三維直流電場標(biāo)量擬解析近似法數(shù)值模擬精度分析與評價

張金會,孫建國

(1.吉林大學(xué) 地球探測科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,吉林長春 130026;

2.國土資源部應(yīng)用地球物理綜合解釋理論開放實驗室,吉林長春 130026;3.安徽省勘查技術(shù)院 綜合物探分院,蚌埠 233005)

三維直流電場標(biāo)量擬解析近似法數(shù)值模擬精度分析與評價

張金會1、2、3,孫建國1、2

(1.吉林大學(xué) 地球探測科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,吉林長春 130026;

2.國土資源部應(yīng)用地球物理綜合解釋理論開放實驗室,吉林長春 130026;3.安徽省勘查技術(shù)院 綜合物探分院,蚌埠 233005)

擬解析近似方法是一種可以處理強(qiáng)散射或大擾動問題的求解積分方程的近似方法,該方法可以避免用傳統(tǒng)數(shù)值方法解決問題時,所遇到的大型矩陣或大型代數(shù)方程組問題。根據(jù)孫建國在文章[14]中的求解異常電場積分方程的標(biāo)量擬解析近似理論公式,對標(biāo)量擬解析近似進(jìn)行研究。對均勻場中的異常球體標(biāo)量擬解析近似解進(jìn)行計算,并與理論解進(jìn)行了對比,驗證了其精度,證明擬解析近似方法求解直流電場積分方程是可行的。通過對標(biāo)量擬解析近似方法在直流電場數(shù)值模擬的研究,為三維直流電場快速正反演模擬打下了基礎(chǔ)。

積分方程;擬解析近似;直流電場

0 前言

直流電法在地球物理勘探中占有重要地位,直流電法在油氣田盆地邊界劃定,金屬礦勘探,以及地下水勘探等方面有著重要而廣泛的應(yīng)用。利用數(shù)值方法可以對三維直流電場模擬,但傳統(tǒng)的微分方程法和積分方程法,都會遇到大型矩陣或求解大型線性代數(shù)方程組的問題,對計算機(jī)內(nèi)存要求高,計算時間長等問題,尤其是在地下介質(zhì)復(fù)雜的情況下,這些問題更突出。為了解決這些問題,人們在努力尋求快速精確的數(shù)值模擬方法。TM Habashy等[1]在1993年在以研究電磁場問題時,提出了局部非線性近似方法;Zhdanov等[2]在1996年研究電磁場散射場問題時,受到TM Habashy的局部非線性近似方法的啟發(fā),提出了擬線性近似方法用來求解電磁波散射場的積分方程。這種方法假設(shè)異常電場Ea(r)與正常電場E0(r)之間是由電反射張量λ^(r)聯(lián)系起來的擬線性關(guān)系,即:

通過這一假設(shè),簡化了電磁場的積分方程,從而提高了計算速度,電反射張量λ^(r)由最優(yōu)化的方法求出,并于2000年將擬線性近似方法應(yīng)用于電磁場反演[3]。在用來反演美國新墨西哥州的CSAM T數(shù)據(jù)時,取得了很好的效果。由于擬線性近似仍要求解線性代數(shù)方程組,因此Zhdanov[4]經(jīng)過研究,于2000年假設(shè)電反射張量λ^(r)在異常體內(nèi)為緩變函數(shù),由一種相對簡單的替代方法確定λ^(r),這種方法稱為擬解析近似方法,并提出了擬解析近似序列。孫建國[5、6]通過對電磁場中的擬線性近似方法和擬解析方法的研究,先后提出將擬線性近似方法和擬解析近似方法應(yīng)用到直流電場模擬及聲波散射模擬。孫建國[7～9]在2001年擬線性近似方法用于2.5維直流電阻率正演中,在2002年對擬線性近似方法用于地球物理反演進(jìn)行了討論,接下來在2003年對穩(wěn)定電流場的電位反射函數(shù)進(jìn)行了研究。孫建國[10～12]2004年對穩(wěn)定電流場中的擬線性近似方法進(jìn)行了研究,給出了直流電位場數(shù)值模擬的擬解析方法。孫建國[13]在2005年研究了直流電場中的電反射張量,給出直流電場中的擬線性近似方法和擬解析近似方法的理論公式,并對電反射張量進(jìn)行了詳細(xì)的分析,對穩(wěn)定電流場擬解析近似方法進(jìn)行精度分析[14]。孫建國[15]又于2006年對穩(wěn)定電流場擬解析近似方法進(jìn)行了數(shù)值評價。

作者在本文的目的,是在2005年J.Sun推導(dǎo)出直流電場的標(biāo)量擬解析近似的理論公式基礎(chǔ)上,對標(biāo)量擬解析近似進(jìn)行研究。通過選取存在解析解的均勻場異常球體進(jìn)行計算,將標(biāo)量擬解析近似解與解析解進(jìn)行對比,驗證了標(biāo)量擬解析近似的精度,進(jìn)而檢驗標(biāo)量擬解析近似的可行性。通過作者對標(biāo)量擬解析近似在直流電場模擬中的研究,為直流電場正、反演數(shù)值模擬提供了一種快速的方法。

