↑m↓/(m↓±m(xù)↑),化學(xué)勢重新定義為μ±=(μ↑±μ↓)/2.

1.2 耦合方程

自旋為σ的粒子數(shù)可用Nσ=-?Ω/?μσ表示.由于漲落對粒子數(shù)的貢獻會在溫度趨于0的極限下消失,這樣只需考慮來自鞍點近似的貢獻.粒子數(shù)方程可寫作,

這里nσ=N0,σ/V是粒子數(shù)密度,uk2=(1+ξk,+/Ek)/2,vk2=(1-ξk,+/Ek)/2,其中Ek=(Ek,++Ek,-)/2.能隙方程可由δS0/δ Δ=0得到,

在二維情況下,束縛態(tài)能量比相互作用耦合系數(shù)g更適合描述BCS-BEC渡越.束縛態(tài)方程可寫作,

將束縛態(tài)方程(8)與能隙方程(7)聯(lián)立消去因子g后,可與粒子數(shù)方程組成鞍點自洽方程組.對于上面介紹的所有的方程都取零溫極限:θ(-Ek,±)=limβ→∞f(Ek,±),這里θ(x)是階躍函數(shù).下面利用數(shù)值方法求解鞍點自洽的方程組.

2 數(shù)值計算

在零溫極限下,鞍點自洽方程組能夠恰當(dāng)?shù)孛枋鰪腂CS-BEC極限的超流演化過程.將質(zhì)量比mr=m↑/ m↓,極化率P=(n↑-n↓)/(n↑+n↓),束縛態(tài)能量ε0作為參數(shù),利用數(shù)值方法求解序參量Δ和化學(xué)勢μ+= (μ↑+μ↓)/2.首先對方程作無量綱化處理,取費米能量εF為基本單位.更直觀地,取kB=?=1.這里我們只考慮6Li和40K的混合費米氣體,取mr=0.15.

2.1 拓撲量子相變標(biāo)志

圖1 μ+和Δ在不同ε0/εF下隨極化率P的變化曲線,其中圖(a)中ε0/εF=0.1,圖(b)中ε0/εF=1.0Fig.1 Plots ofΔ,μ+(units ofεF)as a function of P,(a)whenε0/εF=0.1,(b)whenε0/εF=1.0

量子相變是指在絕對零溫下由于量子漲落引起的相變現(xiàn)象,其系統(tǒng)的對稱性發(fā)生了自發(fā)破缺,而拓撲量子相變中系統(tǒng)不存在對稱性自發(fā)破缺.在極化的費米體系中由于配對的不平衡,出現(xiàn)新的量子相,即Sarma相或Breached Pair(BP)相.拓撲量子相變標(biāo)志表現(xiàn)為序參量Δ和化學(xué)勢μ+在拓撲相變點處有個拐點.在圖1中可以清楚地看出在質(zhì)量比mr=0.15和束縛能量不同時序參量Δ和化學(xué)勢μ+的變化關(guān)系,從圖1(a)中可以看出當(dāng)P趨于0時序參量Δ和化學(xué)勢μ+的變化是非解析的,這標(biāo)志著量子相變從BP2(Breached Pair II)相(P<0)到BCS超流相(SF)再到BP2相(P>0).同樣地情況出現(xiàn)在圖1(b)中,這里的相變標(biāo)志也在P→0,只是這時的量子相變從BP1(Breached Pair I)相(P<0)到BCS超流相(SF)再到B P1相(P>0).注意到圖1中在P的兩側(cè)是非對稱的,這與在質(zhì)量比為mr=1的對稱情況[8]成鮮明地對比.

圖2 μ+和Δ在P=0.5時隨束縛能ε0/εF的變化曲線,其中箭頭指示拐點Fig.2 Plots ofΔ,μ+as a function ofε0/εFwhenP=0.5.The arrows indicate the cusp point

在圖2中取P=0.5,這時所有自旋向下的費米子與相同數(shù)目自旋向上的費米子配對形成N↓個玻色子,而剩余自旋向上的費米子則處于未配對狀態(tài).從圖2中我們可以看到在束縛能ε0/εF=0.41從BCS極限到BEC極限的連續(xù)變化中存在一個拐點,這標(biāo)志著量子相變從BP2相到BP1相.這里拐點的位置可以從能隙Δ和化學(xué)勢μ+在拐點兩端的不同行為來判斷.

