基于樣條函數(shù)的兩點邊值問題的數(shù)值解

李運利, 郭清偉, 周會娟, 唐桂林

(合肥工業(yè)大學數(shù)學學院,安徽合肥 230009)

在應用科學和工程技術領域中,很多物理、生物、化學問題都可用微分方程來描述,因此,這些問題的解決都歸結為微分方程的求解問題。但是,絕大多數(shù)微分方程的解析解很難找到,所以,人們就致力于微分方程的數(shù)值解。

目前已有很多學者對邊值問題的數(shù)值解法進行了研究。

文獻[1-3]給出了2點邊值問題的差分方法;文獻[4-6]是用變分迭代法來解2點邊值問題的。文獻[7,8]用高階B樣條配置法來解2點邊值問題。文獻[9,10]給出了三次樣條方法;文獻[11]討論了邊值問題的存在性。

考慮下列一類2點邊值問題:

其中,ξ＞0,a＜x＜b;f、g、s均為 x的函數(shù)。當|f(x)|≤F,g(x)≤0,且 f,g在[a,b]上是連續(xù)的,方程有唯一解。

本文是用樣條函數(shù)構造一類2點邊值問題的數(shù)值解方法,并通過算例與高精度差分方法、經(jīng)典迎風格式和中心差分格式進行了比較,結果表明本文方法具有高精度、收斂快等優(yōu)點。

1 樣條函數(shù)方法

設三次樣條函數(shù)s(x)在[xi,xi+1]上的表達式為:

其中,i=0,1,…,n-1。

ai、bi、ci、di均為常數(shù) 。設

由(2)式和(3)式得:

其中,i=0,1,…,n-1。

由三次樣條函數(shù)的連續(xù)性 S′i-1(xi)=S′i(xi),可得:

在節(jié)點xi處將微分方程(1)離散化:

其中,fi=f(xi),gi=g(xi),si=s(xi)。

由(3)式知:

y的一階導數(shù)近似表示為:

將(7)、(8)式代入(5)式,整理得:

其中,i=1,2,…,n-1。

根據(jù)邊界條件y(a)=α和y(b)=β及(9)式,得到n-1階三對角線性方程組,解該方程組即可得到y(tǒng)i。再由邊界條件可得y0、yn,因此得到y(tǒng)在各節(jié)點xi的近似解yi,i=0,1,…,n。

2 數(shù)值例子

例1 常系數(shù)邊值問題。

該方程的精確解為:y=sin(πx)。

表1所列給出了ξ取不同的值時,本文方法與迎風格式(UDS)和中心差分格式(CDS)及文獻[1]中方法(FDS)的最大絕對誤差。從計算結果來看,當ξ＞10-2時,本文方法的精度高于迎風格式和中心差分格式,沒有高精度差分方法的精度高;但當ξ≤10-2時,本文方法的精度明顯高于其它方法,且精度越來越高。

同樣在ξ不變的條件下可以改變步長來提高精度,并且步長越小精度越高。

例2 變系數(shù)邊值問題。

表2所列給出了ξ取不同值時,本文方法與UDS和CDS及FDS的最大絕對誤差。本文的優(yōu)點再次得到驗證,當ξ≤10-2時,本文方法的精度明顯高于其它方法且精度越來越高,同時也可以改變步長來提高精度。

表1中,0.14(-5)=0.14×10-5,其它類似。

表1 例1在ξ取不同值時本文方法與已有方法的最大誤差比較

3 結 論

利用三次樣條函數(shù)構造一類2點邊值問題的數(shù)值解,此方法計算簡單,用少量的節(jié)點就可得到精度較高的數(shù)值解,且當ξ越小精度越高。數(shù)值例子表明,對于同樣的節(jié)點分布,本文的方法對于ξ≤10-2時的求解精度高于其它的方法,而不是像已有方法那樣,當ξ≤10-2時誤差就會比較大。

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