模糊數(shù)值函數(shù)空間CF［a，b］的完備性和可分性

谷敏強，劉智斌

（1.汕頭大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，廣東汕頭515063；2.浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江金華324001）

模糊數(shù)值函數(shù)空間CF［a，b］的完備性和可分性

谷敏強1，劉智斌2

（1.汕頭大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，廣東汕頭515063；2.浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江金華324001）

證明了模糊數(shù)值函數(shù)空間CF［a，b］在模糊Hausdorff距離下是完備的和可分的.關(guān)鍵詞：模糊數(shù)值函數(shù)空間；模糊Hausdorff距離；完備性；可分性

0 引言

通用的模糊系統(tǒng)是基于語言變量的非線性映射，這種非線性映射可以通過多種方法獲得，其中的方法之一就是用普通映射將其誘導(dǎo)出來.Zadeh擴(kuò)張原理[1]提供了一種由普通映射到模糊集值映射轉(zhuǎn)換的自然程序，在模糊數(shù)學(xué)中具有基本的重要性.近30年來，基于擴(kuò)張原理的模糊集值函數(shù)得到了廣泛的研究[2-6].但這些研究基本上集中在連續(xù)函數(shù)的Zadeh擴(kuò)張的性質(zhì)上.本文的目的是把連續(xù)函數(shù)的Zadeh擴(kuò)張納入某種抽象空間進(jìn)行研究.從最簡單的閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)的Zadeh擴(kuò)張著手，我們將證明，閉區(qū)間[a，b]上的全部連續(xù)函數(shù)的Zadeh擴(kuò)張構(gòu)成的模糊數(shù)值函數(shù)之集CF［a，b］在模糊Huasdorff距離下是完備的和可分的距離空間.這一結(jié)果對進(jìn)一步研究更一般的模糊集值函數(shù)空間有啟發(fā)意義.

二是有利于搭建交流新平臺。依托參與度高、互動性強的微博平臺和微信公眾平臺，可以實現(xiàn)學(xué)校與企業(yè)、教師與學(xué)生、校內(nèi)與校外的實時交流，拓展教育教學(xué)新思路，打破授課與學(xué)習(xí)的時間約束，突破會計教學(xué)場所的空間限制，進(jìn)一步增強會計教學(xué)的廣泛性、主動性、時代性和鮮活性，更好地團(tuán)結(jié)、組織、發(fā)動廣大粉絲，加入到會計理論研討、優(yōu)秀案例分析、實訓(xùn)操作等大討論，真正達(dá)到教與學(xué)的有機(jī)結(jié)合，實現(xiàn)需與求的無縫對接，實現(xiàn)師與生的互動交流。

1 預(yù)備知識

定義1 設(shè)U是一非空集，（U，d）是一距離空間，P（U）是U的冪集，定義映射

稱dH（A，B）為經(jīng)典集合A和B之間的Hausdorff距離.

定義2 論域U上的模糊數(shù)A定義為μA： U→[0，1]，滿足：

我們把論域U上的模糊數(shù)的全體記為F0（U）.

定義4 設(shè)f：U→V是一普通映射，稱f按Zadeh擴(kuò)張原理誘導(dǎo)的模糊集值函數(shù)Ff：F（U）→F（V）為f的Zadeh擴(kuò)張.

2）計算反正切時，由于CORDIC算法計算反正切時不需要考慮角度θ的輸入值，所以僅對X、Y坐標(biāo)的輸入值進(jìn)行調(diào)整。通過判斷X、Y輸入值的正負(fù)，統(tǒng)一將它們的迭代初值調(diào)整到第一象限上，如式（12）所示，計算完后需要根據(jù)X、Y輸入坐標(biāo)所在的象限將反正切的輸出結(jié)果重新調(diào)整為原來的象限，如式（13）所示。

定義3 設(shè)A，B∈F0（U），定義A與B之間的模糊Hausdorff距離（簡稱FH距離）為：

2 主要結(jié)果

引理1[2]如果f：Rn→R是一致連續(xù)函數(shù)，則f的Zadeh擴(kuò)張F(tuán)f：F0（Rn）→F0（R）關(guān)于FH距離連續(xù).

