Laplace分布參數(shù)估計(jì)的損失函數(shù)和風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)的Bayes推斷

徐美萍，段景輝

（1.北京工商大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)系，北京 100037；2.中國(guó)人民大學(xué) 統(tǒng)計(jì)學(xué)院，北京 100872）

0 引言

統(tǒng)計(jì)推斷是在不知道總體全部特征的情形下，通過樣本提供的信息來推斷總體分布或數(shù)字特征的一種統(tǒng)計(jì)程序。作為統(tǒng)計(jì)學(xué)中不可缺少的研究手段，它的重要性是不言而喻的。Bayes統(tǒng)計(jì)作為統(tǒng)計(jì)學(xué)中的兩大主要學(xué)派之一，其推斷的基礎(chǔ)是后驗(yàn)分布。Bayes推斷利用總體分布中未知參數(shù)θ的先驗(yàn)分布 π（θ）與樣本觀測(cè)值 x=(x1,x2,…，xn)提供的信息，得到后驗(yàn)分布h(θ|x)。由于h(θ|x)綜合了總體、樣本和先驗(yàn)信息，包含了θ所有可供利用的信息，所以有關(guān)θ的估計(jì)和檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)推斷都按一定方式從后驗(yàn)分布中提取信息，其提取方法相對(duì)于頻率學(xué)派的經(jīng)典統(tǒng)計(jì)推斷，簡(jiǎn)單明了；對(duì)小樣本一般也有較好的推斷效果。

根據(jù)統(tǒng)計(jì)判決理論，在使用統(tǒng)計(jì)推斷結(jié)果時(shí)必需與得失聯(lián)系在一起考慮，即用d=δ(x)作為未知參數(shù)θ的估計(jì)會(huì)帶來一定的損失，其損失函數(shù)通常用w(θ,d)表示。由于w(θ,d)作為θ的函數(shù)是不可觀測(cè)的，所以有必要對(duì)w(θ,d)作精度估計(jì)。假設(shè)r是損失函數(shù)w(θ,d)的一個(gè)精度估計(jì)，文獻(xiàn)[1]引入新的損失函數(shù)

該損失函數(shù)把w(θ,d)與其精度估計(jì)γ集合起來，給出了γ關(guān)于 L(θ,d,γ)的 Bayes估計(jì) γB(x)，恰好是 θ 的 Bayes估計(jì) δB(x)的后驗(yàn)損失，即

從頻率學(xué)派的觀點(diǎn)考慮[2]，總希望損失函數(shù)w(θ,d)的一個(gè)估計(jì) γ(x)是一個(gè)保守估計(jì)，即滿足 Eθ[γ(x)]≥R(θ,δ(x))=Eθ[w(θ,d)]，那么從總體上來說可使r(x)不會(huì)低于平均損失。為此給出γ(x)成為一個(gè)保守估計(jì)的未知參數(shù)θ需滿足的一般條件就顯得非常重要。

在統(tǒng)計(jì)、工程和數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中我們經(jīng)常會(huì)遇到Laplace分布。它具有較高的尖和稍厚的尾，常用于模擬長(zhǎng)尾對(duì)稱數(shù)據(jù)，如誤差、收益率等。Laplace分布還具有幾何無限可分性，即，若設(shè)vp服從均值為1/ρ的幾何分布，{Xi,i=1,2,…，}為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且與vp獨(dú)立，則存在實(shí)數(shù)ap＞0，bp使得當(dāng)p→∞時(shí)的極限分布為L(zhǎng)aplace分布。在金融資產(chǎn)定價(jià)中我們總是用幾何布朗運(yùn)動(dòng)來解釋Laplace分布的這種無限可分性質(zhì)[3]。

文獻(xiàn)[5]、[6]等分別討論了一些常見分布的參數(shù)估計(jì)的損失函數(shù)和風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)的Bayes推斷,得出了一些有用的結(jié)果。本文將討論Laplace分布參數(shù)估計(jì)的損失函數(shù)和風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)的Bayes推斷問題，給出其損失函數(shù)和風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)的Bayes估計(jì)為保守估計(jì)的一般條件，并對(duì)上證指數(shù)收益率數(shù)據(jù)作實(shí)證分析。

1 Bayes估計(jì)

1.1 Laplace分布參數(shù)的估計(jì)與后驗(yàn)分布

本文討論的Laplace分布的密度表達(dá)式為

設(shè)x=(x1,x2,…，xn)是來自(3)的一組樣本觀測(cè)值，則有似然函數(shù)

