離散時(shí)間更新模型破產(chǎn)時(shí)間概率母函數(shù)若干性質(zhì)的證明

包振華，張紹華

（遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧大連116029）

離散時(shí)間更新模型破產(chǎn)時(shí)間概率母函數(shù)若干性質(zhì)的證明

包振華，張紹華

（遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧大連116029）

利用離散時(shí)間更新模型，獲得了關(guān)于破產(chǎn)時(shí)間概率母函數(shù)的上下界估計(jì)以及漸近表達(dá)式.作為應(yīng)用，得到了延遲更新模型下破產(chǎn)時(shí)間概率母函數(shù)的上下界.

離散時(shí)間更新模型；破產(chǎn)時(shí)間；概率母函數(shù)；延遲更新模型

0 引言

與連續(xù)時(shí)間更新風(fēng)險(xiǎn)模型相比，文獻(xiàn)中關(guān)于離散時(shí)間更新模型的研究結(jié)果相對(duì)較少.Li[1]在研究索賠間隔時(shí)間服從離散的Km分布時(shí)獲得了離散時(shí)間更新模型期望貼現(xiàn)懲罰函數(shù)的遞歸公式；隨后，Li[2]獲得了關(guān)于各種破產(chǎn)量如破產(chǎn)時(shí)間、破產(chǎn)前盈余及破產(chǎn)后赤字的顯示表達(dá)；Wu和Li[3]研究了一般索賠間隔時(shí)間下離散時(shí)間更新模型的貼現(xiàn)懲罰函數(shù)，并考察了當(dāng)索賠額服從一些特殊分布時(shí)的具體表達(dá)式.相關(guān)研究參見Cheng等人[4]，Landriault[5]等文獻(xiàn).本文將主要研究一般索賠間隔時(shí)間下普通的離散時(shí)間更新風(fēng)險(xiǎn)模型破產(chǎn)時(shí)間的概率母函數(shù)，給出了相應(yīng)的上下界估計(jì)以及漸近表達(dá)式.作為應(yīng)用，我們還獲得了延遲更新模型下破產(chǎn)時(shí)間的概率母函數(shù)的上下界估計(jì).本文所獲得的結(jié)果補(bǔ)充了現(xiàn)有文獻(xiàn)中關(guān)于離散時(shí)間更新風(fēng)險(xiǎn)模型的研究.

1 模型的基本結(jié)構(gòu)

全文約定N為自然數(shù)集，N+=N－{0}.普通的離散時(shí)間更新風(fēng)險(xiǎn)模型具有如下的基本結(jié)構(gòu).

1）索賠間隔時(shí)間{Vi；i∈N+}是獨(dú)立同分布（i.i.d.）且取值于正整數(shù)的隨機(jī)序列，具有共同的概率函數(shù)k（t）=P（V1=t）.到達(dá)任意時(shí)刻n的索賠次數(shù)為：

2）個(gè)體索賠量{Xi:i∈N+}是i.i.d.且取值于正整數(shù)的隨機(jī)序列，具有共同的概率函數(shù)f（x）=P（X1=x），分布函數(shù)為F（x）=1-F（x）.假設(shè){Xi:i∈N+}與{Vi:i∈N+}是相互獨(dú)立的.

3）保險(xiǎn)公司到達(dá)時(shí)刻n為止的資本剩余過程為：

u∈N為保險(xiǎn)公司的初始資本.假設(shè)E V2=（1+θ）E X1，其中θ＞0為正的安全負(fù)載系數(shù).

對(duì)于上述普通的離散時(shí)間更新風(fēng)險(xiǎn)模型，令T=min{n∈N+:U（n）＜0}為最終破產(chǎn)時(shí)間，記：?T（u）=E［γTI（T＜∞）│U（0）=u］為破產(chǎn)時(shí)間的概率母函數(shù)，其中γ∈（0，1］為貼現(xiàn)因子.當(dāng)γ→1時(shí)，?T（u）即為離散時(shí)間更新模型的最終破產(chǎn)概率.

對(duì)于i∈N，t，j∈N+，令f（i，j，t│u）為初始盈余為u時(shí)破產(chǎn)前盈余、破產(chǎn)后赤字以及破產(chǎn)時(shí)間的聯(lián)合概率函數(shù)，并記：

由文獻(xiàn)［1］我們知道：

這里L(fēng)*k（u）是L關(guān)于其自身的k重卷積.容易看出，

對(duì)于任意的概率函數(shù)a，本文用a^（s）代表其概率母函數(shù).考察下面推廣的Lundberg基本方程：

Li[1]證明了一定存在某個(gè)Rγ＞1滿足方程（4），我們將Rγ稱為推廣的調(diào)節(jié)系數(shù).由文獻(xiàn)［3］知，方程（4）與方程

具有相同的根.

2 主要結(jié)果及證明

現(xiàn)在我們已經(jīng)準(zhǔn)備好證明本文的主要結(jié)果.首先給出?T（u）的一個(gè)上界估計(jì).

定理1假設(shè)Rγ＞1為滿足方程（4）的解，則有：

證明對(duì)于任意的u∈N，注意到Rγ＞1為式（4）的根，因此也是方程（5）的根，有：

用歸納法.假設(shè)式（6）對(duì)任意的k≤n成立.則根據(jù)歸納假設(shè)及式（2）和式（7）有：

注意到由式（3）即知式（6）成立.

下面給出?T（u）的下界估計(jì).