(2)創(chuàng)新并未推動制造業(yè)內(nèi)部結(jié)構(gòu)升級。基于經(jīng)濟(jì)理論，創(chuàng)新是制造業(yè)結(jié)構(gòu)升級的重要影響因素，由于我國當(dāng)前科技體制不合理、研發(fā)效率和科技成果轉(zhuǎn)化率低等問題的存在，使得創(chuàng)新對制造業(yè)結(jié)構(gòu)升級的促進(jìn)效應(yīng)也沒有發(fā)揮，由此應(yīng)加大實施創(chuàng)新驅(qū)動發(fā)展戰(zhàn)略，推動制造業(yè)結(jié)構(gòu)升級。

還記得在朋友圈里被瘋狂轉(zhuǎn)載的煙火表演嗎？沒錯，那個很“燃”的視頻就是臺北的跨年煙火秀。轉(zhuǎn)眼一年將盡，與其隔著手機(jī)屏幕贊嘆，不如親臨其境去欣賞———全世界施放點最高的燦爛煙花，群星閃耀的演唱會，逛不完的美景，吃不夠的小吃……去臺北辭舊迎新，注定是你一生之中最炫目的一次旅行。

則由泛函分析知，（C[a，b]，ρ）是一個完備的距離空間.

用CF[a，b]表示C[a，b]中諸元素的Zadeh擴(kuò)張的全體，即：

玉環(huán)市國土資源局掀起業(yè)務(wù)報件內(nèi)審復(fù)核“大革命”（王億寧）...................................................................6-32

在母豬進(jìn)入產(chǎn)房前5 d，要對產(chǎn)房進(jìn)行徹底消毒，首先對產(chǎn)床、墻壁等利用高壓水進(jìn)行徹底沖洗，待曬干后，使用0.5%過氧乙酸對全舍進(jìn)行噴霧消毒，經(jīng)過24 h干燥后，再利用高壓水進(jìn)行沖洗，干燥后使豬進(jìn)入。

因閉區(qū)間[a，b]上的任一連續(xù)函數(shù)都一致連續(xù)，由引理1，易知CF[a，b]中的全部元素都是關(guān)于FH距離連續(xù)的模糊數(shù)值函數(shù).

在CF[a，b]中，定義距離函數(shù)ρ′：F0（[a，b]）×F0（[a，b]）→R+為：

其中f，g∈C[a，b]，則（CF[a，b]，ρ′）構(gòu)成一距離空間.

引理2序列{Ffm}?CF[a，b]一致收斂于Ff?CF[a，b]的充要條件是序列{fm}?C[a，b]一致收斂于f∈C[a，b].

證明首先，假定{fm}?C[a，b]一致收斂于f∈C[a，b].設(shè)U為[a，b]的任意一個凸的緊子集，則對于任意的ε＞0，存在自然數(shù)N（ε），對于任意的m>N（ε），有：

這時，

從而有：

這表明序列{fm}?C[a，b]一致收斂于f∈C[a，b].

基于對法律人類學(xué)新整體主義認(rèn)識論反思視角下的再反思，秉持舊整體主義法律認(rèn)識論的“結(jié)構(gòu)混亂”所指稱的是，“當(dāng)前鄉(xiāng)村社會內(nèi)部村莊兩套甚至多套正義觀和價值系統(tǒng)，它們互相沖突卻能在鄉(xiāng)村社會找到村莊的基礎(chǔ)” [9]。顯然，中國農(nóng)民的法律意識并非從整體上構(gòu)成現(xiàn)代法制知識體系的對反，農(nóng)民對待法律知識的態(tài)度是曖昧不清的，甚至是高度工具主義的。一旦現(xiàn)代法律規(guī)則開始在鄉(xiāng)土社會扎下根，區(qū)別于國家主義法制觀的“本土情境”顯然面臨說服力和解釋力的不足。

證明若{fi}是C[a，b]中的柯西列，因C[a，b]是完備的距離空間，存在f∈C[a，b]，使{fi}一致收斂于f，由引理1，{}一致收斂于Ff，從而對任意的ε＞0，存在自然數(shù)N（ε），對任意的m＞N（ε），有：

設(shè)C[a，b]為[a，b]上的全體連續(xù)函數(shù)之集，對于任意x，y∈C[a，b]，定義距離

這時，對任意的n＞N（ε），有：

3.2 掩蓋藥物的不良?xì)馕?大部分藥物均具有苦味和不良嗅味，隨著時代的發(fā)展，人們對藥物口味的要求越來越高。吉明霞[22]利用單凝聚法將藥物替米考星與明膠制成微囊進(jìn)行苦味測定，結(jié)果發(fā)現(xiàn)微囊掩蓋苦味效果良好。楊抒等[23]對乳清蛋白酶解物進(jìn)行微囊化處理，其苦味下降為原來的1/8，有效改善了苦味。微膠囊化可掩飾藥物本身的刺激氣味，而姜黃素具有苦味和辛辣味，將其包裹于囊中，可以掩蓋不良?xì)馕?，提高患者的順?yīng)性，便于服用。