若 θ 取(4)式的共軛先驗(yàn)分布 IΓ(α,λ)，即

其中 α＞0，λ＞0，則 θ 的后驗(yàn)分布為

即 IΓ（n+α,t+λ）[7]。

1.2 損失函數(shù)的Bayes估計(jì)

取 w(θ,d)為平方損失函數(shù)(θ-d)2（其中 d=δ(x)是未知參數(shù)θ的估計(jì)），則θ的Bayes估計(jì)為

式（6）增加了未知參數(shù)θ的先驗(yàn)信息，可以看作是其最大似然估計(jì)θ^的一個(gè)修正。

設(shè) w(θ,d)的精度估計(jì)為 γ，則 w(θ,d)關(guān)于損失函數(shù) L(θ,d,γ)=w(θ,d)γ-1/2+γ1/2的 Bayes估計(jì)為

1.3 風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)的Bayes估計(jì)

由(6)式，θ的Bayes估計(jì)δB(x)的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)為

從上式可看出R(θ,δB)是未知參數(shù)θ的函數(shù)，所以可對(duì)它進(jìn)行估計(jì)。又由于 R(θ,δB)是 w(θ,δB(x)的均值，故我們還可以把R(θ,δB)的估計(jì)作為 w(θ,δB(x)的估計(jì)。 在平方損失下，R(θ,δB)的Bayes估計(jì)為

2 γB(x)與 φB(δB)為保守估計(jì)的條件

定理 1 對(duì)給定的 α＞0，λ＞0,γB(x)為保守估計(jì)的充要條件是θ滿足：

注意到保守估計(jì)的定義及（8）式，要使 Eθ[γB(x)]≥R(θ,δB)，當(dāng)且僅當(dāng)

移項(xiàng)整理即得(10)式。

定理 2 對(duì)給定的 α＞0，λ＞0,φ(δB)為保守估計(jì)的充要條件是θ滿足：

接下來的證明與定理1類似。

綜合上述討論，φ(δB)與 γB(x)作為平方損失函數(shù) w(θ,d)的精度估計(jì)各有優(yōu)勢(shì)，我們可以結(jié)合的先驗(yàn)信息，根據(jù)實(shí)際需要及具體計(jì)算結(jié)果，選取其中之一作為損失函數(shù)的精度估計(jì)。如果樣本容量較大，先驗(yàn)信息又告訴我們的可能取值較小，那么選取φ(δB)要好, 而當(dāng) θ的可能取值較大時(shí)，取 γB(x)作為 w(θ,d)的精度估計(jì)不失為一種良策。下面的實(shí)證分析結(jié)果表明當(dāng)θ接近于 1，而n、α、λ的值較大時(shí)，保守性是較易滿足的一種條件。

圖1 上證指數(shù)收益率數(shù)據(jù)的累積分布與laplace分布函數(shù)圖

3 數(shù)值分析

本文數(shù)據(jù)來源于 http://www.google.cn/finance/historical。我們選取了2000.1.4～2009.5.15的上證指數(shù)收盤價(jià)共2253個(gè)數(shù)據(jù)，通過繪制上證指數(shù)收益率(單位：%)數(shù)據(jù)的累積分布與laplace分布函數(shù)圖發(fā)現(xiàn)它們的擬合度很高(圖1)。KS(Kol?mogorov-Smirnov)檢驗(yàn)結(jié)果顯示它們之間的最大距離為D=0.0149,相伴概率為0.6968，可以認(rèn)為上證指數(shù)收益率服從Laplace分布。由于收益率數(shù)據(jù)常常近似獨(dú)立，所以我們從原始數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽樣500次，每次抽取容量為1000的一個(gè)樣本，計(jì)算θ的最大似然估計(jì)，并把它們作為θ的一組樣本觀測(cè)值，得到θ的樣本平均值為1.1995，樣本方差為0.0009。由于我們假定 θ 取先驗(yàn)分布 IΓ(α,λ)，所以 E(θ)=λ/(α-1),Var(θ)=λ2/(α-1)2(α-2)，由矩估計(jì)法可解得 α=1600.667,λ=1918.8。再做KS檢驗(yàn)，結(jié)果表明θ的樣本觀測(cè)值與先驗(yàn)分布之間的最大距離為D=0.0362，相伴概率為0.5302，不能拒絕θ服從IΓ(α,λ)分布，符合假定。 易算得此時(shí) γB(x)與 φ(δB)均為平方損失函數(shù)的保守估計(jì)。

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