結(jié)構(gòu)能量反應(yīng)的振型分解法研究

常 磊, 葉獻(xiàn)國

(合肥工業(yè)大學(xué)土木與水利工程學(xué)院,安徽合肥 230009)

基于能量的抗震設(shè)計(jì)方法是未來抗震設(shè)計(jì)的趨勢(shì)之一,由于該方法能反應(yīng)結(jié)構(gòu)抵抗地面運(yùn)動(dòng)消耗地震能量,所以有很大的發(fā)展空間和潛力。但目前對(duì)結(jié)構(gòu)耗能總體上還處于利用時(shí)程分析法計(jì)算能量反應(yīng)的階段,對(duì)地震動(dòng)輸入總體上是基于能量反應(yīng)譜或強(qiáng)度指標(biāo)等去評(píng)估地震破壞潛能。為建立結(jié)構(gòu)能量反應(yīng)與地震動(dòng)能量特征間的關(guān)系,需要尋求任意 MDOF(Multi-Degree of Freedom)體系與SDOF(Single-Degree of Freedom)體系能量反應(yīng)之間的關(guān)系。

有關(guān)振型分解理論應(yīng)用在結(jié)構(gòu)能量反應(yīng)方程中的報(bào)道并不多。文獻(xiàn)[1]雖是根據(jù)振型分解理論計(jì)算彈塑性體系的能量反應(yīng),但仍是基于結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程的振型分解得出各振型的力和位移反應(yīng),考慮原結(jié)構(gòu)的延性需求,進(jìn)一步得出各振型的彈塑性SDOF體系,對(duì)各SDOF體系展開彈塑性時(shí)程分析,從而估計(jì)原結(jié)構(gòu)的能量反應(yīng),并不是對(duì)結(jié)構(gòu)能量反應(yīng)方程進(jìn)行振型分解。

本文通過理論推導(dǎo),實(shí)現(xiàn)了MDOF體系能量反應(yīng)方程的振型分解,得到各階模態(tài)能量反應(yīng)方程,提出模態(tài)能量的概念,原結(jié)構(gòu)各能量反應(yīng)則可表現(xiàn)為相應(yīng)的各模態(tài)能量的疊加,從而實(shí)現(xiàn)了能量反應(yīng)方程的振型分解。

1 能量反應(yīng)方程

不失一般地,考慮地面運(yùn)動(dòng)下結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程,即

對(duì)du(t)在0～t0積分,可建立相對(duì)能量方程和絕對(duì)能量方程。相對(duì)能量方程為:

對(duì)應(yīng)地記為:EK(t0)+ED(t0)+EH(t0)=EI(t0),各項(xiàng)分別為t0時(shí)刻的相對(duì)動(dòng)能(簡稱動(dòng)能)、阻尼耗能、滯回耗能以及相對(duì)輸入能(簡稱輸入能)。

絕對(duì)能量方程[2]可表述為:

2種能量表達(dá)式中阻尼能和總變形能是相同的,而動(dòng)能和總輸入能不同。嚴(yán)格地說,絕對(duì)能量方程更具有物理意義[2]。EI是以體系基礎(chǔ)為參考,等效側(cè)向力對(duì)體系所做的功(更適合長周期結(jié)構(gòu)),而EIa表示基礎(chǔ)剪力對(duì)基礎(chǔ)位移做的功(更適合短周期結(jié)構(gòu)),兩者對(duì)于中等周期(卓越周期附近)非常接近。由于在計(jì)算(3)式時(shí)要用到地面運(yùn)動(dòng)速度時(shí)程﹒ug(t),一般情況下,地震波處理方法對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響較大,不能從地面運(yùn)動(dòng)加速度積分而來,而(2)式的計(jì)算只需要地面運(yùn)動(dòng)的加速度即可,因而本文分析中采用相對(duì)能量反應(yīng)方程,簡稱能量反應(yīng)方程。

2 能量反應(yīng)的振型分解

由于結(jié)構(gòu)所有自振振型為完備正交系,體系的所有反應(yīng)都可以用振型來展開,體系位移反應(yīng)在任意時(shí)刻t的取值可由振型展開:

其中,假設(shè)結(jié)構(gòu)總自由度數(shù)和總振型數(shù)分別為n和m,第i階振型 Φi=(φ1iφ2i… φri…)T,振型廣義坐標(biāo)矢量q=(……)T。

記第i階振型對(duì)結(jié)構(gòu)總位移反應(yīng)的貢獻(xiàn)值為vi(t)=qi(t)Φi,并有振型正交性條件(假設(shè)阻尼也滿足):

將(1)式對(duì)(dvi(t))T在0～t0積分得第 i階振型下的能量方程為:

利用振型正交性條件可化簡為:

不妨簡記為:

其中,各能量項(xiàng)分別表示t0時(shí)刻第i階振型對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)能、阻尼耗能、滯回耗能及輸入能反應(yīng)的貢獻(xiàn),記為第i階模態(tài)動(dòng)能、模態(tài)阻尼耗能、模態(tài)滯回耗能及模態(tài)輸入能。

(6)～(9)式即為第i階振型的能量方程,記為第i階模態(tài)能量方程。由于振型廣義坐標(biāo)矢量q的各分量反應(yīng)是獨(dú)立的,因此各階模態(tài)能量方程之間也是獨(dú)立的。