圖3 在ε0-P平面的相圖Fig.3 Phase diagrams in the planeε0-P

2.2 拓撲相圖

拓撲相圖表示了在動量空間中量子相在沒有對稱性破缺的情況下的改變情況.它描述了零溫時系統(tǒng)的基態(tài).換句話說拓撲相圖是對量子相的一種分類[9].根據(jù)兩個準(zhǔn)粒子激發(fā)態(tài)能量Ek,±的零點數(shù)決定量子相,可以將量子相分成三類:Breached pair I相(BP1),Breached pair II相(BP2)和BCS超流相(SF).BP1相:一個有效的費米面(圖3中BP1表示的區(qū)域).事實上準(zhǔn)粒子激發(fā)能這時有兩個零點,但是其中一個零點的k值是負值,這在物理上是沒有意義的.BP2相:兩個有效的費米面(圖3中BP2表示的區(qū)域).準(zhǔn)能量有兩個零點,且每個零點的k值都是正值.SF相:沒有有效的費米面(圖3中SF表示的區(qū)域),在這種情況下激發(fā)態(tài)能量沒有零點或者是兩個零點的k值是負值.對于第一種情況,激發(fā)態(tài)是有能隙的,這就是經(jīng)典的BCS超流相.對于第二種情況,化學(xué)勢μ+必須是負值,極化率P為0.

從圖3中清楚地看到部分極化正常相(N-I)和Sarma超流相的邊界在P=0的兩端是不對稱的,這與質(zhì)量相等的情況[7]成強烈地對比.由BP1和BP2的邊界可看出隨著P的增加ε0/εF的值增大,在P>0時BP1相和BP2相的邊界對應(yīng)的束縛能量較小,而在P<0時BP1相和BP2相的邊界對應(yīng)的束縛能量較大. BP1相到SF相和BP2相到SF相的臨界線是P=0.而完全極化正常相(N-II)跟BP1相的邊界在P=±1處.

3 結(jié)論

通過以上分析我們發(fā)現(xiàn)零溫下二維費米氣體在配對質(zhì)量不同時存在拓撲量子相變,臨界線與配對粒子之間的質(zhì)量比mr有關(guān).本文只討論了6Li和40K組成的混合費米氣體,對于其他的不同質(zhì)量的冷原子配對,結(jié)論是類似的.需要指出的是,這里只討論了零溫的情況,而在有限溫度情況下,由于熱漲落的存在,拓撲相變特征即曲線的不光滑點(cusp)不是很明顯,但可以通過計算熱容量、壓縮率等特性來研究.同時,文章只限于討論嚴(yán)格意義的二維系統(tǒng).在今后的工作中,我們將研究準(zhǔn)二維費米氣體的低溫拓撲量子性質(zhì).

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Phase Diagram of Asymmetric Two-component Fermi G as in Two Dimensions

LIU Xu-dong,ZEN G Zhi-sheng,LIANGJun-jun
(Institute ofTheoretical Physics,Shanxi University,Taiyuan030006,China)

We investigate the superfluid phase and phase transition in two dimensions at zero temperature for asymmetric Fermi gas and the regions corresponding to normal and Sarma phase for different polarization are identified.The existence of quantum topological phase transition by is proved by varying energy gap and chemical potential in BCS-BEC crossover.The effect of quantum phase transition with different mass ratio is discussed and the topological phase diagram in this region is given.

topological phase transition;BCS-BEC crossover;Sarma phase;saddle-point self-consistent equations

O413

A

0253-2395(2010)03-0393-04

2009-12-15;

2010-03-25

劉旭東(1984-),男,山西太原人,在讀碩士,研究方向:玻色-愛因斯坦凝聚.E-mail:liuxd1984@gmail.com