基于模糊時(shí)間序列模型的股票市場(chǎng)預(yù)測(cè)

藺玉佩，楊一文

(西北工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院，西安 710129)

0 引言

股票價(jià)格序列預(yù)測(cè)不僅對(duì)投資者而言有巨大的市場(chǎng)利益，同時(shí)對(duì)學(xué)術(shù)界研究市場(chǎng)運(yùn)行規(guī)律無(wú)疑也具有重要的理論價(jià)值。因此研究采用何種方法對(duì)股票價(jià)格進(jìn)行較準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)就成為是國(guó)內(nèi)外學(xué)者都非常關(guān)注的課題。時(shí)間序列預(yù)測(cè)方法是常用的股票價(jià)格預(yù)測(cè)方法。一般的時(shí)間序列預(yù)測(cè)方法，如ARIMA等，都是以時(shí)間序列的精確值為基礎(chǔ)并且認(rèn)為時(shí)間序列的未來(lái)值與當(dāng)前值、過(guò)去值以及白噪聲之間存在著確定、明確的函數(shù)關(guān)系。但是，證券市場(chǎng)系統(tǒng)非常復(fù)雜，市場(chǎng)的行為特征是不明確的，精確的記錄往往會(huì)丟失部分有用的信息，許多變量之間的關(guān)系也難以用確定的函數(shù)關(guān)系來(lái)描述。因此，本文將模糊時(shí)間序列模型用于股票指數(shù)價(jià)格的預(yù)測(cè)，將觀測(cè)值表示為具有模糊特征的語(yǔ)言變量并且建立了多前件的模糊關(guān)系，最后通過(guò)去模糊化得到精確值。結(jié)果表明此法更能全面反映系統(tǒng)的特征并且有利于復(fù)雜環(huán)境中提高預(yù)測(cè)精度。

1 模糊時(shí)間序列與模糊邏輯關(guān)系

本文應(yīng)用模糊時(shí)間序列模型對(duì)上證綜指和深證成指進(jìn)行預(yù)測(cè)，首先對(duì)模糊時(shí)間序列的定義作一簡(jiǎn)要敘述。

令U為給定論域，將論域劃分為n個(gè)子區(qū)間，則U={u1,u2，…,un}。一個(gè)定義在論域U中的模糊集合A表示如下：

其中，fA(·)是 ui對(duì)模糊集合 A 的隸屬函數(shù)，fA(ui)是 ui對(duì)模糊集合 A 的隸屬度，fA(ui)∈[0,1]，i=1,2,…,n。

定義1 令R中一子集Y(t)(t=…,0,1,2,…)為給定論域，fi(t)(i=1,2,…)為定義在其上的模糊集合，由 f1(t)，f2(t)(組成的集合F(t)稱作定義在Y(t)(t=…,0,1,2,…)上的模糊時(shí)間序列。

定義 2 如果 F(t)僅僅由 F(t-1)引起，即 F(t-1)→F(t)，這個(gè)關(guān)系可表示為F(t)=F(t-1)°R(t,t-1)，稱F(t)作的一階模型，R(t,t-1)為F(t-1)與F(t)之間的模糊關(guān)系。

定義2中，F(xiàn)(t-1)為模糊關(guān)系的前件，F(xiàn)(t)為后件，此關(guān)系式是具有單個(gè)前件的一階模糊關(guān)系式。

定義3 F(t)為給定論域上的模糊時(shí)間序列，如果F(t)同時(shí)由F(t-1),F(t-2),…,F(t-n)引起，則n階模糊邏輯關(guān)系可表示為 F(t-n)、…、F(t-2)、F(t-1)→F(t)，其中 F(t-n)、…、F(t-2)、F(t-1)為n階模糊邏輯關(guān)系的當(dāng)前狀態(tài)。

定義4 假設(shè)R中一子集Y(t)(t=…,0,1,2,…)為給定論域，F(xiàn)1(t),F2(t),…,Fn(t)是各自給定論域上的n個(gè)模糊時(shí)間序列，如果 F(t)同時(shí)由 F1(t),F2(t-1),F3(t-1),…,Fn(t-1)引起，具有 n個(gè)前件的一階模糊關(guān)系可表示為Fn(t-1),…,F2(t-1),F1(t-1)→F(t)。