1 基本方程及公式

作者是在Sun.J給出的理論公式的基礎(chǔ)上,經(jīng)推導(dǎo)得到擬解析近似方法實現(xiàn)過程中的,在該文章中未明確給出的部份。在對三維異常體進(jìn)行計算時,積分采用三維高斯積分進(jìn)行計算,并對積分中出現(xiàn)的格林函數(shù)的奇異性進(jìn)行了處理,進(jìn)而實現(xiàn)擬解析近似方法在直流電場模擬中的應(yīng)用。

J.Sun[13]在2005年給出了異常體內(nèi)部直流電場的積分方程式(1),以及異常體外部的積分方程式(2)。

在公式(1)、公式(2)中Ω表示異常體,ja(r)為二次電流密度,由式(3)給出。

EBa(r)為Ea(r)的Bo rn近似。(r′,r)為并矢格林函數(shù),由式(7)給出。

J.Sun[13]于2005年通過假設(shè)電反射張量為0階張量,令:

Ι為單位張量,得到了方程(4)的解:

作者通過對公式(11)進(jìn)行整理,得到式(12)。

在式(12)中,g(r)可由式(13)得到。

將公式(12)代入公式(1)中,得到式(14)。

將式(14)得到的Ea(r)代入式(3),從而得到j(luò)a(r)。將ja(r)代入公式(2)中,即可得到異常體外部的異常電場Ea(r)。

通過方程(4),我們可以建立擬解析近似的迭代方程[13]式(16)。

其中 m是迭代數(shù)。令

利用方程(16),當(dāng)異常體電導(dǎo)率同圍巖相比變化劇烈時,擬解析近似解不能得到想要的結(jié)果,我們可以通過方程(16)的擬解析近似的迭代解得到滿意的結(jié)果。在一般情況下,迭代次數(shù)m在不超過5的情況下,就可以得到滿意的結(jié)果。

2 標(biāo)量擬解析近似球體異常體電場值計算

為了對標(biāo)量擬解析近似進(jìn)行研究,并驗證標(biāo)量擬解析近似方法的精度,可選取存在解析解的均勻場中的異常球體模型。根據(jù)上面標(biāo)量擬解析近似的公式,選取一組地電模型進(jìn)行計算,場源采用均勻場沿x方向,強(qiáng)度為10 V/m,異常球體半徑為100m,球心坐標(biāo)為(0m,0m,0m),選取一組背景介質(zhì)和異常球體電導(dǎo)率變化的地電模型。對于異常體外部異常電場,選取的模擬測點(diǎn)分布在球心對稱z=400m處球體上方主剖面AB上。對均勻場中的五個地電模型,在分別進(jìn)行計算后得到了其外部電場,并進(jìn)行精度分析和評價。

地電模型如圖1所示。

圖1 均勻場中異常球體模型示意圖Fig.1 Modelof anom alous sphere in the unifo rm field

(1)當(dāng)σ0=1.0西門子(S)、σa=0.01 S時,異常電場x分量和z分量的擬解析近似解、Born解與理論解[16]對比如下頁圖2所示。當(dāng)異常體電導(dǎo)率與背景介質(zhì)電導(dǎo)率相差很小時,擬解析近似解與Born近似解平均誤差都很小,在1%以內(nèi)。擬解析近似解x分量、z分量平均誤差分別為0.334%、0.332%;Born近似解x分量、z分量平均誤差分別為0.927%、0.949%,擬解析近似解誤差比Bo rn近似解誤差小。

(2)當(dāng)σ0=1.0S、σa=0.1S時,異常電場的x分量和z分量的擬解析近似解、Born解與理論解[16]對比,如下頁圖3所示。當(dāng)異常體電導(dǎo)率與背景介質(zhì)電導(dǎo)率相差較小時,擬解析近似解與Born近似解平均誤差都較小,在5%以內(nèi),擬解析近似解x分量、z分量平均誤差分別為0.834%、1.11%;Born近似解x分量、z分量平均誤差分別為4.19%、3.35%,擬解析近似解誤差比Born近似解誤差小。擬解析近似比Born近似更適用于該模型的模擬。

(3)當(dāng)σ0=1.0 S、σa=-0.9 S時,異常電場的x分量和z分量的擬解析近似解、Born解與理論解[16]對比,如后面圖4所示。當(dāng)異常體電導(dǎo)率與背景介質(zhì)電導(dǎo)率相差變大時,擬解析近似解與Born近似解平均誤差也增大,Born近似解x分量、z分量平均誤差分別為30.0%、29.85%;擬解析近似解x分量、z分量平均誤差分別為6.45%、7.35%;擬解析近似解進(jìn)行迭代后,x分量、z分量平均誤差分別為2.98%、2.51%。

