矩陣冪級數(shù)的收斂性質(zhì)和應(yīng)用

孫延彬

（平頂山學(xué)院團委 河南平頂山 467000）

矩陣冪級數(shù)的收斂性質(zhì)和應(yīng)用

孫延彬

（平頂山學(xué)院團委 河南平頂山 467000）

根據(jù)矩陣冪級數(shù)的定義和數(shù)學(xué)分析中冪級數(shù)的收斂性質(zhì)，運用類比的推理方法，在已知知識的基礎(chǔ)上，驗證并總結(jié)了矩陣冪級數(shù)的部分相應(yīng)的收斂性質(zhì)。

矩陣冪級數(shù)；范數(shù)；收斂性質(zhì)

作為數(shù)學(xué)的一個重要分支，矩陣理論具有極為豐富的內(nèi)容；作為一種基本的工具，矩陣理論在數(shù)學(xué)以及其他科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，如數(shù)值分析、最優(yōu)化理論、概率論、運籌學(xué)、控制理論、力學(xué)、電學(xué)、信息科學(xué)與技術(shù)、管理科學(xué)與工程等學(xué)科都有著重要的應(yīng)用。其中矩陣級數(shù)以及矩陣冪級數(shù)在建立矩陣函數(shù)和解決微分方程的許多問題時，也有著重要的應(yīng)用。目前有很多關(guān)于矩陣、冪級數(shù)以及矩陣冪級數(shù)的研究：曹玉平發(fā)表過《矩陣冪級數(shù)絕對收斂性的判定》，林金火發(fā)表過《矩陣冪級數(shù)的收斂性質(zhì)》等，這篇文章從矩陣序列的收斂性質(zhì)來討論矩陣級數(shù)以及矩陣冪級數(shù)的收斂性質(zhì)，主要分四個部分：范數(shù)的定義和有關(guān)性質(zhì)、矩陣序列的定義和收斂性質(zhì)、矩陣冪級數(shù)的收斂性質(zhì)和應(yīng)用。

1.范數(shù)的定義和有關(guān)性質(zhì)

定義 1.1 設(shè)V是數(shù)域F（一般為實數(shù)域R或復(fù)數(shù)域C）上的線性空間，用表示按某個法則確定的與向量x對應(yīng)的實數(shù)，且滿足：

（2）2-范數(shù) 也稱為歐氏范數(shù)；

定義1.4 對于任何一個矩陣 A ∈ Cm×n，用表示按照某個法則確定的與矩陣A對應(yīng)的實數(shù)，且滿足：

2.矩陣序列的收斂性質(zhì)

另外矩陣序列還有以下性質(zhì)：

（1）一個收斂矩陣序列的極限是惟一的；

證明：設(shè)A的Jordan標準形為J，則存在可逆矩陣P，使得或于：

Ak顯然，的充要條件是又因：

3.矩陣級數(shù)的收斂性質(zhì)

由矩陣級數(shù)收斂性定義很容易得出以下性質(zhì)：

證明：設(shè)J是A的Jordan標準形，則：

所以：

其中：

4.應(yīng)用

[1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系代數(shù)[M].高等教育出版社，1988.

[2]史榮昌.矩陣分析[M].北京理工大學(xué)出版社，2005.

[3]張凱院，徐仲.矩陣論[M].西北工業(yè)大學(xué)出版社，2004.

[4]劉丁西.矩陣分析[M].同濟大學(xué)出版社，2003.

[5]羅家洪.矩陣分析引論[M].華南理工大學(xué)出版社，2000.

[6]林金火.矩陣冪級數(shù)的收斂性質(zhì)[J].荊門職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2007.

[7]Horn R A，Johnson C R. Matrix Analysis[M]. Cambridge University Press，1985.

The convergence property and apply of the matrix power series

According to the definition of matrix power series and the convergence property of the power series, using the type compare method, on the basis of original knowledge, the thesis summarized and verified part convergence properties of the matrix power series.

matrix power series; norm; convergence property

孫延彬（1982-），碩士研究生，平頂山學(xué)院團委助教。

2010-03-27