基于Copula的投資組合均值-CVaR有效前沿分析

金博軼

（上海財(cái)經(jīng)大學(xué) 金融學(xué)院，上海 200433）

0 引言

自Markowitz在1952年創(chuàng)立投資組合理論以來(lái)，投資組合模型成為金融投資領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)問(wèn)題之一。傳統(tǒng)理論的一個(gè)重要缺陷在于其假設(shè)資產(chǎn)組合收益率服從多元正態(tài)分布，然而，大量的實(shí)證表明，這種假設(shè)經(jīng)常與客觀事實(shí)相違背。首先，金融時(shí)間序列多呈現(xiàn)時(shí)變波動(dòng)、偏斜、高峰、厚尾等特性，用正態(tài)分布去近似變量的邊際分布會(huì)產(chǎn)生較大的誤差。其次，多元正態(tài)分布假設(shè)變量之間的相關(guān)關(guān)系為線(xiàn)性相關(guān)，然而，金融時(shí)間序列往往呈現(xiàn)尾部相關(guān)的特性。Ramchand和Susmel（1998）在研究全球主要股票市場(chǎng)的相關(guān)性后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)股價(jià)出現(xiàn)大幅波動(dòng)時(shí)，市場(chǎng)之間的相關(guān)性會(huì)增加；Thierry和 Carole Métais（2009）研究了英國(guó)、德國(guó)、法國(guó)股票市場(chǎng)股價(jià)波動(dòng)的聯(lián)動(dòng)效應(yīng)并證實(shí)，市場(chǎng)之間的相關(guān)性呈現(xiàn)非對(duì)稱(chēng)特征，英國(guó)市場(chǎng)股價(jià)的波動(dòng)對(duì)德國(guó)和法國(guó)的影響要強(qiáng)于德法對(duì)英國(guó)的影響；Longin和Solnik（2001）對(duì)五個(gè)主要國(guó)家股票指數(shù)的收益率進(jìn)行研究并證實(shí)，市場(chǎng)之間的相關(guān)性在熊市會(huì)強(qiáng)于牛市。顯然，基于線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的多元正態(tài)分布不能很好的撲捉到這種相關(guān)的時(shí)變性、非線(xiàn)性及非對(duì)稱(chēng)性特征。

為了克服多元正態(tài)分布的上述兩點(diǎn)缺陷，本文擬使用Copula技術(shù)刻畫(huà)資產(chǎn)組合聯(lián)合收益率分布，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建投資組合均值-CVaR模型，并使用蒙特卡羅技術(shù)對(duì)模型進(jìn)行實(shí)證分析。

1 基于Copula的聯(lián)合概率分布模型

Copula可以理解為 “相依函數(shù)”或 “連接函數(shù)”，通過(guò)Copula函數(shù)，我們可以將風(fēng)險(xiǎn)分解成單個(gè)金融資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)和由投資組合產(chǎn)生的相關(guān)性風(fēng)險(xiǎn)兩部分。其中單個(gè)金融資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)可以由它們各自的邊際分布來(lái)描述，而由投資組合產(chǎn)生的相關(guān)性風(fēng)險(xiǎn)則可以由連接它們的Copula函數(shù)來(lái)描述。因此，運(yùn)用Copula理論構(gòu)建資產(chǎn)組合收益率聯(lián)合概率分布時(shí)分以下兩步進(jìn)行：（1）確定單個(gè)資產(chǎn)收益率邊際分布；（2）選擇適當(dāng)?shù)腃opula函數(shù)，以便能較好地描述資產(chǎn)的相依結(jié)構(gòu)。