綜合以上定義，具有n個(gè)前件的n階模糊邏輯關(guān)系式可定義如下：

定義5 F1(t),F2(t),…,Fn(t)和F(t)為各自給定論域上的n+1個(gè)模糊時(shí)間序列，則具有n個(gè)前件的n階模糊邏輯關(guān)系式可表示為：(F1(t-n),F2(t-n),…,Fn(t-n))、…、(F1(t-2),F2(t-2),…,Fn(t-2))、(F1(t-1),F2(t-1),…,Fn(t-1))→F(t)。

2 模糊時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型

本文建立的模糊時(shí)間序列模型主要包括以下步驟：模糊化、建立模糊關(guān)系、預(yù)測(cè)并去模糊化。

步驟1 模糊化

定義論域 U。 論域 U=[Dmin-σ，Dmax+σ]，其中 Dmin和 Dmax分別為訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)中的最小值和最大值，σ為訓(xùn)練樣本標(biāo)準(zhǔn)差。采用模糊C-均值聚類算法將數(shù)據(jù)聚類，并根據(jù)聚類結(jié)果論域劃分為多個(gè)子區(qū)間，首先計(jì)算聚類數(shù)k，則

其中，n為訓(xùn)練樣本個(gè)數(shù)，Dmin和Dmax分別為訓(xùn)練樣本序列中的最大值和最小值，X(t)和X(t-1)分別為t時(shí)刻和t-1時(shí)刻的訓(xùn)練樣本的觀測(cè)值。[]為四舍五入取整運(yùn)算。其次通過(guò)模糊C-均值聚類算法將數(shù)據(jù)分為k類，相應(yīng)地得到k個(gè)聚類中心ji(i=1,2,…,k)。將相鄰兩個(gè)聚類中心的中點(diǎn)做為論域子區(qū)間的邊界點(diǎn)，定義邊界點(diǎn)為di(i=1,2,…,k-1)。劃出k個(gè)子區(qū)間：(Dmin,d1)、(d1,d2)、(d2,d3)、…、(dk-1,Dmax)，分別用 u1、u2、…、uk表示。可以看出，各子區(qū)間長(zhǎng)度各異，這是因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)在其論域上的分布不是均勻的，而是有其復(fù)雜的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，用聚類結(jié)果來(lái)指導(dǎo)子區(qū)間的劃分顯然比等分論域能更好地反映數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，有利于提高預(yù)測(cè)精度。

最后定義子區(qū)間對(duì)應(yīng)的模糊集合，并將數(shù)據(jù)模糊化。定義模糊集合Ai為：

其中，fij表示uj對(duì)模糊集合Ai的隸屬度(i=1,2,…,k;j=1,2,…,k)。數(shù)據(jù)的模糊化規(guī)則為：如果某樣本數(shù)據(jù)屬于ui，且ui對(duì)Ai的隸屬度在其所有隸屬度中是最大值，則可將該數(shù)據(jù)值模糊化為Ai。將所有樣本數(shù)據(jù)模糊化，得到對(duì)應(yīng)的模糊時(shí)間序列。將股票每日收益率、5日移動(dòng)均線變化值、成交量和DHL四個(gè)時(shí)間序列分別定義為{R(t)}、{M(t)}、{V(t)}和{D(t)}（t=1,2,…,n），其中n為訓(xùn)練樣本數(shù)。根據(jù)式(1)得出聚類數(shù)分別為k1,k2,k3和k4，在各自的論域上將上述4個(gè)時(shí)間序列模糊化后得到的模糊時(shí)間序列分別為 A(t,i)（i=1,2,…,k1），B(t,j)（j=1,2,…,k2），C(t,p)（p=1,2,…,k3）和D(t,q)（q=1,2,…,k4；t=1,2,…,n）。

步驟2 建立模糊關(guān)系

選用n天的樣本數(shù)據(jù)作為建模的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，設(shè)當(dāng)天為t，前三天分別為t-3，t-2和t-1，t=1,2,…,n。利用上述模糊時(shí)間序列建立具有四前件、三階模糊關(guān)系的模糊時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型：

其中 i1,i2,i3,i4=1,2,…,k1；j1,j2,j3=1,2,…,k2；p1,p2,p3=1,2,…,k3；q1,q2,q3=1,2,…,k4。則按時(shí)間順序可以依次建立共計(jì)n-3個(gè)模糊關(guān)系，形成訓(xùn)練數(shù)據(jù)模糊關(guān)系表，如表1所示。

