余導子與余積分及其性質(zhì)

代瑞香,劉超

(石河子大學師范學院數(shù)學系,石河子 8 32003)

余導子與余積分及其性質(zhì)

代瑞香,劉超

(石河子大學師范學院數(shù)學系,石河子 8 32003)

根據(jù)余環(huán)上的余導子與余整合的定義及性質(zhì),給出了 T-余單子上的余導子、余整合的定義,并在它們構(gòu)成的阿貝爾群之間構(gòu)造了一個同構(gòu)關(guān)系;基于代數(shù)模理論的知識,在余環(huán)的余可分性質(zhì)基礎(chǔ)上刻畫了余單子余可分、忘卻函子可分與余積分存在之間的相互等價關(guān)系。

T-余單子;余導子;余積分

Abstract:The definions of coderivations and cointegrations ofT-comonads are given in the paper based on the definition and property of coderivations and cointegrations,and the equivalent relation of coseparable comonads,separable forgetful functors and the existence of cointegral from coseparable coring are given according to the algebra module theory.

Key words:T-comonads;coderivations;cointegral

1956年Mac Lane[1]最早指出所有的標準預(yù)解式都可從伴隨對中得到,其后Godement[2]運用余單子把這些預(yù)解式系統(tǒng)化,Huber[3]給出了一些可由余單子定義的導出函子的例子,并在一般的阿貝爾范疇中研究了這些函子的簡單的預(yù)解式。之后,Hilton提出了“是否任意的單子都可從伴隨中產(chǎn)生?”。Barr和Beck[4]證明了預(yù)解式可從單子中導出,并指出余單子也可用于非阿貝爾范疇中;Blackwell等[5]詳細介紹了2-維的單子理論。Moerdijk[6]中介紹了張量范疇上的 Hopf單子,并研究了 Hopf單子的一些性質(zhì),包括它的代數(shù)結(jié)構(gòu)和Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)。

纏繞結(jié)構(gòu)可被理解成雙代數(shù)的總結(jié)與歸納,在很多應(yīng)用中,特別是在數(shù)學物理和非交換幾何中,它可被看作是非交換流形的對稱。從 Hopf代數(shù)的觀點看,纏繞結(jié)構(gòu)的引入把研究了30多年的 Hopf模的各種范疇統(tǒng)一化了。代瑞香等[7]和王頂國等[8]研究了將代數(shù)和余代數(shù)的纏繞結(jié)構(gòu)上的一些結(jié)論推廣到單子和余單子的纏繞結(jié)構(gòu)上,代瑞香等[9]討論了余單子上的類群元的有關(guān)性質(zhì),并定義了纏繞結(jié)構(gòu)之間相容的定義和等價條件。

本文擬在上述研究的基礎(chǔ)上給出 T-余單子上的余導子和余整合的定義,構(gòu)造它們構(gòu)成的阿貝爾群之間的同構(gòu)關(guān)系,并探討 Frobenius函子、函子可分和 T-余單子余可分的等價命題。

1 預(yù)備知識

定義1[10]設(shè)D是任一范疇,自同態(tài)函子End D是一個嚴格的Monoidal范疇,D上的單子是指三元結(jié)構(gòu)(T,μ,η),其中 T:D→D是一個函子,μ:T2→T和η:idD→T是自然變換,滿足μX·ηTX=idTX=μX·ηX。

設(shè)(T,μ,η)為 D上的單子,T-模是指(M,r),其中M∈obj(D)和 r:T(M)→M為 D中的態(tài)射,使得

再設(shè)(M,r)、(N,s)為2個 T-模,態(tài)射 f:M→N稱為 T-線性的,若 f·r=s·T(r),這樣的 f也稱為T-模態(tài)射。

定義2[11](G,Δ,ε)稱為范疇 D上的余單子,若函子 G:D→D及自然變換Δ:G→GG和ε:G→id,滿足 GΔ·Δ=ΔG·Δ;εG·Δ=Gε·Δ=idG。

類似文獻[11]可定義:

定義3 設(shè)(T,μ,η)是范疇 D上的單子,右 T-模 M ∈End(D)稱為實(firm)右 T-模,若ωM+:M T→M為雙射,其逆記作M→M T。

定義4 設(shè)(T,μ,η)是范疇 D上的單子,C∈End(D),T-余單子C是指

C為實 T-雙模態(tài)射;(T,T)-雙線性態(tài)射

ΔC:C→C2,εC:C→T滿足 CΔC·ΔC=ΔCC·ΔC;

CεC·ΔC=;Cεc·ΔC=。

事實上,T-余單子C即為 T-模范疇上的余單子。

2 余導子及其性質(zhì)