(4)當(dāng)σ0=1.0 S、σa=-0.99 S時,異常電場的x分量和z分量的擬解析近似解、Born解與理論解[16]對比如后面圖5所示。當(dāng)異常體電導(dǎo)率與背景介質(zhì)電導(dǎo)率相差變大時,擬解析近似解與Born近似解平均誤差也增大,Bo rn近似解x分量、z分量平均誤差分別為33%、32.09%;擬解析近似解x分量、z分量平均誤差分別為8.90%、10.06%;擬解析近似解進(jìn)行迭代后,x分量、z分量平均誤差分別為1.03%、0.85%。擬解析近似迭代后與理論解相吻合。

(5)當(dāng)σ0=0.1 S、σa=0.9 S時,異常電場的x分量和z分量的擬解析近似解和Born解與理論解[16]對比,如后面圖6所示。擬解析近似解與Bo rn近似解平均誤差隨著電導(dǎo)率變化增大劇增,平均誤差超過50%,擬解析近似解進(jìn)行迭代后,x分量、z分量平均誤差分別為5.41%、5.38%?？梢钥闯?擬解析近似進(jìn)行迭代后誤差較小,表明該方法可用于大擾動電導(dǎo)率地電模型的電場模擬。

通過對均勻場中異常球體的標(biāo)量擬解析的計算及誤差分析可見,當(dāng)異常體電導(dǎo)率變化較小時,標(biāo)量擬解析近似取得了很好的計算結(jié)果。異常體電導(dǎo)率變化較大時,標(biāo)量擬解析近似解誤差有所增大,但在進(jìn)行迭代后,標(biāo)量擬解析近似和理論解相吻合。

圖2 σ0=1.0 S,σa=0.01 S時電異常曲線圖Fig.2 W hileσ0=1.0 S,σa=0.01 S,the anom alous electrical field curves

圖3 σ0=1.0 S,σa=0.1 S時電異常曲線圖Fig.3 W hileσ0=1.0 S,σa=0.1 S,the anom alous electrical field curves

比較圖4和圖5與圖6(見下頁)可知,當(dāng)異常體為高阻體時,標(biāo)量擬解析近似解與理論解比較,誤差要小很多,所以標(biāo)量擬解析近似解模擬的高阻體時效果更好。

圖4 σ0=1.0 S,σa=-0.9 S時電異常曲線圖Fig.4 W hileσ0=1.0 S,σa=-0.9 S,the anom alous electrical field curves

圖5 σ0=1.0 S,σa=-0.99 S時電異常曲線圖Fig.5 W hileσ0=1.0 S,σa=-0.99 S,the anom alous electrical field curves

3 結(jié)論

作者在本文對求解電場積分方程的標(biāo)量擬解析近似解進(jìn)行了研究,通過直接對異常體進(jìn)行數(shù)值積分,避免了在傳統(tǒng)數(shù)值方法解決問題時,所遇到的大型矩陣或大型代數(shù)方程組問題,大大提高了計算速度。作者對異常體為球體時進(jìn)行了異常電場的標(biāo)量擬解析近似數(shù)值模擬,對于其它形狀的異常體,也同樣可以用本方法進(jìn)行模擬,如橢球體、立方體等。通過對存在解析解的均勻場中的異常球體進(jìn)行的標(biāo)量擬解析模擬,表明標(biāo)量擬解析近似方法具有很高的精度和計算速度。當(dāng)異常體電導(dǎo)率變化較大時,可以通過對標(biāo)量擬解析近似解進(jìn)行迭代,仍可以達(dá)到很高的精度。簡單幾何體異常體的空間組合,可以用來模擬復(fù)雜分布的地下礦體,在模擬復(fù)雜模型時,不同簡單幾何體異常體之間是相互影響的,將某個異常體對其它異常體的影響作為一個二次場源,利用擬解析近似方法,可以對復(fù)雜地電模型進(jìn)行模擬。擬解析近似方法可以對球體、立方體、橢球體等簡單幾何異常體進(jìn)行模擬,通過簡單幾何形體的組合,可對復(fù)雜地電模型進(jìn)行數(shù)值模擬,這就初步表明了該方法具有處理復(fù)雜地電結(jié)構(gòu)的模型的能力。作者在本文中,通過直流電場標(biāo)量擬解析近似方法實現(xiàn)的研究,為三維直流電場的快速正演、反演模擬,提供了快速的,精確度高的數(shù)值模擬方法。

圖6 σ0=0.1 S,σa=0.9 S時電異常曲線圖Fig.6 W hileσ0=0.1 S,σa=0.9 S,the anom alous electrical field curves

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O 175.5

A

1001—1749(2010)06—0607—06

國家高技術(shù)研究發(fā)展計劃(863)(2006AA 06Z109);國家自然科學(xué)基金項目(40574052);國家重點(diǎn)基金研究發(fā)展計劃(973)課題(2007CB209603)

2010-06-21 改回日期:2010-09-25

張金會(1980-),男,河北衡水人,博士,研究方向為直流電場模擬。