1.1 邊際分布的選擇

金融時(shí)間序列的條件分布往往呈現(xiàn)出時(shí)變波動(dòng)、波動(dòng)集群、偏斜、尖峰、厚尾等特性，對(duì)這種特征進(jìn)行最經(jīng)典描述的是由Engle于1982年提出的自回歸條件異方差模型（ARCH）；隨后，學(xué)者們對(duì)該模型進(jìn)行了推廣，最重要的推廣之一就是由Bollerslev于1986年提出的廣義自回歸條件異方差模型（GARCH）。大量實(shí)證研究表明，在股市中大多數(shù)情況下，GARCH(l，l)、GARCH(l，2)、GARCH(2，l)模型已能充分反映長(zhǎng)時(shí)期的金融數(shù)據(jù)的波動(dòng)特征。其中GARCH-t、GARCHGED模型對(duì)金融時(shí)間序列條件分布特性的刻畫(huà)能力優(yōu)于普通的正態(tài)GARCH模型，它可以較好地描述金融時(shí)間序列尖峰厚尾特性。因此，本文選用由t-分布噪聲驅(qū)動(dòng)的GARCH-t（1，1）模型來(lái)描述金融收益序列的條件邊際分布。該模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

其中，Rt為收益率序列，μ為條件期望值，為條件異方差項(xiàng)，ω為隨機(jī)項(xiàng)，εt為隨機(jī)誤差項(xiàng)，α和β為條件條件異方差方程的系數(shù)，tv為自由度為v的正規(guī)化t分布。

1.2 Copula函數(shù)的選擇、參數(shù)估計(jì)及擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

Copula函數(shù)種類(lèi)繁多，不同的Copula能夠刻畫(huà)不同類(lèi)型的相依特征。本文選擇正態(tài) Copula、t-Copula、frank-Copula、Gumbel-Copula、Clayton-Copula 等五種 Copula 類(lèi)型進(jìn)行實(shí)證分析與比較。

Copula技術(shù)的建模特點(diǎn)使其極適于采用多階段參數(shù)估計(jì)法，本文的參數(shù)估計(jì)方法基于二階段極大似然估計(jì)，第一階段，估計(jì)邊際分布的參數(shù)θ1：

在估計(jì)出參數(shù)后，我們需要對(duì)擬合優(yōu)度進(jìn)行檢驗(yàn)，本文用到的檢驗(yàn)方法有下列兩種。

(1）Kolmogorov-Smirno（K-S）檢驗(yàn)

K-S檢驗(yàn)的優(yōu)點(diǎn)在于它是非參數(shù)或者是任意分布檢驗(yàn)，它揭示了經(jīng)驗(yàn)分布與理論分布之間的差別，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量定義為：

其中，F(xiàn)n(x)代表累積經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，F(xiàn)(x)代表理論分布函數(shù)。

(2）AIC(BIC)信息準(zhǔn)則

由于方法最優(yōu)性的特點(diǎn)，赤池信息準(zhǔn)則是建立在信息度量基礎(chǔ)上的判斷方法，它運(yùn)用于檢驗(yàn)極大似然估計(jì)的Copula模型；同時(shí)，可以使用貝葉斯信息準(zhǔn)則（BIC）。雖然該方法不及最優(yōu)性的特點(diǎn)，但是它對(duì)過(guò)度估計(jì)的模型能給予更靈敏的反應(yīng)：

其中，k是 Copula參數(shù)個(gè)數(shù)，T是樣本個(gè)數(shù)，AIC（BIC）的值包含了模型和參數(shù)估計(jì)值對(duì)數(shù)據(jù)的反應(yīng)，AIC（BIC）越小，該模型擬合度越高。

2 CVaR及投資組合優(yōu)化問(wèn)題

CVaR是對(duì)傳統(tǒng)的VaR風(fēng)險(xiǎn)度量方法的改進(jìn)，它由Rockafellar等（2000）提出，CVaR可以定義為在一定的置信水平下，某一資產(chǎn)或資產(chǎn)組合超過(guò)VaR的損失的期望值。

假設(shè)某資產(chǎn)組合有n種資產(chǎn)，令f(x,y)代表組合損失（負(fù)的f(x,y)代表組合收益），其中向量x代表n種資產(chǎn)在組合中的比例，向量y代表n中資產(chǎn)的損失，假設(shè)y的分布密度為p(y)，則損失f(x,y)不超過(guò)一個(gè)給定值α的概率Ψ(x,α)為：