本節(jié)將根據(jù)余環(huán)上余導子與余整合的定義及性質(zhì),給出 T-余單子上余導子、余整合的定義,并在它們構(gòu)成的阿貝爾群之間構(gòu)造一個同構(gòu)關(guān)系。

定義5 設(shè)C為實 T-余單子,給定2個C-雙余模(M,ρM,λM)和(M,ρN,λN),自然的 T-雙線性態(tài)射g:M→C稱為余導子,若ΔC·g=gC·ρM+Cg·λM,余導子 g稱為內(nèi)余導子,若存在自然的(T,T)-雙線性態(tài)射γ:M→T使得

所有 M到C的余導子構(gòu)成的阿貝爾群記作Coder(M,C)。

定義 6 設(shè)(M,ρM,λM),(N,ρN,λN)是 2 個 C-雙余模,N到M的余整合是指自然的(T,T)-雙線性態(tài)射 f:N→CM,滿足ΔCM ·f=Cf·λN+CλM·f。

余整合 f稱為內(nèi)余整合,若存在自然的(T,T)-雙線性態(tài)射φ:N→M滿足Cφ·ρN=ρM·φ;

f=Cφ·λN-λM·φ。

所有N到M的余整合構(gòu)成的阿貝爾群記作Coint(N,M)。

根據(jù)上述定義有下面的定理成立:

定理 1 對任意的 C-雙余模(M,ρM,λM),有自然同構(gòu)Φ:Coint(M,C)→Coder(M,C).若限制在內(nèi)子群上,同樣有同構(gòu)InCoint(M,C)≌InCoder(M,C)。

3 余積分及其性質(zhì)

下面在余環(huán)的余可分性質(zhì)[12]的基礎(chǔ)上討論余單子余可分、忘卻函子可分與余積分存在之間的相互等價關(guān)系。依據(jù)余環(huán)上余積分的定義及性質(zhì),下面給出余單子上余積分的定義及性質(zhì)。

定義7 設(shè) T為范疇D上的單子,C為 T-余單子,若存在(T,T)-雙線性自然變換γ:→T滿足γ ΔC=εC;·Cγ·ΔCC=·γC·CΔC,則稱γ:C2→T為 T-余單子C的余積分。

定理2 設(shè) T為范疇D上的單子,C為 T-余單子,忘卻函子 F:TMC→MT可分當且僅當 T-余單子C存在余積分γ:C2→T。

證明:1)必要性。

設(shè) F:TMC→MT有右伴隨函子 G:MT→TMC,令單位 φ:→GF,φ(N)GFN。由于 F可分,則存在(T,T)-雙線性自然變換v:GF→idTMC使得vN·φN=idN。又余單子 C可看作 C-余模,則 φC=ΔC,從而有相應(yīng)的 vC:C2→C使得vC·ΔC=idC。

[1]Mac Lane S.Homologie des anneaux et des modules[M].Louvain:Colloque de topologie algebrique,1956.

[2]G odement R.Theorie des faisceaux[M].Paris:Hermann,1958.

[3]Huber P J.Homotopy theory in general categories[J].Math Ann,1961(144):361-385.

[4]Barr M,Beck J.Acyclic models and triples[M].New Y ork:Springer-Heidelberg,1966.

[5]Blackwell R,Kelly G M,Power A J.Two-dimensional monad theory[J].J Pure Appl Algebra,1989,59:1-41.

[6]Moerdijk I.Monads on tensor categories[J].J Pure Appl Algebra,2002,(168):189-208.

[7]代瑞香,劉超,王頂國.纏繞結(jié)構(gòu)與纏繞模[J].石河子大學學報:自然科學版,2008,26(1):106-109.

[8]王頂國,代瑞香.單子和余單子的纏繞結(jié)構(gòu)[J].數(shù)學學報,2008,51(5):927-932.

[9]代瑞香.余單子的類群元及其性質(zhì)[J].長春師范學院學報:自然科學版,2009,28(3):11-12.

[10]Bruguieres A,Virelizier A.Hopf Monad[J].Adv Math,2007,215(2):679-733.

[11]G omez-T orrecillas J.Comonad and Galois corings[J].Applied categorical Structure,2006,14(5/6):579-598.

[12]Brzezinski T,Wisbauer R.Corings and Comodules[M].London:Cambrige University Press,2003.

Properties of Coderivations and Cointegrals

DAI Ruixiang,LIU Chao
(Department of Mathematics,Teachers College,Shihezi University,Shihezi,832003,China)

O153.3

A

1007-7383(2010)05-0658-03

2009-09-27

代瑞香(1980-)女,講師,從事環(huán)與代數(shù)研究;e-mail:dairx129@163.com。