步驟3 預(yù)測(cè)并去模糊化

(1)預(yù)測(cè)

預(yù)測(cè)未來(lái)T時(shí)刻的模糊收益率A(T,i4)，其模糊邏輯關(guān)系式為：

表1 訓(xùn)練數(shù)據(jù)模糊關(guān)系

將上式左邊的前件依次與表1中列出的n-3個(gè)關(guān)系式的前件逐個(gè)進(jìn)行對(duì)比。具體地，本文提出的對(duì)比原則是：計(jì)算前件相同位置上第二下標(biāo)的差值的絕對(duì)值，例如，模糊集合A(T-3,i3)中 i3=m3（1≤m3≤k1），A(t-3,i3)中 i3=n3（1≤n3≤k1），則差值絕對(duì)值為|m3-n3|，將12對(duì)模糊集合第二下標(biāo)的差值絕對(duì)值求和，如果和小于等于某一設(shè)定值（如20），則認(rèn)為關(guān)系匹配成功。這樣做的優(yōu)點(diǎn)是整體度量?jī)蓚€(gè)模糊關(guān)系前件的差異，設(shè)定的值越小，差異度量越精確，但匹配成功的次數(shù)將隨之降低，反之亦然。如果一次預(yù)測(cè)關(guān)系匹配成功的個(gè)數(shù)為N，則這N個(gè)訓(xùn)練數(shù)據(jù)模糊關(guān)系式的后件構(gòu)成了本次預(yù)測(cè)結(jié)果集合A(·,·)，該集合中模糊集合出現(xiàn)的次數(shù)不一定相同，有些可能多次出現(xiàn)，有些則可能僅出現(xiàn)一次。設(shè)各可能出現(xiàn)結(jié)果值的頻數(shù)為 fi（i=1,2,…,k1），預(yù)測(cè)結(jié)果集合如表 2所示，集合中的每一個(gè)模糊集合對(duì)應(yīng)一個(gè)聚類中心。

(2)去模糊化

采用重心法去模糊化。根據(jù)表2結(jié)果去模糊化得到預(yù)測(cè)值

3 應(yīng)用實(shí)例

3.1 數(shù)據(jù)說(shuō)明

選取上證綜合指數(shù)和深證成份指數(shù)每日收益率、收盤價(jià)、最高價(jià)、最低價(jià)和成交量為樣本，區(qū)間分別為2005-12-14至2009-4-15和2005-12-26至2009-4-15①數(shù)據(jù)來(lái)源于清華金融研究數(shù)據(jù)庫(kù)(http://211.157.28.243/terminal/system/gotoLogin.action)。。收益率采用對(duì)數(shù)收益率，DHL由最高價(jià)、最低價(jià)和收盤價(jià)計(jì)算得到。由于成交量數(shù)值比較大，將其單位改為萬(wàn)手。最后得到上證綜指有效數(shù)據(jù)共800天，深證成指共794天。

3.2 預(yù)測(cè)步驟

依照前文的建模步驟，使用上證指數(shù)的數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)明預(yù)測(cè)過(guò)程。

步驟1 模糊化

取前750個(gè)交易日數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本，后50個(gè)交易日數(shù)據(jù)用于預(yù)測(cè)。以上證指數(shù)收益率的模糊化過(guò)程為例。

表2 一次模糊預(yù)測(cè)所有可能的結(jié)果

首先定義論域U。收益率訓(xùn)練樣本中最大值和最小值分別為 0.0903 和-0.0926，σ=0.0258。 得到 U=[-0.1184,0.1161]。由于市場(chǎng)實(shí)施10%的漲跌幅限制，在[-0.1,0.1]范圍以外沒(méi)有值，所以我們定義收益率論域U=[-0.1,0.1]。

其次劃分子區(qū)間。根據(jù)式(1)可得分類數(shù)k1=10，使用matlab模糊邏輯工具箱函數(shù)中的模糊C-均值聚類函數(shù)fcm將訓(xùn)練數(shù)據(jù)進(jìn)行分類，得到10個(gè)聚類中心分別為：-0.0789,-0.0483,-0.03,-0.0181,-0.0067,0.0015,0.0089,0.0167,0.0267,0.0446，以相鄰兩個(gè)聚類中心中點(diǎn)作為子區(qū)間的分界點(diǎn)，將論域劃分成10個(gè)子區(qū)間分別為u1=[-0.1,-0.0636),u2=[-0.0636,-0.0392),u3=[-0.0392,-0.024),u4=[-0.024,-0.0124),u5=[-0.024,-0.0026),u6=[-0.0026,0.0052),u7=[0.0052,0.0128),u8=[0.0128,0.0217),u9=[0.0217,0.0356),u10=[0.0356,0.1]。