Ψ(x,α)是非減且右連續(xù)函數(shù)（Rockafellar，1970），在給定置信水平β∈(0,1)條件下，組合資產(chǎn)的VaR及CVaR分別為：

Rockafellar等（2000）認(rèn)為，在收益率給定的情況下，組合的CVaR可以通過(guò)最小化下式得到：

式（4）也可以通過(guò)Mente Carlo模擬的方法近似的表述為：

其中，q代表模擬的次數(shù)，x=(x1,…,xn)代表資產(chǎn)組合中各種資產(chǎn)所占的比例，yk=(yk,1,…,yk,n)代表n種資產(chǎn)第k次模擬的收益率。并不一定可微，但是通過(guò)這種轉(zhuǎn)換。該問(wèn)題可以通過(guò)線(xiàn)性規(guī)劃的方法非常簡(jiǎn)單的求解。

運(yùn)用式（5）的Mente Carlo模擬技術(shù)，投資組合均值-CVaR模型可簡(jiǎn)化為：

為了下文比較的方便，我們不加證明地給出多元正態(tài)分布假設(shè)條件下的均值-CVaR模型的優(yōu)化求解模型（劉小茂等2003）：

其中，rx為組合收益率，σ2(rx)為組合協(xié)方差矩陣，μ為期望收益率向量，e為單位向量，R為收益率臨界值，c1(β)=Φ-1(β)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N(0,1)的 β 下分位數(shù) c2(β)=φ(c1(β))/(1-β),φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)N(0,1)的概率密度函數(shù)。

3 實(shí)證分析

3.1 數(shù)據(jù)的選取與處理

我們選擇滬深300指數(shù)里面四種不同行業(yè)的指數(shù)對(duì)上述模型進(jìn)行實(shí)證分析。它們分別是滬深300的金融指數(shù)、能源指數(shù)、工業(yè)指數(shù)和消費(fèi)指數(shù)。將價(jià)格{Pit}定義為第i種指數(shù)在第t日的收盤(pán)價(jià)，相應(yīng)的將收益率{Rit}定義為Rit=100×(ln(Pit)-ln(Pit-1))。本文選取的樣本時(shí)間分為兩段，第一段從2003/06/18開(kāi)始到2006/8/31，此段的有效數(shù)據(jù)共計(jì)737組，我們利用該段數(shù)據(jù)建立一個(gè)投資組合，分析其有效前沿。表1給出了在第一個(gè)時(shí)間段內(nèi)四種行業(yè)指數(shù)的基本數(shù)字特征；第二段從2006/8/31開(kāi)始到2009/4/31，在這段時(shí)間，我們通過(guò)資產(chǎn)組合的動(dòng)態(tài)調(diào)整來(lái)考察組合的整體表現(xiàn)。本文數(shù)據(jù)來(lái)源于WIND金融資訊，數(shù)據(jù)處理所用到的軟件有excel、R2.8.1以及l(fā)ingo9.0。

從表1可以看出，四種指數(shù)收益率的J-B指標(biāo)均為1，意味著上述四種行業(yè)指數(shù)的收益率顯著異于正態(tài)分布的假設(shè)。峰度均大于或接近于3，說(shuō)明具有尖峰特征；偏度均大于0，說(shuō)明收益率序列具有右偏特征。

表1 四種指數(shù)的的基本數(shù)字特征

表2 t-GARCH（1，1）擬合結(jié)果

3.2 Copula參數(shù)估計(jì)

首先使用t-GARCH（1，1）模型估計(jì)出的股票收益率邊際分布參數(shù)（見(jiàn)表2）。

在估計(jì)出邊際分布的參數(shù)之后，就可得到下一期收益率RT+1的條件分布：

其中，tv(·)為自由度為v的t-分布，Ωt為時(shí)刻T為止的信息集。

根據(jù)得到的各樣本收益率序列邊緣分布對(duì)原序列做概率積分變換，使用變換后的數(shù)據(jù)進(jìn)行第二階段估計(jì)，表3及表4給出了Copula函數(shù)參數(shù)估計(jì)值及擬合優(yōu)度檢驗(yàn)結(jié)果。

