優(yōu)化解題策略,凝練思維品質(zhì)
——解題教學(xué)中數(shù)學(xué)思維敏捷性的培養(yǎng)嘗試

◆華維林

(甘肅省永登縣第二中學(xué))

優(yōu)化解題策略,凝練思維品質(zhì)
——解題教學(xué)中數(shù)學(xué)思維敏捷性的培養(yǎng)嘗試

◆華維林

(甘肅省永登縣第二中學(xué))

通過對思維敏捷性形成的因素分析,探究培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生優(yōu)良數(shù)學(xué)思維的科學(xué)途徑,在教學(xué)過程中,優(yōu)化解題策略,提升解題效能,凝練思維品質(zhì),增強(qiáng)自信,戰(zhàn)勝高考。

思維敏捷性 策略 簡縮 探究 效能

良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)向來是高考考查的重點(diǎn),尤其是對數(shù)學(xué)思維敏捷性的考查,更加體現(xiàn)了高考命題的匠心獨(dú)用。學(xué)生的思維品質(zhì)的好壞,直接影響學(xué)生的高考成績,從而間接地影響學(xué)生個(gè)人的發(fā)展。因此,我們應(yīng)該探究學(xué)生的數(shù)學(xué)思維敏捷性的成因,認(rèn)識其特點(diǎn),在教學(xué)中制定相應(yīng)的學(xué)習(xí)策略,提高教學(xué)效果。

一、進(jìn)行陳述性知識的概括和提煉

儲備知識,梳理知識,比較、歸納和總結(jié)知識之間的區(qū)別與聯(lián)系,形成知識網(wǎng)絡(luò),優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu),以便在解題時(shí)有效地激活知識、準(zhǔn)確地提取知識、同時(shí)擴(kuò)展思維活動區(qū)域,增大思維運(yùn)動量,減少煩瑣的計(jì)算,快速地解決問題。

例 1.正方形 ABCD-A′B′C′D′的棱長為α,求異面直線 BD與 B′C的距離。

分析:將異面直線 BD與 B′C的距離轉(zhuǎn)化為兩平行平面 A′DC和 B′D′C之間的距離,易知其距離為。其知識儲備應(yīng)是“線線平行、面面平行”等相關(guān)定理以及正方體的相關(guān)性質(zhì)。如果采用向量坐標(biāo)法,就會增大運(yùn)算量,而且容易出錯(cuò)。事實(shí)上,深厚的陳述性知識是知識和能力發(fā)生遷移的基礎(chǔ)。

二、進(jìn)行程序性知識的提煉和概括

主要以數(shù)學(xué)思想為指導(dǎo),在掌握好通性和通法 (如配方法、待定系數(shù)法、換元法、坐標(biāo)法等)的基礎(chǔ)上,通過各種解題方法的比較,進(jìn)行解題方法的提煉,優(yōu)化解題策略,提高解題的效能。

1.以數(shù)形結(jié)合思想為指導(dǎo),提煉特殊法為數(shù)形結(jié)合法

2.以特殊與一般思想為指導(dǎo),提煉特殊法為檢驗(yàn)法和排除法

從題干或選擇支出發(fā),(通過選取特殊值代入、將問題特殊化或構(gòu)造滿足題設(shè)條件的特殊函數(shù)或圖形特殊位置,)利用問題在某一特殊情況下不真,則它在一般情況下不真這一原理,達(dá)到肯定一支或否定三支 (去謬)的方法,稱為特殊法。

例 3.(排除法)一個(gè)等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和為 48,前 2n項(xiàng)和為 60,則它的前 3n項(xiàng)和為 ( )

解 結(jié)論中不含 n,故本題結(jié)論的正確性與 n取值無關(guān),可對 n取特殊值,如 n=1,此時(shí) a1=48,a2=S2-S1=12,a3=a1+2d= -24,所以前 3n項(xiàng)和為 36,選 D。

評析:解一是順向推理的方法,而解二是反常規(guī)的解法,是逆向思維,突破思維定式,達(dá)到了更便捷、更迅速的效果。

3.以有限與無限思想為指導(dǎo),提煉特殊法為極限法。

例 5.(2005北京):對任意的銳角α,β,下列不等關(guān)系中正確的是:

分析:取α與β為 30度、45度、60度等可以排除 A、B,但無法排除 C、D,若進(jìn)行論證,則更難。若使α趨向于 0,β趨向于 0,則排除A、B、C,選D。

(Ⅰ)求證:面 ABD⊥面 BCD;(Ⅱ)求異面直線 AB與 CD所成的角的大小;

(Ⅲ)求點(diǎn) E到平面 ACD的距離。

分析:方法一 (幾何法):(Ⅰ)由 CA=CB=CD=2知,點(diǎn) C在面 ABD內(nèi)的射影為BD的中點(diǎn)O,由線面垂直易得出面面垂直。

(Ⅱ)取 AC的中點(diǎn)M,由平移法知∠OEM為異面直線AB與 CD所成的角,由已知條件易得其大小為

(Ⅲ)因OE平行面ADC,故通過將點(diǎn)面距離轉(zhuǎn)化為線面距離。取AD中點(diǎn)N得ON⊥AD,且 CO⊥面ABD,由三垂線定理易得面ONM⊥面 ADC,過 O作 OH⊥CN于 H,則 OH為點(diǎn) O到面 ADC的距離,即為點(diǎn) E到面ADC的距離?；蛘叩确e法來求,即VE-ACD=VA-CDE,結(jié)果為