再根據(jù)式(2)定義模糊集合為：

最后將數(shù)據(jù)模糊化。例如，2006-11-17的收益率為0.0155，它落在區(qū)間u8內(nèi)，u8對(duì)于A8的隸屬度在所有區(qū)間中最大，所以將0.0155模糊化為A8。將收益序列中所有數(shù)據(jù)模糊化后可得對(duì)數(shù)收益率的模糊時(shí)間序列。同樣方法將其它三個(gè)序列的數(shù)據(jù)在各自論域上模糊化為模糊時(shí)間序列。

步驟2 建立模糊關(guān)系

利用750日的訓(xùn)練數(shù)據(jù)可構(gòu)造747（=750-3）個(gè)模糊關(guān)系如表3所示，然后將預(yù)測(cè)T日的模糊關(guān)系式(5)中的前件與這747個(gè)模糊關(guān)系的前件進(jìn)行比對(duì)，選出匹配成功的模糊關(guān)系。需要指出的是，為了書寫簡(jiǎn)潔，又不致產(chǎn)生歧義，后文中省略了模糊時(shí)間序列中模糊集合的第一個(gè)（時(shí)序）下標(biāo)。

表3 上證指數(shù)訓(xùn)練數(shù)據(jù)模糊關(guān)系

步驟3 預(yù)測(cè)并去模糊化

(1)預(yù)測(cè)

以2009-2-4這一天為例說(shuō)明預(yù)測(cè)過(guò)程。當(dāng)日收益率為Ar。用前3天歷史數(shù)據(jù)并根據(jù)式(5)可建立模糊邏輯關(guān)系式為：

將其前件中的模糊集合與表3中各關(guān)系式前件中對(duì)應(yīng)的模糊集合根據(jù)對(duì)比原則進(jìn)行一一對(duì)比，最后匹配成功的關(guān)系式個(gè)數(shù)為58個(gè)，這58個(gè)模糊關(guān)系式的后件構(gòu)成了預(yù)測(cè)結(jié)果集合如表4所示。

表4 上證指數(shù)2009-2-4模糊預(yù)測(cè)結(jié)果

(2)去模糊化

根據(jù)公式(4)可以得出2009-2-4日的收益率預(yù)測(cè)結(jié)果為0.00142239。當(dāng)天的實(shí)際收益率為0.023。

4 預(yù)測(cè)結(jié)果分析

對(duì)上證指數(shù)和深證指數(shù)從2009-2-4至2009-4-15的50天價(jià)格的預(yù)測(cè)結(jié)果如圖1、圖2和表5所示。為客觀評(píng)價(jià)本文提出的模糊時(shí)間序列模型的預(yù)測(cè)效果，我們特意將其與模糊時(shí)間序列中的標(biāo)志模型進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表5所示。

由表5（第2、4列）可以看出，對(duì)于同樣兩市指數(shù)的50日預(yù)測(cè)，Chen的模型[4]的平均預(yù)測(cè)誤差接近或高于2.5% ，而本文建立的模型的平均預(yù)測(cè)誤差都明顯低于2%，預(yù)測(cè)結(jié)果的改進(jìn)還是很明顯的。同時(shí)也說(shuō)明本文在論域劃分以及模型變量的選擇方面所作的努力還是有一定成效的，同時(shí)也表明，對(duì)于處理復(fù)雜問(wèn)題的模糊時(shí)間序列而言，在論域劃分和模型變量選擇應(yīng)予以高度重視。