表3 Copula函數(shù)的參數(shù)估計(jì)及擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

分析表3，從K-S指標(biāo)上看，除 Clayton Copula外，其余四種Copula的 K-S指標(biāo)通過(guò)了5%的顯著性水平檢驗(yàn)，t-Copula函數(shù)K-S指標(biāo)的p值最大，這表明與其他四種Copula相比，它能更好的擬合真實(shí)的經(jīng)驗(yàn)分布，但是AIC及BIC指標(biāo)卻支持Gumbel-Copula，可能的原因是t-Copula需要估計(jì)7個(gè)變量值；另外，阿基米德類(lèi)Copula一般只適宜于刻畫(huà)兩個(gè)變量的相依結(jié)構(gòu)，對(duì)描述多變量的相依結(jié)構(gòu)意義不大。因此，我們最終選擇t-Copula做為下一步隨機(jī)數(shù)模擬的生成函數(shù)。

3.3 蒙特卡洛模擬收益率

表4 Copula相關(guān)系數(shù)矩陣

在完成了Copula模型參數(shù)估計(jì)后，下一步的任務(wù)就是生成滿(mǎn)足選定Copula函數(shù)的隨機(jī)數(shù)，基于t-Copula函數(shù)的模擬算法為:

（1）求出相關(guān)矩陣∑的 Cholesky分解矩陣A，即 ATA=∑。

（2）生成服從 N(0,1)的相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 z1，z2，z3，z4。

（4）令 b=Az,z=(z1,…z4)T。

（6）uk=tv(ck)(k=1,…4),tv表示自由度為v標(biāo)準(zhǔn)t分布函數(shù)。

（7）xk=Fk-1(uk)(k=1,2,3,4)，其中 Fk-1(·)為 k 種指數(shù)條件邊際分布的反函數(shù)。

3.4 優(yōu)化問(wèn)題求解

在完成了第二步的隨機(jī)模擬之后，接下來(lái)我們就可以利用lingo9.0軟件非常容易的求解式（6）的優(yōu)化問(wèn)題。圖1給出了基于Copula方法的均值-CVaR投資組合有效前沿及多元正態(tài)分布假設(shè)條件下的均值-CVaR投資組合有效前沿。

分析圖1我們可以得到以下兩點(diǎn)結(jié)論：

（1）與Copula-均值-CVaR模型下的投資組合相比，基于多元正態(tài)分布假設(shè)的投資組合將會(huì)在收益一定的條件下低估風(fēng)險(xiǎn)或在風(fēng)險(xiǎn)一定的條件下高估收益。究其原因主要有以下兩點(diǎn)：其一，傳統(tǒng)理論將資產(chǎn)收益率的邊際分布假設(shè)為服從正態(tài)分布；然而，金融數(shù)據(jù)往往具有尖峰、厚尾的特征，正態(tài)近似將會(huì)低估單個(gè)資產(chǎn)的下尾風(fēng)險(xiǎn)；其二，傳統(tǒng)正態(tài)假設(shè)基于線(xiàn)性相關(guān)，但是，資產(chǎn)組合收益率往往呈現(xiàn)尾部相關(guān)的特征，即在市場(chǎng)價(jià)格發(fā)生大幅波動(dòng)時(shí)，資產(chǎn)之間的相關(guān)性會(huì)增加，從而造成組合整體收益率與線(xiàn)性相關(guān)假設(shè)相比發(fā)生更大幅度的波動(dòng)。總之，運(yùn)用多元正態(tài)假設(shè)構(gòu)建投資組合將會(huì)低估組合的整體風(fēng)險(xiǎn)水平。Copula函數(shù)對(duì)資產(chǎn)組合收益率的邊際分布沒(méi)有限制，而且可以較好的撲捉組合資產(chǎn)之間相關(guān)關(guān)系的非線(xiàn)性特征。因此，基于Copula的聯(lián)合概率分布模型能夠更加準(zhǔn)確的反映資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)狀況。