將(4)式代入(2)式得,能量方程的振型廣義坐標(biāo)矢量表達(dá)形式為:

利用振型正交性,互換積分號(hào)和求和號(hào),得:

結(jié)合(6)～(9)式,(11)式可表示為:

由于各階模態(tài)能量方程之間是獨(dú)立的,由(12)式可知,結(jié)構(gòu)能量反應(yīng)方程可以表示為各階模態(tài)能量方程疊加,從而結(jié)構(gòu)各能量反應(yīng)也為各階模態(tài)能量反應(yīng)的疊加,即

為方便敘述,將下標(biāo)K、D 、H 、I代以 x(下同)。

簡記為:

易證各階模態(tài)能量反應(yīng)與單位質(zhì)量SDOF體系相應(yīng)能量反應(yīng)之間的關(guān)系為:

因此,(17)式可表示為:

與文獻(xiàn)[4]提出的總輸入能反應(yīng)振型分解表達(dá)式相比較,(17)式不需對(duì)振型做一致化處理,表達(dá)更精簡,引用時(shí)可消除表達(dá)上的誤解[5]。同時(shí)(17)式對(duì)各能量反應(yīng)均給出了一致的表達(dá)式,更具有物理意義,且可從能量角度反映Pushover中一些方法的合理性:

(1)利用有效振型質(zhì)量將MDOF體系轉(zhuǎn)化為等效SDOF體系,建立能力譜曲線[6,7]。

(2)結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)多受第1階振型控制,這反映在第1階振型的有效振型質(zhì)量較大,其能量反應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)的貢獻(xiàn)占主導(dǎo)地位(下述實(shí)例可證實(shí)這一點(diǎn)),因此在Pushover分析中很多結(jié)構(gòu)可按第1階振型的荷載分布模式加載,應(yīng)用廣泛。

(3)考慮足夠多的結(jié)構(gòu)振型,并取各自振型向量為荷載分布模式,做相應(yīng)振型下的Pushover分析,再考慮某種組合原則對(duì)各分析結(jié)果進(jìn)行組合,即MPA法。文獻(xiàn)[8]指出,若結(jié)構(gòu)體系為線彈性,并取結(jié)構(gòu)所有振型進(jìn)行分析并組合,其結(jié)果與振型分解反應(yīng)譜法計(jì)算的結(jié)果相同。

3 算例分析

驗(yàn)算結(jié)構(gòu)為10層的框架結(jié)構(gòu),阻尼設(shè)為Rayleigh阻尼,取一、二階阻尼比均為0.02,結(jié)構(gòu)質(zhì)量和剛度特性見表1所列,模態(tài)特性見表2所列。

表1 結(jié)構(gòu)特性

表2 結(jié)構(gòu)模態(tài)特性

取1940年美國Imperial Valley Earthquake記錄之一的南北分量,其峰值的加速度為341.7 cm/s2作為地震輸入。按本文提出的能量反應(yīng)方程的振型分解方法,分別計(jì)算各振型下的各模態(tài)能量,如圖1所示,再按照(17)式疊加各模態(tài)能量得出結(jié)構(gòu)相應(yīng)的能量反應(yīng),按照原結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程利用Canny程序[9]展開彈性時(shí)程分析,計(jì)算其能量反應(yīng),如圖2所示。

由圖1可見,能量在各模態(tài)間總體分布特征為:隨階數(shù)增加,模態(tài)能量依次減小,且第1階模態(tài)能量占主導(dǎo)地位。各階模態(tài)能量反應(yīng)差距懸殊,尤其是前 4階,隨著階數(shù)增加,能量按0.1倍量級(jí)遞減。

從圖2來看,按照振型分解后的能量結(jié)果與Canny按原結(jié)構(gòu)計(jì)算結(jié)果非常相近,時(shí)程曲線幾乎重合,說明本文提出的方法是正確的。

圖1 各階模態(tài)能量計(jì)算結(jié)果

圖2 能量計(jì)算結(jié)果對(duì)比

4 結(jié)束語

本文利用振型分解理論,實(shí)現(xiàn)了對(duì)彈性體系的能量反應(yīng)方程的振型分解,提出了模態(tài)能量的概念,指出結(jié)構(gòu)能量反應(yīng)方程可以表示為各階模態(tài)能量方程的疊加,結(jié)構(gòu)各能量反應(yīng)也為各階模態(tài)能量反應(yīng)的疊加,并給出了總能量反應(yīng)與單位質(zhì)量SDOF體系相應(yīng)能量反應(yīng)間的關(guān)系式為算例表明隨階數(shù)增加模態(tài)能量總體上依次減小,且各階模態(tài)能量反應(yīng)差距懸殊,第1階模態(tài)能量占主導(dǎo)地位。按照能量振型分解法計(jì)算的能量反應(yīng)與原結(jié)構(gòu)的能量反應(yīng)幾乎一致,說明能量反應(yīng)的振型分解法的正確性。但此方法僅限于結(jié)構(gòu)的彈性反應(yīng),對(duì)非彈性下反應(yīng),其適用性有待驗(yàn)證。

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