在傳統(tǒng)大學(xué)普通化學(xué)教學(xué)的過程中，教師只是根據(jù)教材內(nèi)容一味地傳授學(xué)生知識，教學(xué)過程是枯燥的。學(xué)生也只能無意識情緒不加區(qū)分地全盤接受，學(xué)習(xí)過程是被動的。在這種狀態(tài)下學(xué)習(xí)，學(xué)生是很難激發(fā)學(xué)習(xí)興趣的，同時也不利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。將多媒體應(yīng)用在大學(xué)教學(xué)中，可以充分發(fā)揮多媒體的作用，既強化了教師與學(xué)生間的互動，又提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，還調(diào)動了學(xué)生的主觀能動性。

CF[a，b]＝{FfFf：F0（[a，b]）→F0（R）為f的Zadeh擴(kuò)張，f∈C[a，b]}.

其中χc∈F0（[a，b]）表示c∈[a，b]的單點模糊化，因此，

ρ（fm，fn）≤ε，

問題分析 該題試圖根據(jù)條件直接準(zhǔn)確地畫出AP、BP、CP滿足等式BP2=AP2+CP2的點難度較大，必須另辟蹊徑.由等邊△ABC的條件以及等式BP2=AP2+CP2獨特的結(jié)構(gòu)特征，能否嘗試通過圖形變換，將AP、BP、CP三條線段集中到一個三角形中去？如圖7,將△BPC繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)60°到△AQC位置.連接PQ，顯然，由等邊△PCQ有∠QPC=60°，由AP2+PQ2=AQ2有∠APQ=90°，所以有∠APC=150°一定值，而點P是動點，故點P在以AC為弦、圓心角為60°的上運動(如圖8).

這說明，{fi}是C[a，b]中的一個柯西列.

定理1（CF[a，b]，ρ′）是一完備的距離空間.

定理2距離空間（CF[a，b]，ρ′）是可分的.

其中χc∈F0（[a，b]）表示c∈[a，b]的單點模糊化，故對上述的ε和m，必有′（fm，f）＜ε，即序列{fm}一致收斂于f.

證明設(shè)C[a，b]中有理多項式函數(shù)之集為P（Q），則P（Q）是C[a，b]的一個可數(shù)稠密子集，從而FP（Q）＝{Fpp∈P（Q）}為CF[a，b]的一個可數(shù)子集.由泛函分析知，對于任意的Ff∈CF[a，b]，在C[a，b]中存在有理多項式函數(shù)序列{pi}收斂于f，由引理2，在CF[a，b]中，序列{}收斂于Ff，這表明FP（Q）是CF[a，b]的可數(shù)稠密子集.所以（CF[a，b]，ρ′）是可分的距離空間.

3 結(jié)語

連續(xù)性是模糊系統(tǒng)的重要屬性，近年來受到國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注[7-9].模糊系統(tǒng)本質(zhì)上是一種模糊數(shù)值映射，因而對連續(xù)模糊數(shù)值映射的研究是連續(xù)模糊系統(tǒng)研究的一個重要方面.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的Zadeh擴(kuò)張保持了連續(xù)性，連續(xù)函數(shù)空間C[a，b]的Zadeh擴(kuò)張CF[a，b]則保持了空間的完備性與可分性.這表明把模糊系統(tǒng)納入某種抽象空間進(jìn)行研究是可能的，沿此方向的研究，可能導(dǎo)出類似于泛函分析的方法處理模糊系統(tǒng)，這將是很有意義的工作.

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Completeness and Separability of the Space of Fuzzy-Number-Valued Functions CF［a，b］

GU Min-qiang1，LIU Zhi-bin2

(1.Department of Mathematics，College of Science，Shantou University，Shantou 515063，Guangdong,China；2.College of Mathematics，Physics and Information Engineering，Zhejiang Normal University，Jinhua 324001，Zhejiang，China)

The space of fuzzy-number-valued functions CF［a，b］is proved to be complete and separable with respect to fuzzy Hausdorff metric.

space of fuzzy-number-valued functions；fuzzy Hausdorff metric；completeness；separability

O 159

A

1001-4217（2010）03-0001-05

2010-05-27

谷敏強（1973-），男，廣西忻城人，博士，講師.研究方向：模糊數(shù)學(xué)與人工智能.E-mail：mqgu@stu.edu.cn

國家自然科學(xué)基金資助項目（10971125）；高等學(xué)校博士學(xué)科點專項科研基金資助項目（20094402110001）；汕頭大學(xué)青年科研資助項目基金（YR08003）.