固體熱容兩種物理模型的分析和比較

宋學(xué)麗

（錫林郭勒職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)械與電力工程系，內(nèi)蒙古 錫盟 026000）

固體熱容兩種物理模型的分析和比較

宋學(xué)麗

（錫林郭勒職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)械與電力工程系，內(nèi)蒙古 錫盟 026000）

固體熱容是反映晶體熱學(xué)性質(zhì)的一個(gè)重要物理量，對固體熱容的具體求解是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的問題,在一般討論中,常采用愛因斯坦模型及德拜模型.其實(shí)驗(yàn)結(jié)果的理論解釋是貫穿整個(gè)統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的一個(gè)重要問題，由于假設(shè)模型的不同導(dǎo)致所得的結(jié)果各自有自己不同的特點(diǎn).分別針對兩種模型在高溫和低溫時(shí)的特點(diǎn)進(jìn)行分析和討論，并把兩種模型進(jìn)行對比，分析理論與實(shí)驗(yàn)出現(xiàn)差異的原因.對進(jìn)一步理解兩種模型的物理思想,及其討論具體問題的方法具有重要意義.

愛因斯坦模型；德拜模型；固體熱容；金屬固體

1 引言

固體熱容的實(shí)驗(yàn)結(jié)果的理論解釋是貫穿整個(gè)統(tǒng)計(jì)物理的一個(gè)重要問題，通過對愛因斯坦模型和德拜模型進(jìn)行理論計(jì)算所得結(jié)果的分析，愛因斯坦模型和德拜模型分別在高溫和低溫時(shí)表現(xiàn)出各自的特點(diǎn).按照經(jīng)典玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)定容熱容量為3Nk恒量[1-3].而實(shí)驗(yàn)上當(dāng)?shù)蜏貢r(shí)卻趨于零.愛因斯坦模型和德拜模型在高溫時(shí)都與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致，但低溫時(shí)愛因斯坦模型趨于零的速度過快，而德拜模型在低溫時(shí)以 的方式趨于零的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)符合的很好.通過對兩種模型的對比可以對固體熱容有更深的認(rèn)識(shí).

圖1 低溫下晶格比熱下降

2 兩種模型固體熱容的理論計(jì)算

2.1 愛因斯坦模型

內(nèi)能

熱容

令

（1）當(dāng)高溫時(shí)，T>>θE，CV=3 NK這個(gè)結(jié)果與經(jīng)典所得的結(jié)果是一致的.

（2）當(dāng)?shù)蜏貢r(shí)

結(jié)果與實(shí)驗(yàn)定性相符，但是在定量上符合的不好.

2.2 德拜模型

德拜模型[4，5，7]認(rèn)為，固體是各向同性的連續(xù)彈性介質(zhì)，固體中的原子或離子集體微振動(dòng)，在固體中形成了各種頻率與波矢量k的彈性駐波，整個(gè)固體的熱振動(dòng)能量為各種彈性駐波的能量之和，即

在固體中原子產(chǎn)生的彈性駐波屬于聲波，因此聲波場的能量也是量子化的，以hv為單位增減能量，我們把聲波場能量的最小單位叫‘聲子’[8]，可以把聲子看成粒子，但又不同與真實(shí)粒子，所以稱為準(zhǔn)粒子.聲子的能量和動(dòng)量分別為ε=hv，p=hk對應(yīng)的彈性波可分為縱波與橫波，橫波有兩個(gè)分量代表兩個(gè)偏振方向，縱波與橫波波速不同，因此聲子可分為縱波聲子與橫波聲子，能量和動(dòng)量的關(guān)系分別為E=clp,E=ctp,在簡諧近似下，各種彈性駐波是相互獨(dú)立的，所以各種頻率的聲子之間沒有相互作用，且處在某一狀態(tài)的聲子數(shù)是任意的，所以聲子是理想的玻色氣體，由于聲子可以不斷產(chǎn)生和消滅，所以聲子數(shù)不守恒，即聲子氣體的化學(xué)勢為零.于是溫度為T時(shí)處在能量為hv的一個(gè)量子態(tài)的平均聲子數(shù)為

由此可知，溫度為T時(shí)的內(nèi)能為

其中Φ0表示所有原子都位于平衡位置時(shí)原子之間的相互作用勢能,上式中第二項(xiàng)為聲子的總能量，即溫度為T時(shí)固體熱運(yùn)動(dòng)的能量.

因此在體積v內(nèi)，頻率在v-v+dv之間的聲子（包括縱波聲子和橫波聲子）的量子態(tài)數(shù)為

由于固體中有N個(gè)原子或離子，共3 N個(gè)自由度，相應(yīng)的有3 N的獨(dú)立的彈性駐波，即聲子的量子態(tài)總數(shù)為3 N,于是有

因此

其中

固體內(nèi)能可表示為

即

令

于是有

其中

這正是經(jīng)典玻爾滋曼統(tǒng)計(jì)理論所推出的能均分定理的結(jié)果.

（2）低溫極限[6]：T<<θD，

則有

U=U0+3 Nk·

上式稱為T3定律.

3 兩種模型的比較以及出現(xiàn)差異的原因

兩種熱容量各有不同的特征，愛因斯坦模型高溫時(shí)符合實(shí)驗(yàn)（CV=3 Nk），低溫時(shí)熱容趨于零的速度過快，是定性相符，定量符合的不好.原因是愛因斯坦模型認(rèn)為所有諧振子都取同一頻率太簡化了.

德拜模型高溫時(shí)符合實(shí)驗(yàn)(CV=3 Nk)，低溫時(shí)符合T3律，對于金屬固體德拜模型在3 K以下不符，原因是3 K以下電子對熱容的貢獻(xiàn)不可忽略.

圖中畫出了愛因斯坦理論（虛線），德拜理論（實(shí)線），和銅的實(shí)驗(yàn)結(jié)果（圓圈），以作比較.

圖2 銅熱容的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與愛因斯坦模型和德拜模型理論值的比較

固體中真實(shí)的粒子是原子，由于原子間的強(qiáng)烈相互作用，如果直接去處理他們，問題會(huì)變得很復(fù)雜，德拜在引入聲子[8]概念后，使得模型十分形象，問題也大為簡化，目前這種準(zhǔn)粒子的方法已成為處理耦合著的多粒子系統(tǒng)的很有效的方法.

〔1〕汪志誠.熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理[M].北京.高等教育出版社，1980.

〔2〕馬本坤，高尚惠.熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理[M].北京.高等教育出版社，1986.

〔3〕梁希俠，班士良.統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)[M].內(nèi)蒙古：內(nèi)蒙古出版社，2001.

〔4〕黃昆,韓汝琦.固體物理學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2005.

〔5〕王矜奉.固體物理學(xué)教程[M].濟(jì)南:山東大學(xué)出版社,1999.

〔6〕王矜奉，范希會(huì)，張承琚.固體物理概念和習(xí)題指導(dǎo)[M].濟(jì)南：山東大學(xué)出版社，2005.

〔7〕方俊鑫,陸棟.固體物理學(xué)[M].上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,1980.

〔8〕李正中.固體理論(第 2版)[M].北京:高等教育出版社,2002.

O 469

A

1673-260X（2010）12-0143-02