價(jià)格指數(shù)數(shù)值的預(yù)測(cè)固然重要，但是退一步，其未來(lái)的變化趨勢(shì)即漲跌無(wú)疑也是非常重要的信息。應(yīng)用本文建立的模糊時(shí)間序列模型分別對(duì)上證指數(shù)、深證指數(shù)未來(lái)漲跌趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)區(qū)間：2009-2-4至2009-2-24。預(yù)測(cè)的過(guò)程同上，只是省了去模糊化這一步驟，直接在論域上找出預(yù)測(cè)得到的模糊集合（后件）所對(duì)應(yīng)的子區(qū)間ui(i=1,2,…,k1)，進(jìn)而判斷指數(shù)變動(dòng)趨勢(shì)。同樣地，我們也將其與Chen的模型進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果如表5（第3、5列）所示。Chen的模型對(duì)兩市指數(shù)的趨勢(shì)預(yù)測(cè)正確率均低于60%，而本文模型的預(yù)測(cè)正確率分別接近或高于70%。

5 結(jié)論

本文將時(shí)間序列分析與模糊規(guī)則結(jié)合起來(lái)所產(chǎn)生的模糊時(shí)間序列模型具有兩者的優(yōu)點(diǎn)，是時(shí)間序列分析方法的拓展，將其應(yīng)用于股票價(jià)格的預(yù)測(cè)是一種有益的嘗試。

模糊時(shí)間序列模型的預(yù)測(cè)精度主要取決于兩點(diǎn)：論域的子區(qū)間劃分和模糊關(guān)系的建立。前者要求合理劃分論域，反映真實(shí)的數(shù)據(jù)分布結(jié)構(gòu)，并以此為基礎(chǔ)選擇適當(dāng)?shù)娜ツ：椒?；后者則要求不僅對(duì)數(shù)據(jù)的擬合精度高，而且還要求模型具有較好的推廣能力，為達(dá)到這一目的，必須選擇適當(dāng)?shù)哪Ｐ妥兞浚辞凹兞?，同時(shí)還要建立有效的模糊規(guī)則。因此本文選擇模糊聚類方法實(shí)現(xiàn)對(duì)論域的子區(qū)間劃分，力求客觀地反映樣本數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)分布，并為劃分論域提供一個(gè)比較客觀的方法。相應(yīng)地，采用重心法區(qū)模糊化，實(shí)現(xiàn)對(duì)收益的精確預(yù)測(cè)。影響價(jià)格的因素很多，但模型中又不可能引入過(guò)多的變量，否則不僅導(dǎo)致運(yùn)算量過(guò)大，而且使模糊關(guān)系過(guò)于復(fù)雜，使模型的推廣能力下降?；谏鲜隹紤]，本文選擇歷史收益率、5日移動(dòng)平均線、成交量以及多空雙方強(qiáng)弱對(duì)比4個(gè)變量作為模型的變量，建立了多前件的模糊時(shí)間序列模型，并特別設(shè)計(jì)了能反映多空雙方力量對(duì)比的指標(biāo)DHL以及模糊規(guī)則的確定原則。預(yù)測(cè)結(jié)果表明，本文建立的模糊時(shí)間序列模型較典型的模糊時(shí)間序列模型具有較高的預(yù)測(cè)精度。

表5 上證、深證指數(shù)預(yù)測(cè)誤差

由于所面臨問(wèn)題的復(fù)雜性，模糊時(shí)間序列模型的運(yùn)用是問(wèn)題導(dǎo)向的。即論域的劃分、模糊關(guān)系的建立必須根據(jù)具體問(wèn)題設(shè)計(jì)合理的方法，這些方面仍有許多工作要做。例如模糊關(guān)系前件比對(duì)過(guò)程中，本文選擇的20這一數(shù)值僅僅是經(jīng)過(guò)累試后得到的，工作量比較大；另外，論域的劃分與模糊規(guī)則的建立目前還是獨(dú)立的兩部分內(nèi)容，如果將二者聯(lián)合起來(lái)綜合考慮，對(duì)提高模型精度無(wú)疑具有重要意義。

[1]Song,Q.,Chissom,B.S.Fuzzy Time Series and Its Models[J].Fuzzy Sets and Systems,1993,（54）.

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[3]吳銘鋒，蔣勛.基于模糊時(shí)間序列的預(yù)測(cè)模型-以上證指數(shù)為例[J].價(jià)值工程，2008，(11).

[4]何云峰，楊燕.基于模糊時(shí)間序列-股票走勢(shì)的建模與應(yīng)用[J].微計(jì)算機(jī)信息，2006,(33).

[5]張智星，孫春在.神經(jīng)-模糊和軟計(jì)算[M].西安：西安交通大學(xué)出版社，2000.