（2）尾部相關(guān)性會(huì)提高資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，即由于尾部相關(guān)關(guān)系的存在，投資者將會(huì)要求更高的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)來(lái)彌補(bǔ)資產(chǎn)之間相關(guān)性在熊市增加的風(fēng)險(xiǎn)。

3.5 投資組合的動(dòng)態(tài)調(diào)整與比較

下面要回答的另一個(gè)非常重要的問(wèn)題是：基于Copula模型下的投資組合的表現(xiàn)是否會(huì)優(yōu)于基于多元正態(tài)假設(shè)下的投資組合？由于Copula模型能夠較真實(shí)的反映資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)狀況，因此，我們預(yù)測(cè)，基于Copula模型的投資組合的整體表現(xiàn)會(huì)優(yōu)于正態(tài)分布假設(shè)的投資組合。為了檢驗(yàn)我們的預(yù)測(cè)，現(xiàn)在考慮資產(chǎn)組合的一個(gè)動(dòng)態(tài)調(diào)整過(guò)程，假設(shè)資產(chǎn)組合的建倉(cāng)時(shí)間為2006年8月31日，初始價(jià)值為1，以后每?jī)蓚€(gè)月根據(jù)新的交易數(shù)據(jù)運(yùn)用上述兩種模型對(duì)組合中各種資產(chǎn)所占的比例進(jìn)行一次調(diào)整，在允許賣(mài)空、不考慮交易費(fèi)用及市場(chǎng)摩擦等因素的條件下，圖2給出了從2006/8/31到2009/4/31這個(gè)時(shí)間段兩種組合總價(jià)值的變化情況。

從圖2可以看出，在股市處于牛市階段（即從2006年8月31日到2007年11中旬），兩組資產(chǎn)組合的總價(jià)值都有不同程度增加，然而，Copula模型下的資產(chǎn)組合總價(jià)值增幅更大一些；從2007年11中旬開(kāi)始，股市進(jìn)入熊市，兩種資產(chǎn)組合的總價(jià)值都發(fā)生了縮水，然而，Copula模型下資產(chǎn)組合的總價(jià)值下降幅度遠(yuǎn)小于多元正態(tài)模型下的組合?？赡艿脑蚴俏覈?guó)股票市場(chǎng)存很顯著的羊群效應(yīng)（劉文虎，2009），投資者容易隨價(jià)格波動(dòng)出現(xiàn)追漲殺跌行為，從而使市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)過(guò)度，造成市場(chǎng)的不穩(wěn)定。Copula模型下的上尾及下尾相關(guān)系數(shù)能夠較好地量化這種效應(yīng)，從而使投資者充分抓住牛市的上漲機(jī)會(huì)，降低資產(chǎn)組合在熊市的縮水幅度。

4 結(jié)語(yǔ)

鑒于傳統(tǒng)多元正態(tài)分布在描述資產(chǎn)組合聯(lián)合分布上存在的缺陷，本文構(gòu)建了基于Copula理論的投資組合均值-CVaR模型，采用Copula建模的優(yōu)勢(shì)在于其可以將單個(gè)資產(chǎn)收益率的邊際分布和資產(chǎn)之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)分開(kāi)討論，單獨(dú)處理，從而大大降低了分析問(wèn)題的難度，增強(qiáng)了金融建模的靈活性。本文得出以下兩點(diǎn)重要結(jié)論：

（1）與Copula-均值-CVaR模型下的投資組合相比，傳統(tǒng)基于多元正態(tài)分布假設(shè)的投資組合策略將會(huì)低估風(fēng)險(xiǎn)或高估收益。

（2）對(duì)單個(gè)資產(chǎn)下尾風(fēng)險(xiǎn)及資產(chǎn)組合尾部相關(guān)風(fēng)險(xiǎn)的有效控制使Copula模型下的資產(chǎn)組合的整體表現(xiàn)好于正態(tài)分布假設(shè)下的資產(chǎn)組合。

總之，將Copula理論應(yīng)用于投資組合的管理過(guò)程中能夠使投資者在有效控制組合風(fēng)險(xiǎn)條件下增加組合的收益率。

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