二元含參量正常積分函數(shù)的分析性質

顧先明

（唐山師范學院 數(shù)學與信息科學系，河北 唐山 063000）

1 引言及預備知識

眾多數(shù)學分析類教科書[1-4]都對含參量正常積分做了比較細致的研究，并得出了含參量正常積分在定義域上滿足一定條件后可以具有連續(xù)性、可微性和可積性等不錯的結果。之后的研究主要集中在對含參量正常積分已有的性質的推廣和深化[5-9]，而對于含參量正常積分中的被積函數(shù)的進一步推廣研究不是很多。筆者發(fā)現(xiàn)如果將含參量正常積分中的被積函數(shù)推廣到三元函數(shù)（甚至是n元函數(shù)）后也會得到一些類似的結果。本文將含參量正常積分中的被積函數(shù)推廣到三元函數(shù)后定義了一類二元含參量正常積分函數(shù)，并重點討論其具有的分析性質。

定義 1 設 f( x,y,z)是定義在閉長方體區(qū)域D=[a,b]×[c,d]×[g,h]上 的 的 三 元 函 數(shù) ， 當(x, y)∈ [a,b]× [c,d ]上取某定值，函數(shù) f (x,y,z)就是定義在[g,h]上的以z為自變量的一元函數(shù)，倘若這時f(x,y,z)在[g,h]上可積，則其積分值是(x,y)在有界區(qū)域[a ,b ]× [c,d]上取值的二元函數(shù)，記它為I(x,y)，則有

我們把形如(1)的函數(shù)叫做二元含參量正常積分函數(shù)。

定義 2 設區(qū)域 D ? R3， f:D →R，如果?ε＞0，?δ ＞ 0，使得對任意的點 (x1, y1, z1)，( x2,y2, z2)∈D， 并且當

時，有

則稱f在D上一致連續(xù)。

引理 1 若函數(shù) f (x,y,z)在有界閉區(qū)域 D? R3上連續(xù)，則函數(shù) f在D上一致連續(xù)。

引理 2 若函數(shù) f (x,y,z)是定義在有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)，那么該函數(shù)必在該有界閉區(qū)域D上可積。

2 主要結果及證明

定理 1（連續(xù)性） 若三元函數(shù) f (x,y,z)在閉長方體區(qū)域 D=[a,b]×[c,d]×[g,h]上連續(xù)，則函數(shù)

在區(qū)域 E= [a,b] × [c,d ]上連續(xù)。

證明 設 ?(x, y)∈ [a,b]×[c,d ]，對充分小的Δx,Δy，令(x+Δx,y+Δy)∈[a,b]×[c,d ]（若(x,y)為矩形區(qū)域的邊界，則僅考察的情形），于是

由于 f (x,y,z)在有界閉區(qū)域D連續(xù)，從而一致連續(xù)。即 對 ?ε ＞0, ?δ ＞0。 對D內 任 意 兩 點 (x1, y1, z1)，(x2,y2,z2)，只要

這就證得I(x,y)在 E= [a,b ]× [c,d ]上連續(xù)。

注 對于定理1的結論也可以寫成如下的形式：

若f (x,y,z )在閉長方體區(qū)域D上連續(xù)，則對?(x0,y0)∈[a,b ]×[c,d]，都有

定理2 若函數(shù) f (x,y,z)與其偏導數(shù)

都在閉長方體區(qū)域 D=[a,b]×[c,d]×[g,h]上連續(xù)，則

分別關于x,y在區(qū)域 E= [a,b] × [c,d ]上可微，且

證明 只證明其中之一，另一個可類似證明，證明(4)。

對 區(qū) 域 E= [a,b] × [c,d]內 任 意 一 點(x,y)， 設(x+Δx,y+Δy)∈[a,b]×[c,d ]，則

由微分中值定理（拉格朗日中值定理）及

在有界閉域D上連續(xù)（從而一致連續(xù)），對 ?ε ＞0, ?δ ＞0只要＜δ時，就有

其中θ ∈ (0,1)，因此

這就證得對 ?(x, y)∈ [a,b]×[c,d ]，有

根據(jù)文獻[10]所給出的“多元函數(shù)可微的充要條件”的結論影響，可以進一步加強上述的定理2。

定理3 （可微性） 二元含參量正常積分函數(shù)

在點 M ( x0, y0)可微當且僅當I(x,y)在 M ( x0, y0)處偏導都存在，且 ?ε ＞0, ?δ ＞0，當時，有

證明 （必要性）已知函數(shù)I(x,y)在點 M ( x0, y0)處可微，故 Ix(x0,y0),Iy( x0, y0)都存在，且

令h=(6)式，則當

當ρ→0時，(7)→0，從而當 (x, y)→ ( x0, y0)時，對?ε ＞0,?δ ＞0時，當0時，有

（充要性）已知函數(shù)I(x,y)在點 M ( x0, y0)處的偏導數(shù)都存在，且對 ?ε ＞ 0， ?δ ＞ 0，當時，便有

則當ρ→0 時

于是當 (x, y)≠ ( x0, y0)時，

易知當ρ→0 時，(8)→0，故

由二元函數(shù)在一點可微的定義可知，二元函數(shù)u= I(x,y)在點 M (x0,y0)處可微。

定理4（可積性） 若 f (x,y,z)在閉長方體區(qū)域

上連續(xù)，則I(x,y)在有界區(qū)域 E= [a,b] × [c,d ]上可積。

證明 由定理 1已證得函數(shù)I(x,y)在有界閉區(qū)域E= [a,b ]× [c,d ]上連續(xù)，由引理2可知I(x,y)在有界區(qū)域E上可積。

定理5 若函數(shù) f (x,y,z)在閉長方體

上可積，且對于任意的 (x,y)∈E =[a,b]×[c,d ]，定積分

存在，那么二元含參量正常積分函數(shù)I(x,y)在區(qū)域E上可積，并且

證明 對?ε＞0，用平行于坐標面的平面網(wǎng)T做分割，它把D分成有限個小長方體

這時，我們也得到D的一個分割T1，設 Mijk,mijk分別為 f (x,y,z)在Dijk上的上、下確界，則對于

因為函數(shù) f (x,y,z)在長方體區(qū)域

上可積，故?δ＞0，使T ＜δ時，有

從而，根據(jù)可積的充要條件可知I(x,y)在D上可積，且

又由文獻[11]中的定理21.15可知

于是綜合上述證明過程可知

事實上，從上述定理的證明過程來看，我們還可以將含參量正常積分中的被積函數(shù)中的自變量的個數(shù)作進一步推廣，它仍然具有類似的連續(xù)性、可微性以及可積性等結果，這里就不再贅述。