定理2假設(shè)Rγ＞1為滿足方程（4）的解，則：

由式（2）以及式（9）有：

顯然H∞（u）=1是方程H∞（u）=H0（u）的唯一解.由式（11）知式（8）成立.

如果索賠量服從參數(shù)為q的幾何分布，即f（j）=（1-q）qj-1，j∈N+，則由文獻(xiàn)［3］第4節(jié)知此時(shí)l（j）=f（j），通過簡單的計(jì)算得.因此，由定理1和定理2可以得到下面的結(jié)論.

推論1假設(shè)索賠量服從幾何分布f（j）=（1-q）qj-1，j∈N+，并且Rγ＞1為滿足方程（4）的解，則：

利用方程（1），我們還可以得到?T（u）的一個(gè)漸近表達(dá)式.

定理3假設(shè)Rγ＞1為滿足（4）的解，則有：

關(guān)于普通的更新模型的一個(gè)明顯缺陷是，直接或間接地假設(shè)了在初始零時(shí)刻有一次索賠發(fā)生，這通常與實(shí)際不相符合，而延遲更新風(fēng)險(xiǎn)模型可以克服這個(gè)缺陷.所謂延遲更新風(fēng)險(xiǎn)模型，是指第一次索賠發(fā)生的時(shí)間V1與{V2，V3，…}獨(dú)立但是具有不同的概率函數(shù)k1（t），其它的假設(shè)條件與普通的更新模型一致.記（u）為延遲更新模型下破產(chǎn)時(shí)間的概率母函數(shù).

由于第一次索賠發(fā)生后延遲更新模型即和普通的更新模型一致，通過考察首次發(fā)生索賠的時(shí)間和索賠額，有：

類似于σ1和σ2的定義，令：

利用定理1和定理2的結(jié)論，我們可以獲得延遲更新模型下破產(chǎn)時(shí)間概率母函數(shù)的上下界估計(jì).

推論2假設(shè)Rγ＞1為滿足方程（4）的解，則有：

證明首先，由σ3的定義知：

由式（14）、（16）以及定理1得：

注意到Rγ＞1為滿

類似地，可以獲得延遲更新風(fēng)險(xiǎn)模型下破產(chǎn)時(shí)間的概率母函數(shù)的一個(gè)下界估計(jì).

推論3假設(shè)Rγ＞1為滿足方程（4）的解，則有：

如果索賠量服從幾何分布，由前面的分析知σ1=σ2=σ3=σ4，因此由推論2和推論3可得下面的推論.

推論4假設(shè)索賠量服從幾何分布f（j）=（1-q）qj-1，j∈N+，并且Rγ＞1為滿足方程（4）的解，則：

3 結(jié)語

本文研究了普通的離散時(shí)間更新風(fēng)險(xiǎn)模型下破產(chǎn)時(shí)間概率母函數(shù)的上下界估計(jì)以及漸近表達(dá)式.作為應(yīng)用，我們得到了延遲更新風(fēng)險(xiǎn)模型下破產(chǎn)時(shí)間概率母函數(shù)的上下界估計(jì)，在索賠額服從幾何分布時(shí)可以得到精確的計(jì)算公式.延遲更新模型下的相關(guān)結(jié)果也可以通過破產(chǎn)時(shí)間概率母函數(shù)所滿足的瑕疵更新方程得到.使用同樣的方法我們還可以研究關(guān)于破產(chǎn)后赤字的上下界估計(jì)以及漸近表達(dá)式，從而得到延遲更新模型下赤字分布的上下界估計(jì).

[1] Li S.On a class of discrete time renewal risk models[J].Scandinavian Actuarial Journal，2005（4）：241-260.

[2] Li S.Distributions of the surplus before ruin，the deficit at ruin and the claim causing ruin in a class of discrete time risk models[J].Scandinavian Actuarial Journal，2005（4）：271-284.

[3] Wu X，Li S.On the discounted penalty function in a discrete time renewal risk model with general inter claim time[J].Scandinavian Actuarial Journal，2009（4）：281-294.

[4] Cheng S，Gerber H U，Shiu E S W.Discounted probabilities and ruin theory in the compound binomial model[J].Insurance:Mathematics and Economics，2000（269）：239-250.

[5] Landdriault D.On a generalization of the expected discounted penalty function in a discrete-time insurance risk model[J].Applied Stochastic Models in Business and Industry，2008（24）：525-539.[6]Karlin S，Taylor H M.A first course in stochastic processes[M].New York：Academic Press，1975.

Probability Generating Function of Ruin Time in the Discrete Time Renewal Risk Model

BAO Zhen-hua，ZHANG Shao-hua

（School of Mathematics，Liaoning Normal University，Dalian 116029，Liaoning，China）

For the discrete time renewal risk model，the upper and lower bounds are obtained for the probability generating function（p.g.f.）of the ruin time.The asymptotic expression for p.g.f.of the ruin time is also derived.The upper and lower bounds are obtained for p.g.f.of the ruin time in the delayed renewal risk model.The results complement the study on the discrete time renewal risk model.

discrete time renewal risk model;ruin time;probability generating function;delayed renewal risk model

O 211.4

A

1001-4217（2010）03-0026-06

2009-09-24

包振華（1976-），男，遼寧大連人，副教授.研究方向：保險(xiǎn)精算.E-mail：zhhbao@126.com

遼寧省教育廳高等學(xué)校科研資助項(xiàng)目（2009A423）